Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Resumo Completo

Conservação de Momento Linear e da Velocidade do Centro de Massa

Se em um sistema o somatório de forças externas for zero, haverá conservação de momento linear.

F E X T = 0 Δ P = 0  

Lembrando que a velocidade do centro de massa é dada por:

V C M = P M

Então se o momento linear é constante, temos que a velocidade do centro de massa irá se conservar:

V C M 0 = V C M f = c o n s t a n t e  

Ou seja, se o sistema está em repouso   V C M = 0 no início, a menos que ocorra a ação de uma força externa, ele continuará na mesma posição, em repouso.

r C M 0 = r C M f

Mas o sistema pode estar se movendo inicialmente com uma velocidade V C M = v . Nesse caso, se não ocorrer ação de nenhuma força externa, o centro de massa do sistema continuará se deslocando com velocidade V C M = v .

Assim, o movimento do centro de massa irá se conservar. Isso significa que o deslocamento do centro de massa continuará sendo o mesmo se não houver ação de forças externas. Se estava parado continua parado, se estava em movimento continua se movimentando com a mesma velocidade.

Vamos fazer um esquema de tudo que vimos:

Se F E X T = 0 , o momento linear irá se conservar: Δ P = 0 . Nesse caso:

  • Se V C M = 0 ,   a posição do centro de massa irá continuar a mesma r C M 0 = r C M f
  • Se V C M = c o n s t a t e   0 , o centro de massa vai manter o movimento que estava fazendo.

Explosões

A explosão é um caso especial de colisão, onde o momento linear irá se conservar. Sendo assim o centro de massa irá continuar executanto o mesmo movimento que estava fazendo antes da explosão. A velocidade do centro massa também continuará a mesma.

E quando houver força externa?

Quando o somatório de forças externas em um sistema não for zero, teremos que:

F R = Δ P Δ t

O momento linear do sistema irá variar, e assim a velocidade do centro de massa também irá variar. Se a velocidade varia, o deslocamento do centro de massa no tempo também irá variar.

F e x t 0   P 0 P f V C M 0 V C M f Δ r C M c o n s t a n t e

Beleza, vimos tudo que não podemos dizer se houver ação de força externa resultante no sistema, mas tem alguma equação que podemos usar?

Claro, tem essa aqui:

I = F . Δ t = Δ P

Também, pela segunda lei, vamos pode dizer que a força resultante sobre um sistema é igual a massa do sistema vezes a aceleração do centro de massa:

F R = M . a C M

Pronto! Vamos fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Uma granada está em repouso sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa. É possível afirmar que:

a   A energia cinética é conservada.

b   A posição do centro de massa das partículas varia com o tempo.

c   O momento linear total do sistema não é conservado.

d   A velocidade do centro de massa é nula após a explosão.

e   Nenhuma das opções acima está correta.

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Passo 1

Já vimos na teoria que quando acontece uma explosão o centro de massa mantém o movimento que estava realizando, porque não há acção de forças externas no sistema.

Como incialmente ele estava em repouso a velocidade do centro de massa será SEMPRE, para esse caso, zero.

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2013.2

Um projétil é lançado de uma plataforma do ponto O e num dado instante após ser lançado ele se fragmenta em dois pedações de massa m 1 = 3 m e m 2 = m , que caem simultaneamente nas posições horizontais x = d e x = 1,5 d respectivamente. Se o projétil não se fragmentasse o seu alcance A seria,

a   6 / 5 d ;

b   5 / 3 d ;

c   11 / 8 d ;

d   10 / 8 d ;

e   9 / 8 d ;

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando temos uma explosão, já vimos que o centro de massa mantém o movimento que ele estava tendo antes da explosão.

Sendo assim, a posição que o projétil cairia sem se fragmentar é igual a posição do centro de massa.

Vamos nos preocupar apenas com o e i x o   x , porque sabemos que na queda o centro de massa estará no chão.

