Partícula no Poço Finito

Teoria Completa

Introdução

Existem dois jeitos de se analisar o poço que captura elétrons, pra facilitar alguns cálculos a gente considera que a energia fora do poço tem potencial infinito e podemos analisar mais fácil o que acontece com o elétron capturado. Na prática o que acontece é que a energia do lado de fora do poço não é infinita, e com isso o que será que muda pra gente?

Já te digo que vamos usar a equação de Schrödinger, e caso você não esteja super familiarizado com ela vamos olhar um pouco pra ela e definir cada termo, tá?

Equação de Schrödinger independente do tempo:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ x

Onde:

é a constante reduzida de planck que tem a seguinte relação:

ℏ = h 2 π

ψ x   é a função de onda independente do tempo.

U ( x ) é o potencial de cada região.

m   é a massa da partícula.

E é a energia da partícula.

E se a energia em volta da caixa não for infinita?

A energia infinita na verdade é mais uma abstração do que uma realidade. A energia é sempre finita.

Graficamente nós temos:

O problema de uma partícula num poço de potencial finito se descreve matematicamente por:

U x = U 0                 x < 0 0     0 < x < L U 0                 x > L

Onde:

A região I é para x < 0 .

A região II dentro do poço é para 0 < x < L

A região III, fora do poço também é para x > L

Tem dois casos possíveis que estamos interessados. O primeiro é E > U 0 .

Neste caso, temos apenas uma partícula livre que não vai estar presa no poço. A energia dela é suficiente pra ela estar acima das barreiras.

Ela sendo uma partícula livre, seus níveis de energia não serão quantizados: Eles serão contínuos.

Energia da partícula dentro do poço

Agora vamos para o segundo caso: E < U 0

Vamos olhar inicialmente para a região II, no interior do poço de potencial, onde U x = 0 .

Vamos ver como vai ficar a equação?

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + 0 × ψ x = E ψ x

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ x

Rearrumando os coeficientes a gente vai ter:

- d 2 ψ x d x 2 = 2 m E ℏ 2 ψ x

E pra facilitar a nossa vida vamos chamar de k 2 o multiplicador da função de onda, o que vai nos ajudar a encontrar uma solução

k 2 = 2 m E ℏ 2

Daí rearrumando temos:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

A solução tem a forma:

ψ I I x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x

Onde o índice representa em qual região a solução é pensada.

Nesse caso, ψ I I ( x ) não é nula em x = 0 , então B não é nulo. Nós ainda não sabemos as condições de contorno a serem aplicadas.

Energia da partícula fora do poço

Fora do poço de potencial, nas regiões I e I I I , a energia potencial é uma constante, U x = U 0 e a Equação de Schrödinger independente do tempo é:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U 0 ψ x = E ψ x

Vamos tentar chegar em algo parecido com o que foi feito pra dentro do poço, uma EDO com solução característica.

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = E ψ x - U 0 ψ x

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 = ψ x ( E - U 0 )

Rearrumando os termos e invertendo o sinal, temos:

d 2 ψ x d x 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E ψ x

E de novo pra facilitar a solução vamos chamar a galera que multiplica a função de onda de:

α 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E

E aí teremos a equação menorzinha dessa forma:

d 2 ψ x d x 2 = α 2 ψ x

Onde:

A solução dessa equação vai ser a combinação linear de duas exponenciais.

ψ x = C e α x + D e - α x

C e D são constantes cujo valor varia dependendo se estamos na região I ou na região III.

Análise da Função de Onda

Pra gente analisar as condições de contorno vamos lembrar que temos 3 regiões

E temos que fazer a compatibilização das funções nessas 3 regiões, será possível? Vamos analisar fora do poço primeiro, onde a equação é:

ψ x = C e α x + D e - α x

No caso da região I, temos x < 0 :

A medida que x → - ∞ , o segundo termo D e - α x → ∞ o que não pode acontecer pois a função de onda não seria normalizável, logo, D = 0 nessa região.

OBS: O termo normalizar pode soar estranho, mas significa que vamos fazer uma distribuição normal das probabilidades da função. Caso a função tenha um pico a gente consegue fazer essa distribuição normal, porém quando a função tende ao infinito isso não é possível e toda função de onda deve ser normalizável.

No caso da região III onde x > L :

A medida que x → + ∞ , o primeiro termo C e α x → ∞ o que não pode acontecer pois a função de onda não seria normalizável também, logo, C = 0 nessa região.

