Partícula no Poço Finito

Teoria Completa

E se a energia em volta da caixa não fosse infinita?

Para confinarmos uma partícula dentro de uma caixa (poço infinito), nós colocamos uma energia infinita em volta da caixa, o que faz a função de onda zerar.

Porém, o que aconteceria se a energia não fosse infinita?

A energia infinita na verdade é mais uma abstração do que uma realidade. A energia é sempre finita.

O problema de uma partícula num poço de potencial finito se descreve matematicamente por:

U x = U 0                 x < 0 0     0 < x < L U 0                 x > L

Graficamente nós temos:

Tem dois casos possíveis que estamos interessados. O primeiro é E > U 0 .

Neste caso, temos apenas uma partícula livre que não vai estar presa no poço. A energia dela é suficiente pra ela estar acima das barreiras.

Ela sendo uma partícula livre, seus níveis de energia não serão quantizados: Eles serão contínuos.

Agora vamos para o segundo caso: E < U 0 . Comecemos pela região II.

No interior do poço de potencial, U x = 0 , e a Equação de Schrödinger independente do tempo é igual à equação correspondente ao poço infinito:

d 2 ψ x d x 2 = - k 2   ψ x

Onde:

k 2 = 2 m E ℏ 2

A solução tem a forma ψ I I x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x . Nesse caso, ψ I I ( x ) não é nula em x = 0 , então B não é nulo. Nós ainda não sabemos as condições de contorno a serem aplicadas.

Fora do poço de potencial, nas regiões I e III, a energia potencial é uma constante, U x = U 0 e a Equação de Schrödinger independente do tempo é:

d 2 ψ x d x 2 = α 2 ψ x

Onde:

α 2 = 2 m ℏ 2 U 0 - E

A solução dessa equação vai ser a combinação linear de duas exponenciais.

ψ x = C e α x + D e - α x

C e D são constantes cujo valor varia dependendo se estamos na região I ou na região III.

No caso da região I, temos x < 0 . A medida que x → - ∞ , o segundo termo D e - α x → ∞ o que não pode acontecer pois a função de onda não seria normalizável. Logo, D = 0 nessa região.

Por motivo semelhantes, na região III onde x > L temos que ter C = 0 . As funções de onda então são:

ψ I x = C e α x ;     ψ I I I x = D e - α x

Agora vem o problema. A função de onda tem que ser contínua em todo o eixo x , e por isso as condições de contorno ficariam algo do tipo:

ψ I 0 = ψ I I 0

ψ I I L = ψ I I I L

Mas teríamos que resolver uma equação onde uma exponencial é igual a uma soma de senos e cossenos, e isso não tem solução simples. Nós ganhamos mais duas condições dizendo que a derivada de ψ também tem que ser contínua, mas de novo isso não tem soluções simples.

Por isso vamos discutir qualitativamente essas soluções.

A nossa função de onda é:

ψ I x = C e α x ;     ψ I I x = A sen ⁡ k x + B cos ⁡ k x ;     ψ I I I x = D e - α x

Onde o índice representa em qual região a solução é pensada.

As equações que representariam condições de contorno vão fazer com que os estados possíveis dentro do poço sejam quantizados, sendo que fora do poço eles vão ser exponenciais que morrem depois de um tempo.

Eu representei apenas 3 níveis, mas podem haver mais ou menos. A única regra aqui é que sempre tem que haver pelo menos um nível possível dentro do poço.

Uma observação importante é que esses níveis não são os mesmos que para uma partícula confinada.

Por ser tão complicado achar as soluções (são necessários métodos de aproximação), em geral os livros usam um caso específico, e mostram as qualidades do problema.

  • A função de onda não é zero fora do poço. Ela decai exponencialmente.
  • Quando E < U 0 , a energia e o estado do sistema são quantizados.
  • Quando E > U 0 , a partícula vira o equivalente a uma partícula livre, e sua energia varia continuamente.
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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-17

Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Fig.39-7 absorve uma energia de 400   e V de uma fonte externa.

