Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Teoria Completa

Conservação de Momento Linear e da Velocidade do Centro de Massa

Se em um sistema o somatório de forças externas for zero, haverá conservação de momento linear.

∑ F → E X T = 0 → Δ P = 0  

Lembrando que a velocidade do centro de massa é dada por:

V → C M = P → M

Então se o momento linear é constante, temos que a velocidade do centro de massa irá se conservar:

V → C M 0 = V → C M f = c o n s t a n t e  

Ou seja, se o sistema está em repouso   V → C M = 0 no início, a menos que ocorra a ação de uma força externa, ele continuará na mesma posição, em repouso.

r → C M 0 = r → C M f

Mas o sistema pode estar se movendo inicialmente com uma velocidade V → C M = v . Nesse caso, se não ocorrer ação de nenhuma força externa, o centro de massa do sistema continuará se deslocando com velocidade V → C M = v .

Assim, o movimento do centro de massa irá se conservar. Isso significa que o deslocamento do centro de massa continuará sendo o mesmo se não houver ação de forças externas. Se estava parado continua parado, se estava em movimento continua se movimentando com a mesma velocidade.

Vamos fazer um esquema de tudo que vimos:

Se ∑ F → E X T = 0 , o momento linear irá se conservar: Δ P = 0 . Nesse caso:

  • Se V → C M = 0 ,   a posição do centro de massa irá continuar a mesma r → C M 0 = r → C M f
  • Se V → C M = c o n s t a t e   ≠ 0 , o centro de massa vai manter o movimento que estava fazendo.

Explosões

A explosão é um caso especial de colisão, onde o momento linear irá se conservar. Sendo assim o centro de massa irá continuar executanto o mesmo movimento que estava fazendo antes da explosão. A velocidade do centro massa também continuará a mesma.

E quando houver força externa?

Quando o somatório de forças externas em um sistema não for zero, teremos que:

F → R = Δ P → Δ t

O momento linear do sistema irá variar, e assim a velocidade do centro de massa também irá variar. Se a velocidade varia, o deslocamento do centro de massa no tempo também irá variar.

∑ F → e x t ≠ 0 →   P → 0 ≠ P → f V → C M 0 ≠ V → C M f → Δ r → C M ≠ c o n s t a n t e

Beleza, vimos tudo que não podemos dizer se houver ação de força externa resultante no sistema, mas tem alguma equação que podemos usar?

Claro, tem essa aqui:

I → = F → . Δ t = Δ P →

Também, pela segunda lei, vamos pode dizer que a força resultante sobre um sistema é igual a massa do sistema vezes a aceleração do centro de massa:

F → R = M . a C M

Pronto! Vamos fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Uma granada está em repouso sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa. É possível afirmar que:

a   A energia cinética é conservada.

b   A posição do centro de massa das partículas varia com o tempo.

c   O momento linear total do sistema não é conservado.

d   A velocidade do centro de massa é nula após a explosão.

e   Nenhuma das opções acima está correta.

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Passo 1

Já vimos na teoria que quando acontece uma explosão o centro de massa mantém o movimento que estava realizando, porque não há acção de forças externas no sistema.

Como incialmente ele estava em repouso a velocidade do centro de massa será SEMPRE, para esse caso, zero.

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #2

UFRJ – 2ª Prova – 2013.2

Um projétil é lançado de uma plataforma do ponto O e num dado instante após ser lançado ele se fragmenta em dois pedações de massa m 1 = 3 m e m 2 = m , que caem simultaneamente nas posições horizontais x = d e x = 1,5 d respectivamente. Se o projétil não se fragmentasse o seu alcance A seria,

a   6 / 5 d ;

b   5 / 3 d ;

c   11 / 8 d ;

d   10 / 8 d ;

e   9 / 8 d ;

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Passo 1

Quando temos uma explosão, já vimos que o centro de massa mantém o movimento que ele estava tendo antes da explosão.

Sendo assim, a posição que o projétil cairia sem se fragmentar é igual a posição do centro de massa.

Vamos nos preocupar apenas com o e i x o   x , porque sabemos que na queda o centro de massa estará no chão.

Passo 2

A fórmula do centro de massa é

x C M = m 1 ⋅ x 1 + m 2 ⋅ x 2 m 1 + m 2

Pelos dados no enunciado

E i x o   x x 1 = d x 2 = 1,5 d = 3 d 2

E

m 1 = 3 m

m 2 = m

Então

x C M = m 1 ⋅ x 1 + m 2 ⋅ x 2 m 1 + m 2

x C M = 3 m ⋅ d + m ⋅ 3 d / 2 3 m + m

x C M = 3 m d + 3 m d / 2 4 m

x C M = 9 8 d

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 259

Uma jovem de 45,0   k g está em pé sobre uma canoa de 60,0   k g e comprimento igual a 5,00   m . Ela caminha a partir de um ponto situado a 1,00   m de uma das extremidades da canoa até atingir a outra extremidade da canoa. Desprezando a resistência da água ao movimento da canoa, qual a distância que a canoa se move nesse processo?