As funções de onda então são:

ψ I x = C e α x ;

    ψ I I I x = D e - α x

Agora vem o problema. A função de onda tem que ser contínua em todo o eixo x , e por isso as condições de contorno ficariam algo do tipo:

ψ I 0 = ψ I I 0

ψ I I L = ψ I I I L

E podemos resumir que em cada caso nossa função de onda é:

ψ I x = C e α x ;     ψ I I x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x ;     ψ I I I x = D e - α x

Teríamos que resolver uma equação onde uma exponencial é igual a uma soma de senos e cossenos, e isso não tem solução simples. Nós ganhamos mais duas condições dizendo que a derivada de ψ também tem que ser contínua, mas de novo isso não tem soluções simples.

As equações que representariam condições de contorno vão fazer com que os estados possíveis dentro do poço sejam quantizados, sendo que fora do poço eles vão ser exponenciais que morrem depois de um tempo.

Análise Gráfica da Função de Onda

Já que a compatibilização das equações não é o melhor caminho vamos focar em aprender como se comportam os gráficos dessa função.

Dentro do poço existem vários níveis de energia e a gente vai usar um índice n pra definir esses níveis, sendo n = 1 o estado fundamental do elétron.

E se por acaso o seu professor te pedir pra esboçar o gráfico de algum nível energético dentro do poço, lembre se o seguinte:

O número de picos do gráfico é proporcional ao nível de energia n !

Só vamos esboçar o gráfico da partícula dentro do poço, então a parte exponencial da função não vai aparecer por aqui.

Então se n = 1 temos 1 pico, se n = 2 , temos dois picos no gráfico e por aí vai.

Então vamos esboçar o gráfico dos níveis 1, 2 e 3 dentro do poço.

Eu representei apenas 3 níveis, mas podem haver mais ou menos. A única regra aqui é que sempre tem que haver pelo menos um nível possível dentro do poço.

Uma observação importante é que esses níveis não são os mesmos que para uma partícula confinada.

Teoricamente a gente pode resumir a energia no poço finito com as seguintes afirmações

  • A função de onda não é zero fora do poço. Ela decai exponencialmente.
  • Quando E < U 0 , a energia e o estado do sistema são quantizados.
  • Quando E > U 0 , a partícula vira o equivalente a uma partícula livre, e sua energia varia continuamente.

Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-17

Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Fig.39-7 absorve uma energia de 400   e V de uma fonte externa.

Use o diagrama de níveis de energia da Fig.39-9 para determinar a energia cinética do elétron após essa absorção, supondo que o elétron é transferido para uma posição na qual x > L .

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Passo 1

Pelo diagrama de níveis de energia, como o elétron está inicialmente no estado n = 2 , ele possui uma energia E = 106   e V .

Após absorver energia de uma fonte externa, sua energia final fica:

E = 106 + 400 = 506   e V

Assim, ele passa a ser uma partícula livre do poço de potencial. Ele sendo transferido para a região onde a energia potencial U = 450   e V (de acordo com o diagrama de níveis energéticos), a sua energia cinética será:

K = E - U = 506 - 450 = 56   e V

Resposta

K = 56   e V

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-18

A Fig.39-9 mostra os níveis de energia de um elétron confinado em um poço de potencial finito com 450   e V de profundidade.

Se o elétron se encontra no estado n = 3 , qual é a sua energia cinética?

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Passo 1

Pelo diagrama, a energia total de um elétron no estado n = 3 é de E 3 = 233   e V .

Assim, ele está preso dentro do poço de potencial. Sendo esse o caso, sua energia potencial é zero U = 0 , e toda sua energia é cinética. Logo:

K = E 3 = 233   e V

Resposta

K = 233   e V

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-21

A Fig.39-30a mostra o diagrama de níveis de energia de um poço de potencial unidimensional finito que contém um elétron. A região não quantizada começa em E 4 = 450   e V .

A Fig.39-30b mostra o espectro de absorção do elétron quando se encontra no estado fundamental.

O elétron pode absorver fótons com os comprimentos de onda indicados:

λ a = 14,588   n m , λ b = 4,8437   n m e qualquer comprimento de onda menor que λ c = 2,9108   n m .

Qual é a energia do primeiro estado excitado?

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Passo 1

Quando o elétron sai do estado fundamental para os outros estados excitados absorvendo energia, ele absorve um fóton de energia de forma que:

Δ E = h f = h c λ

Logo, o comprimento de onda de absorção do elétron está relacionado com a diferença de energia dos estados como:

λ = h c Δ E

Quando maior a diferença energética, menor o comprimento de onda. Por isso que para λ < λ c eu tenho E > E 4 e a energia é não quantizada.

