Teoria Completa
Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento .
Lembrando que a Equação de Schrödinger é dada por:
Equação de Schrödinger independente do tempo
Onde:
é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação:
é a função de onda independente do tempo.
é o potencial de cada região.
é a massa da partícula.
é a energia da partícula.
Partícula num poço de potencial infinito
O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons.
Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:
Graficamente, o que acontece é o seguinte:
Ou seja a energia na regiões l e lll fora da caixa tem potencial infinito. A diferença de potencial
Primeiro, vamos resolver a equação de Schrödinger para as Regiões I e III, fora da caixa.
Fazendo constante, podemos observar que uma solução dessa equação é:
Onde .
Se fizermos , então e .
Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.
Agora vamos resolver a Equação de Schrödinger para a região II, dentro da caixa e encontrar a função de onda da partícula.
A função de onda ser zero fora da caixa, junto com o fato dela ter que ser continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:
para e
No interior da caixa e teremos:
Onde é uma rearrumação das constantes conhecidas dada por:
Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:
Onde . O valor de é determinado a partir da condição de normalização:
Que nos dá:
Assim, a função de onda é dada por:
Onde é o número quântico da partícula na caixa e é inteiro, mostrando que os estados possíveis da partícula são quantizados.
Função densidade de probabilidade
Essa função determina a probabilidade do elétron estar numa determinada posição na caixa, e é encontrada elevando a função de onda ao quadrado porém em módulo.
Os gráficos dessa função possuem um jeito muito fácil de se esboçar. Mais importe do que calcular a função é entender que o número de cristas é proporcional ao número
As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde ) por causa das condições de contorno. Além disso, dentro da caixa, terão sempre nós, totalizando nós. A gente pode usar como exemplo essas figuras dos estados, vamos pegar pra
Dentro da caixa são 2 nós em azul, e fora são 2 nós em vermelho e totalizam 4 nós:
Na caixa:
Total de nós:
Esses nós correspondem a:
E isso rola pois quando o seno é 0 a função também será 0 já que é uma constante multiplicando um seno.
Pra esse seno ser o argumento dentro dele tem que ser
E rearrumando em função da posição a gente encontra uma equação pra posição dos nós:
Para que esteja na região II, é sempre menor ou igual a .
Teremos também picos, que correspondem a:
Obs: O entra também na jogada por que os picos aparecem quando a densidade é máxima, e a densidade é dada a partir do . Sabendo que a função seno varia de até , o terá seu máximo quando o e quando o .
Pra esse seno ser o argumento dentro do seno tem que ser
Enfim conseguimos uma equação para a posição dos picos:
Dessa vez precisamos que para ficar na região II.
Vamos usar como exemplo e vamos calcular a posição dos nós e dos picos a gente viu pela figura que são 4 nós.
Para os nós substituímos os valores de de 0 até , na equação:
Para
A gente viu que são 3 picos, então usaremos a equação dos picos e vamos substituir os valore de no intervalo de 0 até .
Como
Substituímos
Energia da Partícula na Caixa
Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:
Porém, quando montamos a equação, tínhamos:
Como os valores de da solução final são quantizados, então os níveis de energia da partícula também vão ser quantizados!
Substituindo , temos :
Atenção aqui, essa fórmula é bastante usada e será bem importante pra encontrar a energia do elétron em diferentes estados.
Para nós temos a energia do estado fundamental:
Enquanto que para qualquer outro estado de energia:
A gente pode agora fazer um exemplo aqui rápido, imagina que a energia no estado fundamental é , qual será a energia no terceiro estado excitado?
Para o terceiro estado a gente tem:
Aplicando na fórmula o valor de .
Resumo
Aqui vamos trazer as equações e pontos mais importantes.
Função de onda dentro da caixa:
Função densidade de probabilidade da partícula na caixa:
No gráfico o número de picos é proporcional ao número
E nós ou mínimos dentro da caixa é , e no total é .
Os nós acontecem quando o seno da função de probabilidade é 0, pois a função também dá zero.
posição dos nós:
Para de 0 até
a posição dos picos:
Para de 0 até
A energia da partícula em diferentes estados na caixa é dada por:
No estado fundamental temos
No geral então pra outros estados a gente pode reescrever:
Exercício Resolvido #1
Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de largura é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado.
Essa excitação aumenta, diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região:
- No centro do poço?
- Perto de uma das bordas do poço?
Passo 1
Vamos resolver esse problema com argumentos mais qualitativos, lembrando que a função de onda para o elétron confinado é:
E a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é:
A probabilidade de encontrar o elétron em uma região vai ser:
Obs: Você poderia tentar deduzir a fórmula exata da probabilidade e tentar comparar para os dois estados, mas essa análise seria bem mais complicada.
Passo 2
Letra a)
No estado fundamental, temos e a densidade de probabilidade fica:
O gráfico fica:
O primeiro estado excitado corresponde a .
No primeiro gráfico é possível ver que está mais concentrado no centro da figura, enquanto na segunda o centro tem um mínimo.
Isso significa que a probabilidade de detectar o elétron numa pequena região ao redor do centro da figura diminui.
Passo 3
Letra b)
Usando os mesmos gráficos do item anterior, observa-se o seguinte:
Para , a função de onda é mais concentrada no meio da figura e próximo da parede ela é bem pequena, enquanto para temos dois máximos mais próximos das paredes, e a função de onda se concentra mais nesses dois máximos.
Como eles são mais próximos das paredes, cresce mais rápido próximo das paredes neste caso e por isso a probabilidade de achar o elétron em uma pequena região próxima da parede será maior.
Resposta
Letra a)
A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região no centro do poço diminui.
Letra b)
A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região próxima das paredes aumenta.
Exercício Resolvido #2
Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com de largura; o elétron se encontra no estado fundamental.
Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura em torno do ponto:
(Sugestão: A largura é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior)
Passo 1
A probabilidade de se encontrar o elétron numa dada região é dada por:
Mas, usando a sugestão do problema, podemos aproximá-la por:
Onde, no caso da partícula confinada num poço unidimensional:
E para o estado fundamental .
Passo 2
Letra a)
Pelo enunciado, .
Para , temos:
Como , a probabilidade usando nossa aproximação será:
Passo 3
Letra b)
Para , temos:
Com a probabilidade fica:
Passo 4
Letra c)
Para , temos:
Com a probabilidade fica:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)]
Exercício Resolvido #3
Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento (caixa quântica).
Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades e e está inicialmente no estado fundamental.
Dados , , e , em função dos dados:
- Deduza a energia e o momento do elétron.
- Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
- Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre e , se ele estiver no segundo estado?
- Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
- Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
Passo 1
a) Deduza a energia e o momento do elétron.
Para uma onda estacionária, podemos dizer que:
O momento do elétron é dado por:
Como o elétron se encontra no estado fundamental, , logo:
Passo 2
A energia do elétron é dada por:
Substituindo a expressão para que acabamos de encontrar:
Passo 3
b) Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:
O valor de é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:
Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento , a função de onda só existe no intervalo , os limites de integração serão e .
Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:
Substituindo na integral, teremos:
Segundo o enunciado:
Logo:
Substituindo na expressão da função de onda:
No estado fundamental, , logo:
Passo 4
c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre e , se ele estiver no segundo estado?
Se o elétron estiver no segundo estado, então , e a função de onda é dada por:
A probabilidade de o elétron estar na região é dada por:
Logo:
Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:
Substituindo na integral, teremos:
Segundo o enunciado:
Logo:
Passo 5
d) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo é dado por:
Se o elétron estiver no quarto estado, então , e a função de onda é dada por:
Os pontos de menor probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde:
Logo: