Átomo de Bohr

Teoria Completa

Introdução

Você que já chegou até aqui deve ter ouvido falar dos fótons, mas sabe me dizer como relacionamos os fótons e os elétrons?

Bohr desenvolveu um modelo atômico e escreveu alguns postulados, que nos ajudam a relacionar fótons e elétrons.

Ao longo dessa teoria vamos dar uma olhada em cada postulado, compreender as relações importantes entre os fótons e elétrons e também entender como a quântica trata do modelo atômico de Bohr.

Postulados de Bohr

Primeiro postulado de Bohr:

“O elétron do átomo de hidrogênio só pode se mover em certas órbitas, não-irradiantes, circulares, chamadas de estados estacionários.

Ele diz que tem que ser “não-irradiantes” porque, se o elétron irradiasse ondas eletromagnéticas, ele iria perdendo energia e iria saindo da órbita em uma espiral em direção ao núcleo.

E pelo modelo de Bohr do átomo a gente vê que as órbitas respeitam essa condição circular e estacionária.

O átomo irradia somente quando o elétron faz uma transição de um estado estacionário para outro.

Segundo postulado de Bohr:

O segundo postulado explica como calcular a frequência da radiação emitida pelo elétron quando ele faz o movimento de transitar entre duas órbitas, como na figura:

Aqui na quântica a gente vai ver o modelo de Bohr numerando as órbitas de 1 até n a partir do núcleo.

Nessa transição de camadas o elétron vai absorver ou emitir um fóton e a gente logo vai entender quando ocorre cada caso.

A frequência do fóton emitido pelo elétron na transição entre duas órbitas é relacionada à energia das órbitas por:

f = | E f - E i | h

(Frequência do fóton emitido ou absorvido)

Onde h é a constante de Planck, lembrando que h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s = 4,136 ∙ 10 - 15   e V   s . A energia E i corresponde à energia no estado inicial e E f corresponde à energia no estado final.

Terceiro postulado de Bohr:

As órbitas do elétron são tais que o momento angular do elétron em relação ao núcleo é um múltiplo inteiro de ℏ = h / 2 π . Isso implica que o raio das órbitas é quantizado.

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

(Momento angular quantizado)

Onde ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s .

O conceito importante desse postulado é semelhante ao do primeiro: órbitas estacionárias.

Raio das órbitas circulares

Agora vamos deduzir as características do átomo de Bohr, usando o que vimos nos postulados.

Vamos imaginar um elétron numa órbita circular de raio r em torno de uma carga positiva + Z e , como o núcleo de hidrogênio ( Z = 1 é o número de prótons no núcleo de hidrogênio).

A força elétrica de atração entre as cargas que mantém o elétron na trajetória circular é igual a força centrípeta.

F C = F e l

m v 2 r = - k q 1 q 2 r 2 = - k ( Z e ) ( - e ) r 2

m v 2 r = k Z e 2 r 2

v 2 = k Z e 2 m r n

Da quantização do momento angular:

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

v = n ℏ m r n

v 2 = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

Igualando os dois podemos achar os raios das órbitas do elétron.

k Z e 2 m r n = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

r n = n 2 ℏ 2 m k Z e 2 = n 2 a 0 Z

Onde a 0 = ℏ 2 / m k e 2 é o menor raio possível para a órbita do elétron do hidrogênio. Lembrando que no hidrogênio, Z = 1 .

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

Se calcularmos os valores da equação é possível encontrarmos o valor

a 0 = ℏ 2 m k e 2 ≅ 5,29 ∙ 10 - 11   m

E em nanômetros temos:

a 0 = 0,0529   n m

Mas esse é um valor que costuma ser dado, então vamos guardar nossas energias pra compreender como resolver problemas envolvendo essa constante.

Reescrevendo a equação do raio das órbitas de Bohr para um valor em nanômetros, temos:

r n = 0,0529 n 2

Energia das Órbitas

A energia total do elétron é igual à soma da energia potencial com a energia cinética.

E = K + U

A energia potencial é dada por:

U = k q 1 q 2 r = - k Z e 2 r

A energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

E = 1 2 m v 2 - k Z e 2 r

Logo o que foi encontrado pra v 2 :

v 2 = k Z e 2 m r n

Substituindo esse resultado na expressão da energia, temos:

E = 1 2 k Z e 2 r - k Z e 2 r

Finalmente:

E = - 1 2 k Z e 2 r

Podemos substituir r pelos raios das órbitas, e teremos:

E n = - 1 2 k Z 2 e 2 n 2 a 0 = - 1 2 m k 2 Z 2 e 4 n 2 ℏ 2

Ou:

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - Z 2 E 0 n 2    

Quando Z = 1 :

  E n = - E 0 n 2

Onde:

E 0 = 1 2 m k 2 e 4 ℏ 2 = 13,6   e V

E 0 corresponde ao estado de energia mais baixa, também chamado de estado fundamental.