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Passo 1

Vamos considerar o sistema jovem-canoa, isso porque são os dois objetos que estamos interessados.

Quando a menina se move, a força que ela faz na canoa é a mesma força que a canoa faz nela, então essa força é interna.

Como inicialmente a canoa está em equilíbrio, a soma das forças externas é zero, o momento linear do sistema jovem-canoa é constante.

A menina parte do repouso então a velocidade do centro de massa é zero. Ok, mas e aí?

É importante entender bem que quando o momento linear é constante a velocidade do centro de massa é constante, nesse exercício ela é zero.

Mas o que isso quer dizer? Que a posição do centro de massa do sistema não muda.

Nós interessa em particular a posição horizontal do centro de massa, porque é na horizontal que existe movimento do barco e da menina.

Passo 2

Vamos calcular a posição do centro de massa antes da jovem começar a se mexer. Colocando a origem na ponta esquerda do barco, a posição de cada objeto do sistema é

x j o v e m = 1   m x b a r c o = 2,5   m

Além disso

m j o v e m = 45   k g m b a r c o = 60   k g

Repara que a posição do centro de massa do barco é na metade dele, isso porque ele é homogêneo.

x C M = 1 ⋅ 45 + 2,5 ⋅ 60 45 + 60 = 1,857   m

Passo 3

Quando a menina para de andar, ela chegou no outro extremo do barco. Ela andou EM RELAÇÂO AO BARCO, 3   m .

Vamos considerar que o barco se moveu a . Então a menina passou a estar na posição onde ela andou 3   m para a direita enquanto o barco andou a , vamos deixar sem sinal porque não sabemos se o barco foi para a direta ou esquerda, o sinal de a vai nos dizer isso quando resolvermos o problema

x j o v e m ' = 1 + 3 + a x b a r c o ' = 2,5 + a

Passo 4

Vamos calcular o centro de massa por esses valores

x C M = 4 + a ⋅ 45 + 2,5 + a ⋅ 60 45 + 60

x C M = 330 + 105 a 105

Sabemos, pelo passo 2, que

x C M = 1,857   m

Então

1,857 = 330 + 105 a 105

105 a = - 135,015

a = - 1,286   m

Resposta

O barco andou 1,286   m para a esquerda

Exercício Resolvido #4

UERJ – 2ª Lista

Um homem de 90   kg sentado na popa de uma canoa de 100   kg e 3 m de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada, encostada perpendicularmente a um pequeno ancoradouro. Na proa da canoa encontra-se a sua namorada ( 60   kg ). Se os dois trocarem de lugar, de que distância a canoa se afastará do ancoradouro?

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Passo 1

O primeiro passo é nomear tudo para podermos diferencias as variáveis nos nossos cálculos.

E como não há ação de forças externar sabemos que a posição do centro de massa não irá mudar, pois a velocidade do centro de massa é zero.

Passo 2

Agora vamos calcular as posições inicias e finais do centro de massa utilizando a fórmula

Como só há movimento em x não precisamos representar como vetor.

x C M i = m M x M + m H x H + m C x C m M + m H + m C

x C M i = m M . 0 + m H . L + m C . L 2 m M + m H + m C

x C M i = m H . L + m C . L 2 m M + m H + m C

Ótimo, agora a posição final do centro de massa, para isso vamos considerar que a canoa andou uma distância D

x C M f = m M x M f + m H x H f + m C x C f m M + m H + m C

x C M f = m M L + D + m H D + m C L 2 + D m M + m H + m C

Passo 3

O sistema considerado é o homem, a mulher e o barco. No momento em que o homem troca de lugar com a mulher, apenas forças internas atuam no barco, são forças do homem no barco, da mulher no barco e vice-versa. Todas forças internas.

Mas nenhuma dessas forças é externa ao sistema H o m e m - M u l h e r - B a r c o .

Portanto, se lembramos da regra que diz que quando o ∑ F externas = 0 , o centro de massa permanece no mesmo lugar, nós poderemos igualar

x C M i = x C M f

m H L + m C . L 2 m M + m H + m C =   m M L + D + m H D + m C L 2 + D m M + m H + m C