Átomo de Bohr

Teoria Completa

Introdução

Você que já chegou até aqui deve ter ouvido falar dos fótons, mas sabe me dizer como relacionamos os fótons e os elétrons?

Bohr desenvolveu um modelo atômico e escreveu alguns postulados, que nos ajudam a relacionar fótons e elétrons.

Ao longo dessa teoria vamos dar uma olhada em cada postulado, compreender as relações importantes entre os fótons e elétrons e também entender como a quântica trata do modelo atômico de Bohr.

Postulados de Bohr

Primeiro postulado de Bohr:

“O elétron do átomo de hidrogênio só pode se mover em certas órbitas, não-irradiantes, circulares, chamadas de estados estacionários.

Ele diz que tem que ser “não-irradiantes” porque, se o elétron irradiasse ondas eletromagnéticas, ele iria perdendo energia e iria saindo da órbita em uma espiral em direção ao núcleo.

E pelo modelo de Bohr do átomo a gente vê que as órbitas respeitam essa condição circular e estacionária.

O átomo irradia somente quando o elétron faz uma transição de um estado estacionário para outro.

Segundo postulado de Bohr:

O segundo postulado explica como calcular a frequência da radiação emitida pelo elétron quando ele faz o movimento de transitar entre duas órbitas, como na figura:

Aqui na quântica a gente vai ver o modelo de Bohr numerando as órbitas de 1 até n a partir do núcleo.

Nessa transição de camadas o elétron vai absorver ou emitir um fóton e a gente logo vai entender quando ocorre cada caso.

A frequência do fóton emitido pelo elétron na transição entre duas órbitas é relacionada à energia das órbitas por:

f = | E f - E i | h

(Frequência do fóton emitido ou absorvido)

Onde h é a constante de Planck, lembrando que h = 6,626 ∙ 10 - 34   J   s = 4,136 ∙ 10 - 15   e V   s . A energia E i corresponde à energia no estado inicial e E f corresponde à energia no estado final.

Terceiro postulado de Bohr:

As órbitas do elétron são tais que o momento angular do elétron em relação ao núcleo é um múltiplo inteiro de ℏ = h / 2 π . Isso implica que o raio das órbitas é quantizado.

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

(Momento angular quantizado)

Onde ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s .

O conceito importante desse postulado é semelhante ao do primeiro: órbitas estacionárias.

Raio das órbitas circulares

Agora vamos deduzir as características do átomo de Bohr, usando o que vimos nos postulados.

Vamos imaginar um elétron numa órbita circular de raio r em torno de uma carga positiva + Z e , como o núcleo de hidrogênio ( Z = 1 é o número de prótons no núcleo de hidrogênio).

A força elétrica de atração entre as cargas que mantém o elétron na trajetória circular é igual a força centrípeta.

F C = F e l

m v 2 r = - k q 1 q 2 r 2 = - k ( Z e ) ( - e ) r 2

m v 2 r = k Z e 2 r 2

v 2 = k Z e 2 m r n

Da quantização do momento angular:

L = m v r n = n h 2 π = n ℏ

v = n ℏ m r n

v 2 = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

Igualando os dois podemos achar os raios das órbitas do elétron.

k Z e 2 m r n = n 2 ℏ 2 m 2 r n 2

r n = n 2 ℏ 2 m k Z e 2 = n 2 a 0 Z

Onde a 0 = ℏ 2 / m k e 2 é o menor raio possível para a órbita do elétron do hidrogênio. Lembrando que no hidrogênio, Z = 1 .

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

Se calcularmos os valores da equação é possível encontrarmos o valor

a 0 = ℏ 2 m k e 2 ≅ 5,29 ∙ 10 - 11   m

E em nanômetros temos:

a 0 = 0,0529   n m

Mas esse é um valor que costuma ser dado, então vamos guardar nossas energias pra compreender como resolver problemas envolvendo essa constante.

Reescrevendo a equação do raio das órbitas de Bohr para um valor em nanômetros, temos:

r n = 0,0529 n 2

Energia das Órbitas

A energia total do elétron é igual à soma da energia potencial com a energia cinética.

E = K + U

A energia potencial é dada por:

U = k q 1 q 2 r = - k Z e 2 r

A energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

E = 1 2 m v 2 - k Z e 2 r

Logo o que foi encontrado pra v 2 :

v 2 = k Z e 2 m r n

Substituindo esse resultado na expressão da energia, temos:

E = 1 2 k Z e 2 r - k Z e 2 r

Finalmente:

E = - 1 2 k Z e 2 r

Podemos substituir r pelos raios das órbitas, e teremos:

E n = - 1 2 k Z 2 e 2 n 2 a 0 = - 1 2 m k 2 Z 2 e 4 n 2 ℏ 2

Ou:

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - Z 2 E 0 n 2    

Quando Z = 1 :

  E n = - E 0 n 2

Onde:

E 0 = 1 2 m k 2 e 4 ℏ 2 = 13,6   e V

E 0 corresponde ao estado de energia mais baixa, também chamado de estado fundamental.