E se liga, nas provas não é comum aparecerem os dados para calculá-lo então guarde bem esse valor!

E 0 = 13,6 e V

Para outros átomos com só um elétron com diferentes Z (chamados de átomos hidrogenóides)

E n = - Z 2 E 0 n 2

Os exercícios mais comuns devem te pedir pra calcular a diferença de energia na transição dos estados, então pra fixar essa equação da energia vamos calcular pra essa situação da figura a diferença de energia:

Aqui o elétron saiu da órbita de n = 2 e foi para a órbita de n = 3 , vamos usar a equação da energia para cada órbita:

E 2 = - 13,6 2 2 = - 3,4 e V

E 3 = - 13,6 3 2 = - 1,51 e V

A variação da energia nada mais é que a energia do fóton emitido ou absorvido no processo.

∆ E = E f - E i

∆ E = - 1,51 - - 3,4 = 1,89 e V

E o sinal é positivo pois para o elétron sair do estado 2 para o estado 3 ele precisa absorver energia, então o que aconteceu aí foi uma absorção

∆ E > 0

Se por acaso ele fizesse o movimento contrário, ou seja, quando ele diminui de órbita da 3 pra 2 ele emite um fóton perdendo energia. Dizemos que aí acontece uma emissão.

∆ E < 0

Fóton emitido na transição eletrônica

Se o elétron vai de uma órbita inicial i para uma órbita final f a energia do fóton associado é

E f ó t o n = Δ E e l é t r o n

h f = E e l é t r o n f - E e l é t r o n i

h f = - Z 2 E 0 1 n f 2 - 1 n i 2

Se Δ E e l é t r o n > 0 quer dizer que tivemos um fóton absorvido e se Δ E e l é t r o n < 0 tivemos um fóton emitido. Fica atento nisso!

O Δ E e l é t r o n ter sinal positivo ou negativo faz sentido, mas no final da sua conta você tem que ter f positiva, você pode usar o módulo do valor encontrado caso esteja trabalhando com uma emissão.

Isolando a frequência, temos:

f = - Z 2 E 0 h 1 n f 2 - 1 n i 2

Se usarmos que f = c / λ , temos a fórmula das séries do hidrogênio, outra parada é que passamos o sinal pra dentro do parêntese e aí temos que trocar a ordem das frações.

1 λ = R H   1 n i 2 - 1 n f 2

Onde R H é a constante de Rydberg dada por:

R H = m k 2 e 4 4 π ℏ 3 c = 1,097 ∙ 10 7   m - 1

E se por acaso no nosso exemplo quiséssemos saber o comprimento de onda do fóton emitido? Era só a gente rearrumar a fórmula das séries do hidrogênio em função de λ

λ = 1 R H   1 n i 2 - 1 n f 2

E como a gente já sabe que o elétron saiu da órbita de n = 2   para n = 3 é só substituirmos os valores:

λ = 1 R H 1 2 2 - 1 3 2 = 1 R H 1 4 - 1 9

λ = 1 0,1388 R H

Substituindo a constante temos:

λ = 1 0,1388 × 1,097 ∙ 10 7 = 6,56 × 10 - 7 m

λ = 656 × 10 - 9 m = 656   n m

E olha que interessante, esse comprimento de onda está na faixa dos comprimentos da luz vermelha [ 620 - 750 ] n m .

É importante entender o desenvolvimento para entender o conceito do átomo de Bohr. Mas não se preocupe com as sopas de letrinhas nas constantes, foque em entender quem são as constantes e quando usá-las.

Resumo

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - E 0 n 2

E 0 = 13,6   e V

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

a 0 ≅ 0,0529   n m

Momento angular

L = n ℏ

Série do Hidrogênio

1 λ = R H   1 n i 2 - 1 n f 2

R H = 1,097 ∙ 10 7   m - 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 212-38.23.

Um átomo de hidrogênio está em um estado com energia - 1,51   e V .

No modelo de Bohr, qual é o momento angular do elétron no átomo, em relação a um eixo que passa pelo núcleo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De acordo com o modelo de Bohr, o momento angular do elétron é dado por:

m v r = n ℏ

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s