Partícula na Caixa Unidimensional

Teoria Completa

Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento L .

Lembrando que a Equação de Schrödinger é dada por:

E q u a ç ã o   d e   S c h r ö d i n g e r   i n d e p e n d e n t e   d o   t e m p o

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x

Partícula num poço de potencial infinito

O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons.

Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:

U x = ∞                 x < 0 0     0 < x < L ∞                 x > L

Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Primeiro, vamos resolver a equação de Schrödinger para as Regiões I e III, fora da caixa.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U x - E ψ x

Fazendo U x = U 0 > E constante, podemos observar que uma solução dessa equação é:

ψ x = ψ 0 e - k x

Onde k 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E . Se fizermos U 0 → ∞ , então k → ∞ e ψ x → 0 .

Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.

Agora vamos resolver a Equação de Schrödinger para a região II, dentro da caixa.

A função de onda ser zero fora da caixa, junto com o fato dela ter que ser continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:

ψ x = 0 para x = 0 e x = L

No interior da caixa U x = 0 e teremos:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E   ψ x

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:

ψ n = A n sen ⁡ n π x L  

n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde k = n π / L . O valor de A n é determinado a partir da condição de normalização:

∫ - ∞ ∞ ψ 2   d x = 1

Que nos dá:

A n = 2 / L  

Assim, a função de onda é dada por:

F u n ç ã o   d e   o n d a   d o   p o ç o   d e   p o t e n c i a l   i n f i n i t o

ψ n = 2 L sen ⁡ n π x L

Onde n é o número quântico da partícula na caixa e é inteiro, mostrando que os estados possíveis da partícula são quantizados.

Essa função de onda representa ondas estacionárias dentro da caixa. É semelhante a uma corda presa em duas extremidades fixas.

A densidade de probabilidade vai ser:

ψ 2 = 2 L sen 2 ⁡ n π x L

Os gráficos dessa função para os primeiros números quânticos vão ser:

As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde ψ = 0 ) por causa das condições de contorno. Além disso, dentro da caixa, terão sempre n - 1 nós, totalizando n + 1 nós.

Esses nós correspondem a:

sen ⁡ n π x L = 0

Pra esse seno ser 0 o argumento dentro dele tem que ser m π = 0 , π , 2 π , 3 π , …

n π x L = m π

x = m n L ,  

0 ≤ m ≤ n

0 ≤ x ≤ L

Para que x esteja na região II, m = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n é sempre menor ou igual a n .

Teremos também n picos, que correspondem a:

sen 2 ⁡ n π x L = 1   →     sen ⁡ n π x L = ± 1

Obs: O - 1 entra também na jogada por que os picos aparecem quando a densidade é máxima.

Pra esse seno ser ± 1 o argumento dentro do seno tem que ser 1 2 + m π = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , …

n π x L = m + 1 2 π

x = m + 1 2 L n  

0 ≤ x ≤ L

Dessa vez precisamos que m = 0 ,   1 ,   2 ,   … n - 1 para x ficar na região II.

Vamos usar como exemplo n = 3 . Neste caso, eu tenho 4 nós x = 0 , L 3 , 2 L 3 ,   L e 3 picos x = L 6 , 3 L 6 , 5 L 6 .

Energia da Partícula na Caixa

Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:

k n = n π L

Porém, quando montamos a equação, tínhamos:

k n 2 = 2 m E ℏ 2

Como os valores de k da solução final são quantizados, então os níveis de energia da partícula também vão ser quantizados!

n 2 π 2 L 2 = 2 m E n ℏ 2

Substituindo ℏ = h / 2 π , temos ℏ 2 = h 2 / 2 2 π 2 :

E n = n 2 π 2 h 2 2 m L 2 2 2 π 2

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Para n = 1 nós temos a energia do estado fundamental:

E 1 = h 2 8 m L 2

Enquanto que para qualquer outro estado de energia:

E n = n 2 E 1

É isso! Bora pros exercícios agora?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 240-13.

Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de largura L é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado.

Essa excitação aumenta, diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região:

  1. No centro do poço?
  2. Perto de uma das bordas do poço?
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Passo 1

Vamos resolver esse problema com argumentos mais qualitativos, lembrando que a função de onda para o elétron confinado é:

ψ n ⁡ x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π L ∙ x

E a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é:

ψ n 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

A probabilidade de encontrar o elétron em uma região vai ser:

∫ a b ψ n 2 x d x

Obs: Você poderia tentar deduzir a fórmula exata da probabilidade e tentar comparar para os dois estados, mas essa análise seria bem mais complicada.

Passo 2

Letra a)

No estado fundamental, temos n = 1 e a densidade de probabilidade fica:

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x

O gráfico fica:

O primeiro estado excitado corresponde a n = 2 .

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ 2 π L ∙ x

No primeiro gráfico é possível ver que ψ 2 está mais concentrado no centro da figura, enquanto na segunda o centro tem um mínimo.

Isso significa que a probabilidade de detectar o elétron numa pequena região ao redor do centro da figura diminui.

Passo 3

Letra b)

Usando os mesmos gráficos do item anterior, observa-se o seguinte:

Para n = 1 , a função de onda é mais concentrada no meio da figura e próximo da parede ela é bem pequena, enquanto para n = 2 temos dois máximos mais próximos das paredes, e a função de onda se concentra mais nesses dois máximos.

Como eles são mais próximos das paredes, ψ 2 cresce mais rápido próximo das paredes neste caso e por isso a probabilidade de achar o elétron em uma pequena região próxima da parede será maior.

Resposta

Letra a)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região no centro do poço diminui.

Letra b)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região próxima das paredes aumenta.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-13.

Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura; o elétron se encontra no estado fundamental.

Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura Δ x = 5,0   p m em torno do ponto:

  1. x = 25   p m
  2. x = 50   p m
  3. x = 90   p m

(Sugestão: A largura Δ x é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior)

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Passo 1

A probabilidade de se encontrar o elétron numa dada região a , b é dada por:

P = ∫ a b ψ 2 x d x

Mas, usando a sugestão do problema, podemos aproximá-la por:

P ≅ ψ 2 x ∙ Δ x

Onde, no caso da partícula confinada num poço unidimensional:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

E para o estado fundamental n = 1 .

Passo 2

Letra a)

Pelo enunciado, L = 100   p m