Passo 2

A diferença de energia do estado fundamental para E 4 é:

E 4 - E 1 = h c λ c

Temos:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ c = 2,9108   n m = 2,9108 ∙ 10 - 9   m
  • E 4 = 450   e V

Substituindo:

E 1 = E 4 - h c λ c = 450 - 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,9108 ∙ 10 - 9 ≅ 450 - 426 = 24   e V

Passo 3

Agora, para achar a energia do primeiro estado excitado, nós usamos o maior comprimento de onda possível. Teremos então:

E 2 - E 1 = h c λ a

Onde λ a = 14,588   n m = 14,588 ∙ 10 - 9   m e pelo passo anterior E 1 = 24   e V .

E 2 = E 1 + h c λ a = 24 + 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 14,588 ∙ 10 - 9 ≅ 24 + 85 = 109   e V

Resposta

E 2 ≅ 109   e V

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 234-21

A Fig. 39-29a mostra um tubo fino no qual foi montado um poço de potencial finito, com

V 2 = 0 V . Um elétron se move para a direita no interior do poço, em uma região onde a tensão é V 1 = - 9,00 V , com uma energia cinética de 2,00 e V . Quando o elétron penetra no poço, pode ficar confinado se perder energia suficiente, emitindo um fóton. Os níveis de energia no interior do poço são E 1 = 1,0 e V ,   E 2 = 2,0 e V   e E 3 = 4,0 e V e a região quantizada começa em E 4 = 9,0 e V , como mostra o diagrama de níveis de energia da Fig. 39-29b. Qual é a menor energia (em e V ) que o fóton pode assumir?

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Passo 1

Como o elétron está penetrando no poço, a energia que ele tem está na região não quantizada, então a menor energia que o fóton pode ter com a emissão do elétron é do nivel E 4 para o E 3 para que ele fique confinado. A diferença desses níveis é:

E 4 - E 3 = 9,0 e V - 4,0 e V = 5,0 e V

Passo 2

Além dessa energia, o fóton também vai possuir toda a energia cinética do elétron, porque é necessário que ele também perca essa energia para cair do poço. Então:

E f ó t o n = E + K =   5,0 e V + 2,0 e V = 7,0 e V

Resposta

E f ó t o n = 7,0 e V

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 223- Exemplo modificado.
  1. Calcule a energia necessária para liberar um elétron no estado fundamental preso num poço finito de potencial U 0 = 450 e V , use os valores da figura abaixo.
  2. Esboce os gráficos da densidade de probabilidade dos 3 níveis de menor energia no poço.

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Passo 1

a) Primeiro precisamos saber qual é a energia que liberta o elétron do poço, assim pegamos o estado em que se encontra o elétron e fazemos a diferença entre o potencial do posso e a energia do estado, dessa forma:

U 0 - E 1 = 450 - 27 = 423 e V

Passo 2

b) Para esboçar os gráficos poderíamos usar as equações, porém é mais simples fazer de forma qualitativa. Podemos pensar que o nível de energia é proprocional ao número de saliências que aparecem no gráfico. Os 3 menores níveis são 1,2 e 3 começaremos por n = 1 .

Observe que aparece apenas uma saliência na função dentro do poço.

Assim para n = 2 , devem aparecer duas, como no gráfico abaixo:

E finalmente para n = 3 :

Resposta

a ) 423 e V

Exercício Resolvido #6

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 223- Exemplo modificado.

Um elétron está confinado no estado fundamental de um

poço finito com U 0 = 450   e V e   L = 100   p m .

(a) Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de

libertar o elétron do poço de potencial por absorção de um

único fóton?

(b) O elétron, que se encontra inicialmente no estado fun-

damental, pode absorver luz com um comprimento de

onda λ = 2,00     n m ? Se a resposta for afirmativa, qual é a

energia do elétron após a absorção?

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Passo 1

a) Primeiro precisamos saber qual é a energia que liberta o elétron do poço, assim pegamos o estado em que se encontra o elétron e fazemos a diferença entre o potencial do posso e a energia do estado, dessa forma:

U 0 - E 1 = 450 - 27 = 423 e V

Para o elétron ser libertado por absorção de um único fóton, o fóton deve ter no minímo essa energia, assim:

E = h f = U 0 - E 1 = 423 e V

E

f = c λ

Então:

h c λ = 423 e V

Isolando o λ , temos:

λ = h c 423

Substituindo os valores h = 4,136 × 10 - 15 e V . s e c = 3 × 10 8 m / s , temos:

λ = ( 4,136 × 10 - 15 e V . s ) × ( 3 × 10 8   m / s ) ( 423 e V ) = 2,933 × 10 - 9 m  

λ = 2,933 n m

Passo 2

b) Agora para o comprimento de onda de 2,00 n m , temos que avaliar se a energia é suficiente para libertar o elétron.

