Átomo de Bohr

Teoria Completa

O espectro atômico do átomo de Hidrogênio foi finalmente explicado por Niels Bohr e seu modelo atômico.

Para isso, Bohr forçou um pouco a barra, e decidiu dar como verdade algumas suposições que são os Postulados de Bohr.

Postulados de Bohr

Primeiro postulado de Bohr:

“O elétron do átomo de hidrogênio só pode se mover em certas órbitas, não-irradiantes, circulares, chamadas de estados estacionários.

Ele diz que tem que ser “não-irradiantes” porque, se o elétron irradiasse ondas eletromagnéticas, ele iria perdendo energia e iria saindo da órbita em uma espiral em direção ao núcleo.

O átomo irradia somente quando o elétron faz uma transição de um estado estacionário para outro.

Segundo postulado de Bohr:

A frequência da radiação emitida pelo elétron na transição entre duas órbitas é relacionada à energia das órbitas por:

f = E i - E f h

(Frequência do fóton emitido)

Onde h é a constante de Planck, lembrando que h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s = 4,136 ∙ 10 - 15   e V   s . A energia E i corresponde à energia no estado inicial e E f corresponde à energia no estado final.

Terceiro postulado de Bohr:

As órbitas do elétron são tais que o momento angular do elétron em relação ao núcleo é um múltiplo inteiro de ℏ = h / 2 π . Isso implica que o raio das órbitas é quantizado.

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

(Momento angular quantizado)

Onde ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s .

O conceito importante desse postulado é semelhante ao do primeiro: órbitas estacionárias.

Raio das órbitas circulares

Agora vamos deduzir as características do átomo de Bohr.

Vamos imaginar um elétron numa órbita circular de raio r em torno de uma carga positiva + Z e , como o núcleo de hidrogênio ( Z = 1 é o número de prótons no núcleo de hidrogênio).

A força centrípeta que mantém o elétron na sua trajetória circular é igual à força de atração entre as cargas, assim:

m v 2 r = - k q 1 q 2 r 2 = - k ( Z e ) ( - e ) r 2

m v 2 r = k Z e 2 r 2

v 2 = k Z e 2 m r n

Da quantização do momento angular:

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

v = n ℏ m r n

v 2 = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

Igualando os dois podemos achar os raios das órbitas do elétron.

k Z e 2 m r n = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

r n = n 2 ℏ 2 m k Z e 2 = n 2 a 0 Z

Onde a 0 = ℏ 2 / m k e 2 é o menor raio possível para a órbita do elétron do hidrogênio. Lembrando que no hidrogênio, Z = 1 .

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

Tendo que a 0 = 5,29 ∙ 10 - 11   m é o raio de Bohr.

a 0 = ℏ 2 m k e 2 ≅ 0,0529   n m

Energia das Órbitas

A energia total do elétron é igual à soma da energia potencial com a energia cinética.

E = K + U

A energia potencial é dada por:

U = k q 1 q 2 r = - k Z e 2 r

A energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

Logo:

E = 1 2 m v 2 - k Z e 2 r

Substituindo esse resultado na expressão da energia, temos:

E = 1 2 k Z e 2 r - k Z e 2 r

Finalmente:

E = - 1 2 k Z e 2 r

Podemos substituir r pelos raios das órbitas, e teremos:

E n = - 1 2 k Z 2 e 2 n 2 a 0 = - 1 2 m k 2 Z 2 e 4 n 2 ℏ 2

Ou:

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - Z 2 E 0 n 2     → Z = 1     E n = - E 0 n 2

Onde:

E 0 = 1 2 m k 2 e 4 ℏ 2 = 13,6   e V

E 0 corresponde ao estado de energia mais baixa, também chamado de estado fundamental.

Para outros átomos com só um elétron com diferentes Z (chamados de átomos hidrogenóides)

E n = - Z 2 E 0 n 2

Fóton emitido na transição eletrônica

Se o elétron vai de uma órbita inicial i para uma órbita final f a energia do fóton associado é

E f ó t o n = Δ E e l é t r o n

h f = E e l é t r o n f - E e l é t r o n i

h f = - Z 2 E 0 1 n f 2 - 1 n i 2

Se Δ E e l é t r o n > 0 quer dizer que tivemos um fóton absorvido e se Δ E e l é t r o n < 0 tivemos um fóton emitido. Só fica atento a isso! O Δ E e l é t r o n ter sinal positivo ou negativo faz sentido, mas no final da sua conta você tem que ter f positiva (é só tomar o módulo no final).

Isolando a frequência

f = - Z 2 E 0 h 1 n f 2 - 1 n i 2

Se usarmos que f = c / λ , temos a fórmula das séries do hidrogênio.

1 λ = R H   1 n f 2 - 1 n i 2

Onde

R H = m k 2 e 4 4 π ℏ 3 c = 1,097 ∙ 10 7   m - 1

É importante entender o desenvolvimento para entender o conceito do átomo de Bohr. Mas não se preocupe com as sopas de letrinhas nas constantes!

O importante para fazer exercícios é lembrar-se do raio das órbitas e da energia das órbitas do átomo de hidrogênio.

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - E 0 n 2

E 0 = 13,6   e V

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

a 0 ≅ 0,0529   n m

Momento angular

L = n ℏ

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 212-38.23.

Um átomo de hidrogênio está em um estado com energia - 1,51   e V .

No modelo de Bohr, qual é o momento angular do elétron no átomo, em relação a um eixo que passa pelo núcleo?

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Passo 1

De acordo com o modelo de Bohr, o momento angular do elétron é dado por:

m v r = n ℏ

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s

O problema nos dá que o átomo está em um estado de energia com - 1,51   e V .

O níveis de energia são dados por:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Passo 2

Para o átomo de hidrogênio, Z = 1 . Então podemos descobrir o valor de n , através da expressão:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Onde:

E n = - 1,51   e V ;

E 0 = 13,6   e V (valor constante);

Z = 1 ;

Logo:

n 2 = - Z 2 E 0 E n

n 2 = 13,6 1,51 = 9  

n = 3

Passo 3

Voltando para a expressão do momento angular:

m v r = n ℏ

Onde:

n = 3 ;

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

Logo:

m v r = 3 ℏ = 3,15 × 10 - 34   J s

Resposta

3 ℏ = 3,15 × 10 - 34   k g   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 212-38.27.
  1. Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis n = 1 ,   2 e 3 .
  2. Calcule o período orbital para cada um desses níveis.
  3. A vida média para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio é 1,0 × 10 - 8   s . No modelo de Bohr, quantas voltas completas o elétron daria no nível n = 2 antes de o elétron voltar para seu nível fundamental?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis n = 1 ,   2 e 3 .

Podemos relacionar as velocidades v e os níveis n através do momento angular, dado por:

m v r = n ℏ

v = n ℏ m r

Os raios dos níveis são dados por:

r n = n 2 a 0 Z

Passo 2

Vamos encontrar os raios para n = 1 ,   2 e 3 .

r n = n 2 a 0 Z

Onde:

Z = 1 (para o hidrogênio);

a 0 = 0,0529   n m ;

Logo:

r 1 = 0,0529   n m

r 2 = 0,2116   n m

r 3 = 0,4761   n m

Passo 3

v = n ℏ m r

Onde:

m = 9,1 × 10 - 31 k g