Partícula na Caixa Unidimensional

Teoria Completa

Um dos problemas mais tradicionais da mecânica quântica é o de uma partícula, como o elétron, confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento L .

Lembrando que a Equação de Schrödinger é dada por:

Equação de Schrödinger independente do tempo

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x

Onde:

é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação:

ℏ = h 2 π

ψ x   é a função de onda independente do tempo.

U ( x ) é o potencial de cada região.

m   é a massa da partícula.

E é a energia da partícula.

Partícula num poço de potencial infinito

O que a gente chama de “caixa” é uma armadilha para pegar ratos, digo, elétrons.

Nós fazemos um poço de potencial infinito, que se descreve matematicamente da seguinte forma:

U x = ∞                 x < 0 0     0 < x < L ∞                 x > L

Graficamente, o que acontece é o seguinte:

Ou seja a energia na regiões l e lll   fora da caixa tem potencial infinito. A diferença de potencial

Primeiro, vamos resolver a equação de Schrödinger para as Regiões I e III, fora da caixa.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U x - E ψ x

Fazendo U x = U 0 > E constante, podemos observar que uma solução dessa equação é:

ψ x = ψ 0 e - k x

Onde k 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E .

Se fizermos U 0 → ∞ , então k → ∞ e ψ x → 0 .

Logo, fora da caixa, a função de onda tem que ser zero.

Agora vamos resolver a Equação de Schrödinger para a região II, dentro da caixa e encontrar a função de onda da partícula.

A função de onda ser zero fora da caixa, junto com o fato dela ter que ser continua em todo o espaço nos dá as seguintes condições de contorno:

ψ x = 0 para x = 0 e x = L

No interior da caixa U x = 0 e teremos:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E   ψ x

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde k é uma rearrumação das constantes conhecidas dada por:

k 2 = 2 m E ℏ 2

Resolvendo essa equação diferencial e utilizando as condições de contorno encontramos:

ψ n = A n sen ⁡ n π x L  

n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Onde k = n π / L . O valor de A n é determinado a partir da condição de normalização:

∫ - ∞ ∞ ψ 2   d x = 1

Que nos dá:

A n = 2 / L  

Assim, a função de onda é dada por:

ψ n = 2 L sen ⁡ n π x L

Onde n é o número quântico da partícula na caixa e é inteiro, mostrando que os estados possíveis da partícula são quantizados.

Função densidade de probabilidade

Essa função determina a probabilidade do elétron estar numa determinada posição na caixa, e é encontrada elevando a função de onda ao quadrado porém em módulo.

ψ 2 = 2 L sen 2 ⁡ n π x L

Os gráficos dessa função possuem um jeito muito fácil de se esboçar. Mais importe do que calcular a função é entender que o número de cristas é proporcional ao número n .

As extremidades da caixa são sempre um nó (pontos onde ψ = 0 ) por causa das condições de contorno. Além disso, dentro da caixa, terão sempre n - 1 nós, totalizando n + 1 nós. A gente pode usar como exemplo essas figuras dos estados, vamos pegar pra n = 3

Dentro da caixa são 2 nós em azul, e fora são 2 nós em vermelho e totalizam 4 nós:

Na caixa:

n ó s = n - 1

n ó s = 3 - 1 = 2

Total de nós:

n ó s = n + 1

n ó s = 3 + 1 = 4

Esses nós correspondem a:

sen ⁡ n π x L = 0

E isso rola pois quando o seno é 0 a função também será 0 já que é uma constante multiplicando um seno.

Pra esse seno ser 0 o argumento dentro dele tem que ser m π = 0 , π , 2 π , 3 π , …

n π x L = m π

m = n x L  

E rearrumando em função da posição a gente encontra uma equação pra posição dos nós:

x = m n L

0 ≤ m ≤ n

0 ≤ x ≤ L

Para que x esteja na região II, m = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   m é sempre menor ou igual a n .

Teremos também n picos, que correspondem a:

sen 2 ⁡ n π x L = 1   →     sen ⁡ n π x L = ± 1

Obs: O - 1 entra também na jogada por que os picos aparecem quando a densidade é máxima, e a densidade é dada a partir do s e n 2 . Sabendo que a função seno varia de - 1 até 1 , o s e n 2 terá seu máximo s e n m á x 2 = 1 quando o s e n = 1 e quando o s e n = - 1 .

Pra esse seno ser ± 1 o argumento dentro do seno tem que ser 1 2 + m π = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , …

n π x L = m + 1 2 π

Enfim conseguimos uma equação para a posição dos picos:

x = m + 1 2 L n  

0 ≤ x ≤ L

Dessa vez precisamos que m = 0 ,   1 ,   2 ,   … n - 1 para x ficar na região II.