Passo 2

A fórmula do centro de massa é

x C M = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Pelos dados no enunciado

E i x o   x x 1 = d x 2 = 1,5 d = 3 d 2

E

m 1 = 3 m

m 2 = m

Então

x C M = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

x C M = 3 m d + m 3 d / 2 3 m + m

x C M = 3 m d + 3 m d / 2 4 m

x C M = 9 8 d

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 259

Uma jovem de 45,0   k g está em pé sobre uma canoa de 60,0   k g e comprimento igual a 5,00   m . Ela caminha a partir de um ponto situado a 1,00   m de uma das extremidades da canoa até atingir a outra extremidade da canoa. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos considerar o sistema jovem-canoa, isso porque são os dois objetos que estamos interessados.

Quando a menina se move, a força que ela faz na canoa é a mesma força que a canoa faz nela, então essa força é interna.

Como inicialmente a canoa está em equilíbrio, a soma das forças externas é zero, o momento linear do sistema jovem-canoa é constante.

A menina parte do repouso então a velocidade do centro de massa é zero. Ok, mas e aí?

É importante entender bem que quando o momento linear é constante a velocidade do centro de massa é constante, nesse exercício ela é zero.

Mas o que isso quer dizer? Que a posição do centro de massa do sistema não muda.

Nós interessa em particular a posição horizontal do centro de massa, porque é na horizontal que existe movimento do barco e da menina.

Passo 2

Vamos calcular a posição do centro de massa antes da jovem começar a se mexer. Colocando a origem na ponta esquerda do barco, a posição de cada objeto do sistema é

x j o v e m = 1   m x b a r c o = 2,5   m

Além disso

m j o v e m = 45   k g m b a r c o = 60   k g

Repara que a posição do centro de massa do barco é na metade dele, isso porque ele é homogêneo.

x C M = 1 45 + 2,5 60 45 + 60 = 1,857   m

Passo 3

Quando a menina para de andar, ela chegou no outro extremo do barco. Ela andou EM RELAÇÂO AO BARCO, 3   m .

Vamos considerar que o barco se moveu a . Então a menina passou a estar na posição onde ela andou 3   m para a direita enquanto o barco andou a , vamos deixar sem sinal porque não sabemos se o barco foi para a direta ou esquerda, o sinal de a vai nos dizer isso quando resolvermos o problema

x j o v e m ' = 1 + 3 + a x b a r c o ' = 2,5 + a

Passo 4

Vamos calcular o centro de massa por esses valores

x C M = 4 + a 45 + 2,5 + a 60 45 + 60

x C M = 330 + 105 a 105

Sabemos, pelo passo 2, que

x C M = 1,857   m

Então

1,857 = 330 + 105 a 105

105 a = - 135,015

a = - 1,286   m

Resposta

O barco andou 1,286   m para a esquerda

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UERJ – 2ª Lista

Um homem de 90   kg sentado na popa de uma canoa de 100   kg e 3 m de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada, encostada perpendicularmente a um pequeno ancoradouro. Na proa da canoa encontra-se a sua namorada ( 60   kg ). Se os dois trocarem de lugar, de que distância a canoa se afastará do ancoradouro?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O primeiro passo é nomear tudo para podermos diferencias as variáveis nos nossos cálculos.

E como não há ação de forças externar sabemos que a posição do centro de massa não irá mudar, pois a velocidade do centro de massa é zero.

Passo 2

Agora vamos calcular as posições inicias e finais do centro de massa utilizando a fórmula

Como só há movimento em x não precisamos representar como vetor.

x C M i = m M x M + m H x H + m C x C m M + m H + m C

x C M i = m M . 0 + m H . L + m C . L 2 m M + m H + m C

x C M i = m H . L + m C . L 2 m M + m H + m C

Ótimo, agora a posição final do centro de massa, para isso vamos considerar que a canoa andou uma distância D

x C M f = m M x M f + m H x H f + m C x C f m M + m H + m C

x C M f = m M L + D + m H D + m C L 2 + D m M + m H + m C

Passo 3

O sistema considerado é o homem, a mulher e o barco. No momento em que o homem troca de lugar com a mulher, apenas forças internas atuam no barco, são forças do homem no barco, da mulher no barco e vice-versa. Todas forças internas.