E se liga, nas provas não é comum aparecerem os dados para calculá-lo então guarde bem esse valor!

E 0 = 13,6 e V

Para outros átomos com só um elétron com diferentes Z (chamados de átomos hidrogenóides)

E n = - Z 2 E 0 n 2

Os exercícios mais comuns devem te pedir pra calcular a diferença de energia na transição dos estados, então pra fixar essa equação da energia vamos calcular pra essa situação da figura a diferença de energia:

Aqui o elétron saiu da órbita de n = 2 e foi para a órbita de n = 3 , vamos usar a equação da energia para cada órbita:

E 2 = - 13,6 2 2 = - 3,4 e V

E 3 = - 13,6 3 2 = - 1,51 e V

A variação da energia nada mais é que a energia do fóton emitido ou absorvido no processo.

∆ E = E f - E i

∆ E = - 1,51 - - 3,4 = 1,89 e V

E o sinal é positivo pois para o elétron sair do estado 2 para o estado 3 ele precisa absorver energia, então o que aconteceu aí foi uma absorção

∆ E > 0

Se por acaso ele fizesse o movimento contrário, ou seja, quando ele diminui de órbita da 3 pra 2 ele emite um fóton perdendo energia. Dizemos que aí acontece uma emissão.

∆ E < 0

Fóton emitido na transição eletrônica

Se o elétron vai de uma órbita inicial i para uma órbita final f a energia do fóton associado é

E f ó t o n = Δ E e l é t r o n

h f = E e l é t r o n f - E e l é t r o n i

h f = - Z 2 E 0 1 n f 2 - 1 n i 2

Se Δ E e l é t r o n > 0 quer dizer que tivemos um fóton absorvido e se Δ E e l é t r o n < 0 tivemos um fóton emitido. Fica atento nisso!

O Δ E e l é t r o n ter sinal positivo ou negativo faz sentido, mas no final da sua conta você tem que ter f positiva, você pode usar o módulo do valor encontrado caso esteja trabalhando com uma emissão.

Isolando a frequência, temos:

f = - Z 2 E 0 h 1 n f 2 - 1 n i 2

Se usarmos que f = c / λ , temos a fórmula das séries do hidrogênio, outra parada é que passamos o sinal pra dentro do parêntese e aí temos que trocar a ordem das frações.

1 λ = R H   1 n i 2 - 1 n f 2

Onde R H é a constante de Rydberg dada por:

R H = m k 2 e 4 4 π ℏ 3 c = 1,097 ∙ 10 7   m - 1

E se por acaso no nosso exemplo quiséssemos saber o comprimento de onda do fóton emitido? Era só a gente rearrumar a fórmula das séries do hidrogênio em função de λ

λ = 1 R H   1 n i 2 - 1 n f 2

E como a gente já sabe que o elétron saiu da órbita de n = 2   para n = 3 é só substituirmos os valores:

λ = 1 R H 1 2 2 - 1 3 2 = 1 R H 1 4 - 1 9

λ = 1 0,1388 R H

Substituindo a constante temos:

λ = 1 0,1388 × 1,097 ∙ 10 7 = 6,56 × 10 - 7 m

λ = 656 × 10 - 9 m = 656   n m

E olha que interessante, esse comprimento de onda está na faixa dos comprimentos da luz vermelha [ 620 - 750 ] n m .

É importante entender o desenvolvimento para entender o conceito do átomo de Bohr. Mas não se preocupe com as sopas de letrinhas nas constantes, foque em entender quem são as constantes e quando usá-las.

Resumo

Níveis de energia para o átomo de hidrogênio

E n = - E 0 n 2

E 0 = 13,6   e V

Raios das órbitas de Bohr

r n = n 2 a 0

a 0 ≅ 0,0529   n m

Momento angular

L = n ℏ

Série do Hidrogênio

1 λ = R H   1 n i 2 - 1 n f 2

R H = 1,097 ∙ 10 7   m - 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 212-38.23.

Um átomo de hidrogênio está em um estado com energia - 1,51   e V .

No modelo de Bohr, qual é o momento angular do elétron no átomo, em relação a um eixo que passa pelo núcleo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De acordo com o modelo de Bohr, o momento angular do elétron é dado por:

m v r = n ℏ

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s

O problema nos dá que o átomo está em um estado de energia com - 1,51   e V .