Como o comprimento de onda anterior era maior e a energia libertava o elétron, o comprimento de onda dado também o fará e ainda forncerá ao elétron energia cinética. Pois o comprimento de onda é inversamente proporcional a energia, como na equação:

E = h c λ

Vamos então calcular a energia excedente:

E = h c λ = ( 4,136 × 10 - 15 e V . s ) × ( 3 × 10 8   m / s ) 2 × 10 - 9 m = 620,4 e V

A energia miníma necessária para libertar o elétron é 423 e V , o restante é convertido em energia cinética. Dessa forma, a energia cinética do elétron libertado é:

K = 620,4 - 423 = 197,4 e V

Resposta

a ) λ = 2,933 n m

b ) K = 197,4 e V

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 223- Exemplo modificado.

Um elétron está confinado num poço de potencial finito e a energia necessária para libertá-lo é U 0 = 600 e V .

(a) Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de

libertar o elétron do poço de potencial por absorção de um

único fóton?

(b)Qual é a energia do estado em que o elétron se encontra?

(c)Para um comprimento de onda for 4 n m qual será a energia se o elétron emitir um único fóton?

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Passo 1

a)Para o elétron ser libertado por absorção de um único fóton, o fóton deve ter no minímo essa energia, assim:

E = 600 e V

E

f = c λ

Então:

h c λ = 600 e V

Isolando o λ , temos:

λ = h c 600

Substituindo os valores h = 4,136 × 10 - 15 e V . s e c = 3 × 10 8 m / s , temos:

λ = ( 4,136 × 10 - 15 e V . s ) × ( 3 × 10 8   m / s ) ( 600 e V ) = 2 , 07 × 10 - 9 m  

λ = 2 , 07 n m

Passo 2

b) A energia pode ser encontrada usando a equação:

λ = h 2 m E

Onde m = 9,11 × 10 - 31 K g .

Rearrumando a equação temos:

E = h 2 2 m λ 2 = 6,23 × 10 - 34 2 J . s 2 × ( 9,11 × 10 - 31 K g ) × 2,07 × 10 - 9 m 2 = 4,971 × 10 - 20 J

Como 1 J = 6,24 × 10 18 e V , basta multiplicarmos a energia por esse número e teremos o valor em e V , dessa forma:

E = 0,310   e V

Passo 3

c)Para um comprimento de onda de 4 n m podemos usar a mesma equação que usamos para descobrir o comprimento de onda no item a. Dessa forma encontraremos a energia:

E = h c λ = ( 4,136 × 10 - 15 e V . s ) × ( 3 × 10 8 m / s ) 4 × 10 - 9 m = 310,2 e V

Resposta

a ) λ = 2,07 n m

b ) 0,310 e V

c ) = 310,2 e V

Exercício Resolvido #8

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 234-21
  1. Mostre que para região x > L do poço de potencial finito da Fig. 39-7, ψ x = D e 2 k x é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional, onde D é uma constante e k é um número real positivo.
  2. Por que razão a solução matemáticamente aceitável do item (a) não é considerada fisicamente admissível?

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Passo 1

(a) Para o poço de potencial finito a equação de Schrödinger é:

d 2 ψ d x 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x ψ = 0  

O problema pede para mostrarmos que ψ x = D e 2 k x é uma solução. Para isso basta aplicarmos as derivadas no lado esquerdo da equação e se resultar em zero ela satisfaz. Assim, a primeira derivada da função é:

d ψ d x = 2 k D e 2 k x

Aplicando a segunda derivada temos:

d 2 ψ d x 2 = 4 k 2 D e 2 k x

Passo 2

Beleza, agora bora substituir na equação o que a gente encontrou. A equação inicial vai ficar com essa cara:

4 k 2 D e 2 k x + 8 π 2 m h 2 E - U x D e 2 k x = 0

Dividindo os dois lados por D e 2 k x :

4 k 2 + 8 π 2 m h 2 E - U x = 0

Isolando o k encontramos o valor que satisfaz a equação, dessa forma:

k = - 8 π 2 m h 2 E - U x 4 = π h √ ( 2 m U x - E )