Mas nenhuma dessas forças é externa ao sistema H o m e m - M u l h e r - B a r c o .

Portanto, se lembramos da regra que diz que quando o F externas = 0 , o centro de massa permanece no mesmo lugar, nós poderemos igualar

x C M i = x C M f

m H L + m C . L 2 m M + m H + m C =   m M L + D + m H D + m C L 2 + D m M + m H + m C

m H L + m C L 2 =   m M L + D + m H D + m C L 2 + D

Lembrando que D corresponde à distância que o barco se afastará do ancoradouro.

2 m H L + m C L = 2 m M L + 2 m M D + 2 m H D + m C L + 2 m C D

2 m H L = 2 m M L + 2 m M D + 2 m H D + 2 m C D

Agora podemos fazer as substituições das variáveis pelos valores dados no problema.

2 90 3 = 2 60 3 + 2 60 D + 2 90 D + 2 100 D

500 D = 180

D = 0,36   m

Resposta

D = 0,36   m

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2

Um homem de massa m = 80   k g está na cesta de um balão de ar quente de massa M = 320   k g , que se encontra a uma altura H = 15   m em relação ao solo. Devido a uma força de sustentação do ar conhecida como empuxo, o balão está em repouso em relação ao solo. O homem decide descer do balão usando uma escada de corda de 15   m suspensa que toca levemente o solo, conforme a figura.

a Se o homem começar a descer pela escada com velocidade V H B = 1,0   m / s (em relação ao balão), qual o sentido e qual a velocidade V B S com que o balão irá se mover em relação ao solo?

b Após descer os 15   m até o final da escada, o balão terá subido e o homem se encontrará a uma distância h entre a base da escada e o solo. Calcule o valor da distância h .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   A velocidade do homem em relação ao solo V H S se relaciona com a velocidade do balão em relação ao solo por:

V H S = V B S + V H B

Uma vez que o sistema possui resultante das forças externas nula ( P e s o + E m p u x o = 0 ) e as forças internas relacionadas entre o homem e balão são produzidas em pares ação e reação, se anulando também, ocorrerá conservação do momento linear total do sistema. Desta forma, a velocidade do centro de massa do conjunto é constante e vale:

V C M a n t e s = V C M a p ó s

m   .   0 + M   .   0 m + M = m   .   V H S + M   .   V B S m + M

Substituindo o valor de V H S

0 = m . V B S + V H B + M . V B S

V B S = - m . V H B m + M

V B S = - 80   .   1 400

V B S = - 0,2   m / s

Devido ao sinal negativo, conclui-se que o balão tem sentido de movimento contrário ao do homem, ou seja, o balão sobe com velocidade de 0,2   m / s em relação ao solo.

Passo 2

b   Visto que a velocidade do centro de massa do sistema é nulo, sua coordenada da posição do centro de massa y C M será constante. Após o homem ter descido a escada, o balão terá se deslocado uma altura h para cima. Assim:

y C M a n t e s = y C M a p ó s

Considerando o chão como y = 0

m . H + M . H m + M = m . h + M . H + h m + M

m . H = m . h + M . h

h = m . H m + M

h = 80   .   15 400 = 3   m

Assim, o balão estará a 15 + 3 = 18   m do solo enquanto o homem estará a 3   m do solo.

Resposta

a O balão sobe com velocidade de 0,2   m / s em relação ao solo

b h = 3   m

Exercício Resolvido #6

Enunciado

USP – 2ª Prova – 2012

Duas pessoas, de mesma massa M , estão de pé e presas às extremidades opostas de uma prancha, de comprimento L e massa desprezível, que inicialmente se encontra em repouso sobre uma pista de gelo, como mostrado na figura. A pessoa da direita joga, com certa velocidade v horizontal, uma bola de massa m em direção à outra pessoa que consegue pegá-la. Despreze os efeitos da resistência do ar e do atrito entre a prancha e a pista de gelo. Para um observador parado na borda da pista:

a Encontre a equação que descreve a posição do centro de massa ( C M ) do conjunto prancha + pessoas + bola enquanto a bola vai da direita para a esquerda. Justifique sua resposta com argumentos físicos.