O níveis de energia são dados por:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Passo 2

Para o átomo de hidrogênio, Z = 1 . Então podemos descobrir o valor de n , através da expressão:

E n = - Z 2 E 0 n 2

Onde:

E n = - 1,51   e V ;

E 0 = 13,6   e V (valor constante);

Z = 1 ;

Logo:

n 2 = - Z 2 E 0 E n

n 2 = 13,6 1,51 = 9  

n = 3

Passo 3

Voltando para a expressão do momento angular:

m v r = n ℏ

Onde:

n = 3 ;

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

Logo:

m v r = 3 ℏ = 3,15 × 10 - 34   J s

Resposta

3 ℏ = 3,15 × 10 - 34   k g   m 2 / s

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 212-38.27.
  1. Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis n = 1 ,   2 e 3 .
  2. Calcule o período orbital para cada um desses níveis.
  3. A vida média para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio é 1,0 × 10 - 8   s . No modelo de Bohr, quantas voltas completas o elétron daria no nível n = 2 antes de o elétron voltar para seu nível fundamental?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Usando o modelo de Bohr, calcule a velocidade do elétron no átomo de hidrogênio para os níveis n = 1 ,   2 e 3 .

Podemos relacionar as velocidades v e os níveis n através do momento angular, dado por:

m v r = n ℏ

v = n ℏ m r

Os raios dos níveis são dados por:

r n = n 2 a 0 Z

Passo 2

Vamos encontrar os raios para n = 1 ,   2 e 3 .

r n = n 2 a 0 Z

Onde:

Z = 1 (para o hidrogênio);

a 0 = 0,0529   n m ;

Logo:

r 1 = 0,0529   n m

r 2 = 0,2116   n m

r 3 = 0,4761   n m

Passo 3

v = n ℏ m r

Onde:

m = 9,1 × 10 - 31 k g ;

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

r 1 = 0,0529   n m ;

r 2 = 0,2116   n m ;

r 3 = 0,4761   n m ;

Logo:

v 1 = 2,1 8 × 10 6   m / s

v 2 = 1,11 × 10 6   m / s

v 3 = 0,74 × 10 6   m / s

Passo 4

b) Calcule o período orbital para cada um desses níveis.

Considerando a trajetória circular dos elétrons:

v = 2 π r T → T = 2 π r v

Onde:

r 1 = 0,0529   n m ;

r 2 = 0,2116   n m ;

r 3 = 0,4761   n m ;

v 1 = 2,18 × 10 6   m / s ;

v 2 = 1,11 × 10 6   m / s ;

v 3 = 0,74 × 10 6   m / s ;

Logo:

T 1 = 0 , 15 × 10 - 15 s

T 2 = 1,19 × 10 - 15 s

T 3 = 4,04 × 10 - 15 s

Passo 5

c) A vida média para o primeiro nível excitado do átomo de hidrogênio é 1,0 × 10 - 8   s . No modelo de Bohr, quantas voltas completas o elétron daria no nível n = 2 antes de o elétron voltar para seu nível fundamental?

O período para o nível n = 2 é T 2 = 1,19 × 10 - 15 s .

Para saber o número de voltas que o elétron daria, basta calcular:

t T 2 = 1,0 × 10 - 8 1,19 × 10 - 15 ≅ 8,4 × 10 6   v o l t a s

Resposta

a) v 1 = 2,18 × 10 6   m / s

v 2 = 1,11 × 10 6   m / s

v 3 = 0,74 × 10 6   m / s

b)

T 1 = 0,15 × 10 - 15 s

T 2 = 1,19 × 10 - 15 s

T 3 = 4,04 × 10 - 15 s

c)

  8,4 × 10 6   v o l t a s

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2012.1.

A condição de quantização de Bohr para as órbitas dos elétrons requer que:

  1. O momento angular do elétron em torno do núcleo do átomo de hidrogênio seja igual a n h / 2 π
  2. No máximo um elétron ocupe um dado estado estacionário.
  3. Os elétrons espiralem em direção ao núcleo enquanto irradiam ondas eletromagnéticas.
  4. As energias possíveis para um elétron num átomo de hidrogênio sejam iguais a n E 0 , onde E 0 é uma constante e n um número inteiro.
  5. Nenhuma das afirmações anteriores está correta.
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Passo 1

Vamos analisando opção por opção.

a) O momento angular do elétron em torno do núcleo do átomo de hidrogênio seja igual a n h / 2 π .

De acordo com Bohr, o momento angular de um elétron em torno do núcleo do átomo é igual a n h / 2 π .

Logo, a opção está correta.

Passo 2

b) No máximo um elétron ocupe um dado estado estacionário.

No modelo de Bohr para o átomo não há nenhuma restrição quanto ao número de elétrons em um mesmo estado estacionário.

Passo 3

c) Os elétrons espiralem em direção ao núcleo enquanto irradiam ondas eletromagnéticas.

Os elétrons não devem irradiar ondas eletromagnéticas, pois iriam percorrer uma trajetória em espiral e o átomo colapsaria.

A opção está incorreta.

Passo 4

d) As energias possíveis para um elétron num átomo de hidrogênio sejam iguais a n E 0 , onde E 0 é uma constante e n um número inteiro.

As energias possíveis para um elétron num átomo de hidrogênio são dadas por:

E n = E 0 n 2

Logo, a opção está incorreta.

Passo 5

e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Na verdade, somente a letra (a) está correta, respondendo à questão.

Resposta

a) O momento angular do elétron em torno do núcleo do átomo de hidrogênio seja igual a n h / 2 π .

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