Use o diagrama de níveis de energia da Fig.39-9 para determinar a energia cinética do elétron após essa absorção, supondo que o elétron é transferido para uma posição na qual x > L .

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Passo 1

Pelo diagrama de níveis de energia, como o elétron está inicialmente no estado n = 2 , ele possui uma energia E = 106   e V .

Após absorver energia de uma fonte externa, sua energia final fica:

E = 106 + 400 = 506   e V

Assim, ele passa a ser uma partícula livre do poço de potencial. Ele sendo transferido para a região onde a energia potencial U = 450   e V (de acordo com o diagrama de níveis energéticos), a sua energia cinética será:

K = E - U = 506 - 450 = 56   e V

Resposta

K = 56   e V

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-18

A Fig.39-9 mostra os níveis de energia de um elétron confinado em um poço de potencial finito com 450   e V de profundidade.

Se o elétron se encontra no estado n = 3 , qual é a sua energia cinética?

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Passo 1

Pelo diagrama, a energia total de um elétron no estado n = 3 é de E 3 = 233   e V .

Assim, ele está preso dentro do poço de potencial. Sendo esse o caso, sua energia potencial é zero U = 0 , e toda sua energia é cinética. Logo:

K = E 3 = 233   e V

Resposta

K = 233   e V

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 241-21

A Fig.39-30a mostra o diagrama de níveis de energia de um poço de potencial unidimensional finito que contém um elétron. A região não quantizada começa em E 4 = 450   e V .

A Fig.39-30b mostra o espectro de absorção do elétron quando se encontra no estado fundamental.

O elétron pode absorver fótons com os comprimentos de onda indicados:

λ a = 14,588   n m , λ b = 4,8437   n m e qualquer comprimento de onda menor que λ c = 2,9108   n m .

Qual é a energia do primeiro estado excitado?

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Passo 1

Quando o elétron sai do estado fundamental para os outros estados excitados absorvendo energia, ele absorve um fóton de energia de forma que:

Δ E = h f = h c λ

Logo, o comprimento de onda de absorção do elétron está relacionado com a diferença de energia dos estados como:

λ = h c Δ E

Quando maior a diferença energética, menor o comprimento de onda. Por isso que para λ < λ c eu tenho E > E 4 e a energia é não quantizada.

Passo 2

A diferença de energia do estado fundamental para E 4 é:

E 4 - E 1 = h c λ c

Temos:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ c = 2,9108   n m = 2,9108 ∙ 10 - 9   m
  • E 4 = 450   e V

Substituindo:

E 1 = E 4 - h c λ c = 450 - 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,9108 ∙ 10 - 9 ≅ 450 - 426 = 24   e V

Passo 3

Agora, para achar a energia do primeiro estado excitado, nós usamos o maior comprimento de onda possível. Teremos então:

E 2 - E 1 = h c λ a

Onde λ a = 14,588   n m = 14,588 ∙ 10 - 9   m e pelo passo anterior E 1 = 24   e V .

E 2 = E 1 + h c λ a = 24 + 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 14,588 ∙ 10 - 9 ≅ 24 + 85 = 109   e V

Resposta

E 2 ≅ 109   e V

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 234-21

A Fig. 39-29a mostra um tubo fino no qual foi montado um poço de potencial finito, com

V 2 = 0 V . Um elétron se move para a direita no interior do poço, em uma região onde a tensão é V 1 = - 9,00 V , com uma energia cinética de 2,00 e V . Quando o elétron penetra no poço, pode ficar confinado se perder energia suficiente, emitindo um fóton. Os níveis de energia no interior do poço são E 1 = 1,0 e V ,   E 2 = 2,0 e V   e E 3 = 4,0 e V e a região quantizada começa em E 4 = 9,0 e V , como mostra o diagrama de níveis de energia da Fig. 39-29b. Qual é a menor energia (em e V ) que o fóton pode assumir?