Vamos usar como exemplo n = 3 e vamos calcular a posição x dos nós e dos picos a gente viu pela figura que são 4 nós.

Para os nós substituímos os valores de m de 0 até n , na equação:

m = n x L  

x ( m ) = m L 3

Para m = 0 :

x = 0

m = 1 :

x = L 3

m = 2 :

x = 2 L 3

m = 3 :

x = L

A gente viu que são 3 picos, então usaremos a equação dos picos e vamos substituir os valore de m no intervalo de 0 até n - 1 .

x ( m ) = m + 1 2 L n  

Como n = 3 :

x m = m + 1 2 L 3

Substituímos m .

x 0 = 0 + 1 2 L 3 = L 6

x 1 = 1 + 1 2 L 3 = L 2

x 3 = 2 + 1 2 L 3 = 5 L / 6  

Energia da Partícula na Caixa

Ao resolvermos a equação de Schrödinger, tivemos que fazer:

k n = n π L

Porém, quando montamos a equação, tínhamos:

k n 2 = 2 m E ℏ 2

Como os valores de k da solução final são quantizados, então os níveis de energia da partícula também vão ser quantizados!

n 2 π 2 L 2 = 2 m E n ℏ 2

Substituindo ℏ = h / 2 π , temos ℏ 2 = h 2 / 2 2 π 2 :

E n = n 2 π 2 h 2 2 m L 2 2 2 π 2

Atenção aqui, essa fórmula é bastante usada e será bem importante pra encontrar a energia do elétron em diferentes estados.

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Para n = 1 nós temos a energia do estado fundamental:

E 1 = h 2 8 m L 2

Enquanto que para qualquer outro estado de energia:

E n = n 2 E 1

A gente pode agora fazer um exemplo aqui rápido, imagina que a energia no estado fundamental é E 1 = 0,5 M e V , qual será a energia no terceiro estado excitado?

Para o terceiro estado a gente tem:

n = 3

Aplicando na fórmula o valor de n .

E 3 = 3 2 E 1 = 9 E 1

E 3 = 4,5 M e V

Resumo

Aqui vamos trazer as equações e pontos mais importantes.

Função de onda dentro da caixa:

ψ n = 2 L sen ⁡ n π x L

Função densidade de probabilidade da partícula na caixa:

ψ 2 = 2 L sen 2 ⁡ n π x L

No gráfico o número de picos é proporcional ao número n .

E nós ou mínimos dentro da caixa é n - 1 , e no total é n + 1 .

Os nós acontecem quando o seno da função de probabilidade é 0, pois a função também dá zero.

posição dos nós:

x = m n L

Para m de 0 até n .

a posição dos picos:

x = m + 1 2 L n  

Para m de 0 até n - 1 .

A energia da partícula em diferentes estados na caixa é dada por:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

No estado fundamental temos n = 1 .

E 1 = h 2 8 m L 2

No geral então pra outros estados a gente pode reescrever:

E n = n 2 E 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 240-13.

Um elétron que está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de largura L é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado.

Essa excitação aumenta, diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região:

  1. No centro do poço?
  2. Perto de uma das bordas do poço?
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Passo 1

Vamos resolver esse problema com argumentos mais qualitativos, lembrando que a função de onda para o elétron confinado é:

ψ n ⁡ x = 2 / L ∙ sen ⁡ n π L ∙ x

E a densidade de probabilidade de encontrar o elétron é:

ψ n 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

A probabilidade de encontrar o elétron em uma região vai ser:

∫ a b ψ n 2 x d x

Obs: Você poderia tentar deduzir a fórmula exata da probabilidade e tentar comparar para os dois estados, mas essa análise seria bem mais complicada.

Passo 2

Letra a)

No estado fundamental, temos n = 1 e a densidade de probabilidade fica:

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x

O gráfico fica:

O primeiro estado excitado corresponde a n = 2 .

ψ 2 ⁡ x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ 2 π L ∙ x

No primeiro gráfico é possível ver que ψ 2 está mais concentrado no centro da figura, enquanto na segunda o centro tem um mínimo.

Isso significa que a probabilidade de detectar o elétron numa pequena região ao redor do centro da figura diminui.

Passo 3

Letra b)

Usando os mesmos gráficos do item anterior, observa-se o seguinte:

Para n = 1 , a função de onda é mais concentrada no meio da figura e próximo da parede ela é bem pequena, enquanto para n = 2 temos dois máximos mais próximos das paredes, e a função de onda se concentra mais nesses dois máximos.