b Encontre as equações da velocidade e da posição do centro da prancha (que inicialmente vale L / 2 ) enquanto a bola vai da direita para a esquerda, em função das massas e da velocidade v da bola.

c Determine a posição da pessoa da direita, no momento em que a bola é agarrada pela pessoa da esquerda, usando o referencial da figura.

d O que acontece com o conjunto prancha + pessoas + bola após que a pessoa da esquerda agarrou a bola? Justifique sua resposta com argumentos físicos.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Lembrando que:

F e x t x = Δ P Δ t

Como não tem forças externas ao sistema, apenas forças internas, teremos que:

Δ P = 0

Ou seja, o momento linear não varia, é constante. Consequentemente, o centro de massa também não poderá mudar de posição, pois:

P = M . V C M = 0

O sistema está em repouso no momento inicial, então V C M = 0 , e continuará sendo zero, pois o momento linear não varia.

Logo a posição do centro de massa continuará sempre a mesma, e pode ser calculada pela fórmula:

x C M = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Substituindo os dados do problema:

x C M = M . 0 + M . L + m . L M + M + m

x C M = m + M L 2 M + m

Passo 2

b   Como o C M não pode se deslocar, enquanto a bola se desloca da direita para a esquerda, a prancha deve se deslocar da esquerda para a direita.

Durante o movimento da bola, teremos a velocidade v da bola e a velocidade V da prancha que por conta do contato, será também, a velocidade V das pessoas.

P = c o n s t a n t e = 0

2 M V - m v = 0

V = m v 2 M

Pronto, já temos a velocidade da prancha, como não possui forças externas atuando, essa velocidade é constante e deve obedecer a fórmula:

S = S 0 + v 0 t

Substituindo os dados do problema:

S = L 2 + m v 2 M . t

Passo 3

c   No final do movimento, as duas pessoas se deslocaram para a direita de uma mesma distância x em relação às suas posições iniciais.

X C M = x m + M + L + x M 2 M + m

E como a posição do centro de massa é fixa, podemos dizer que:

X C M = X C M 0

x m + M + L + x M 2 M + m = m + M L 2 M + m

x M + x m + M L + x M = m L + M L

x 2 M + m = m L

x = m L 2 M + m

Logo, como a pessoa da direita estará na posição:

r 2 = x + L

r 2 = m L 2 M + m + L

Passo 4

d   Como a posição do C M é constante, o conjunto prancha + pessoas + bola depois que a pessoa da esquerda agarrou a bola permanece em repouso.

Resposta

a   R C M = m + M L 2 M + m

b   X = L 2 + m v 2 M . t

c   r 2 = m L 2 M + m + L

d   Permanece em repouso.

Exercício Resolvido #7

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Sobre uma mesa horizontal perfeitamente lisa repousa um sistema formado por duas pequenas massas m 1 e m 2 , ligadas por uma mola de massa desprezível e que se encontra relaxada. A partir do instante t = 0 passa a atuar sobre a massa m 1 uma força externa constante F paralela à mesa, e uma força - 3 F sobre a massa m 2 . Pode-se afirmar que para t > 0

a   O centro de massa do sistema se move ao longo de uma reta

b   O momento linear total do sistema se conserva

c   A velocidade do centro de massa é uma função quadrática do tempo

d   A distância entre as massas m 1 e m 2 permanece constante

e   O momento angular total do sistema, referido ao centro de massa, permanece constante

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos ter forças externas atuando, dessa forma

F e x t = F + - 3 F = - 2 F

E essa força será constante, já que F é constante.

Passo 2

Já vimos que

F e x t = M s i s t e m a a C M

Então

- 2 F = m 1 + m 2 a C M

a C M = - 2 F m 1 + m 2

Passo 3

Como a força F é constante a aceleração do centro de massa será constante também.

Repara que a aceleração do centro de massa que encontramos no “passo 2 ” vai ter sentido contrário a força F , mas seu sentido vai se manter sempre igual.

Como ele partiu do repouso ele vai seguir nesse sentido “para sempre” logo vai seguir uma reta.

Resposta

Letra a  

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