Como eles são mais próximos das paredes, ψ 2 cresce mais rápido próximo das paredes neste caso e por isso a probabilidade de achar o elétron em uma pequena região próxima da parede será maior.

Resposta

Letra a)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região no centro do poço diminui.

Letra b)

A probabilidade de encontrar o elétron em uma pequena região próxima das paredes aumenta.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-13.

Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura; o elétron se encontra no estado fundamental.

Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura Δ x = 5,0   p m em torno do ponto:

  1. x = 25   p m
  2. x = 50   p m
  3. x = 90   p m

(Sugestão: A largura Δ x é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior)

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Passo 1

A probabilidade de se encontrar o elétron numa dada região a , b é dada por:

P = ∫ a b ψ 2 x d x

Mas, usando a sugestão do problema, podemos aproximá-la por:

P ≅ ψ 2 x ∙ Δ x

Onde, no caso da partícula confinada num poço unidimensional:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

E para o estado fundamental n = 1 .

Passo 2

Letra a)

Pelo enunciado, L = 100   p m .

Para x = 25   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 25 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 4

ψ 2 = 2 100 ∙ 2 2 2 = 1 50 ∙ 2 4 = 1 100

Como Δ x = 5   p m , a probabilidade usando nossa aproximação será:

P = 5 100 = 0,05 = 5 %

Passo 3

Letra b)

Para x = 50   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 50 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 2

ψ 2 = 2 100 ∙ 1 2 = 1 50

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P = 5 50 = 1 10 = 0,1 = 10 %

Passo 4

Letra c)

Para x = 90   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 90 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ 9 π 10

ψ 2 ≅ 0,00191

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P ≅ 0,00191 ∙ 5 ≅ 0,00955 = 0,955 %

Resposta

Letra a)

P = 0,05 = 5 %

Letra b)

P = 0,1 = 10 %

Letra c)]

P ≅ 0,00955 = 0,955 %

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2012.1.

Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento L (caixa quântica).

Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades ( x = 0 e x = L ) e está inicialmente no estado fundamental.

Dados m e , L , h e ∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 , em função dos dados:

  1. Deduza a energia e o momento do elétron.
  2. Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
  3. Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?
  4. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?
  5. Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?
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Passo 1

a) Deduza a energia e o momento do elétron.

Para uma onda estacionária, podemos dizer que:

L = n λ 2 → λ = 2 L n

O momento do elétron é dado por:

p n = h λ = n h 2 L

Como o elétron se encontra no estado fundamental, n = 1 , logo:

p 1 = h 2 L

Passo 2

A energia do elétron é dada por:

E 1 = p 1 2 2 m e

Substituindo a expressão para p 1 que acabamos de encontrar:

E 1 = h 2 8 m e L 2

Passo 3

b) Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.

A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:

ψ n = A sen ⁡ n π x L

O valor de A é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:

∫ - ∞ ∞ ψ x 2 d x = 1

Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento L , a função de onda só existe no intervalo 0 < x < L , os limites de integração serão 0 e L .

A 2 ∫ 0 L sen 2 ⁡ n π x L d x = 1

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = n π x L

d t = n π L d x

0 < x < L

0 < t < n π

Substituindo na integral, teremos:

A 2 L n π ∫ 0 n π sen 2 ⁡ t d t = 1

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

A 2 L n π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 n π = 1

A 2 L n π n π 2 = 1

A 2 L 2 = 1

A = 2 / L  

Substituindo na expressão da função de onda:

ψ n = 2 / L   sen ⁡ n π x L

No estado fundamental, n = 1 , logo:

ψ 1 = 2 / L   sen ⁡ π x L

Passo 4

c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre x = 0 e x = L / 4 , se ele estiver no segundo estado?

Se o elétron estiver no segundo estado, então n = 2 , e a função de onda é dada por:

ψ 2 = 2 / L   sen ⁡ 2 π x L

A probabilidade de o elétron estar na região 0 ≤ x ≤ L / 4 é dada por:

p = ∫ 0 L / 4 ψ x 2 d x

Logo:

p = 2 L ∫ 0 L / 4 sen 2 ⁡ 2 π x L d x

Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:

t = 2 π x L

d t = 2 π L d x

0 < x < L / 4

0 < t < π / 2

Substituindo na integral, teremos:

p = 2 L L 2 π   ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t = 1 π ∫ 0 π / 2 sen 2 ⁡ t d t

Segundo o enunciado:

∫ sen 2 ⁡ x d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Logo:

p = 1 π   t 2 - sen ⁡ 2 t 4 0 π / 2

p = 1 π   π 4 = 1 4

Passo 5

d) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de L ?

A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo a < x < b é dado por:

p = ∫ a b ψ x 2   d x