Posição do Centro de Massa

Resumo Completo

Introdução

Até agora só estudamos corpos que considerávamos partículas pontuais. Mas e quando isso não ocorrer, o que faremos?

Simples: usaremos o centro de massa!

Mas o que é centro de massa?

O centro de massa é o ponto onde podemos concentrar toda a massa do corpo e entender ele como se fosse uma partícula pontual onde o tamanho não importa.

Ou seja, se temos um sistema em que o tamanho não pode ser ignorado, se acharmos o ponto do centro de massa, podemos considerar que todo o sistema se encontra naquele ponto. Assim voltamos a ter um problema de partícula pontual que já sabemos resolver.

Cálculo da posição do centro de massa

A posição do centro de massa de um sistema é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, onde o peso é a massa de cada objeto. A fórmula para a posição do centro de massa é

r C M = r 1 . m 1 + r 2 . m 2 + r 3 . m 3 + m 1 + m 2 + m 3 +  

Onde r 1 ,   r 2 ,   representa a posição do centro de massa do objeto 1 ,   2   respectivamente.

Caso não goste de trabalhar na forma de vetores, podemos separar por eixos

x C M = x 1 . m 1 + x 2 . m 2 + x 3 . m 3 + m 1 + m 2 + m 3 +  

y C M = y 1 . m 1 + y 2 . m 2 + y 3 . m 3 + m 1 + m 2 + m 3 +  

Visto que x 1 ,   x 2 ,     e y 1 ,   y 2 ,   representam a posição do centro de massa de cada objeto do sistema devemos saber achar o centro de massa de algumas figuras só de olhar.

O centro de massa de figuras simétricas como esferas, círculos, quadrados, retângulos é o ponto central da figura.

A simetria é um dado importante, sempre que houver um eixo de simetria em um sistema o centro de massa estará nesse eixo de simetria.

Como achar o centro de massa de figuras “sem” ter a massa

Pode ser que tenhamos que calcular o centro de massa de um sistema composto por vários fios, ou por chapas retangulares.

E nesses casos não é preciso que o problema nos dê a massa dos objetos, se trabalharmos com corpos homogêneos ( distribuição uniforme de massa) podemos usar dados que sejam proporcionais a massa como comprimento e área.

Em objetos homogêneos a posição do centro de massa coincide com a posição do centro geométrico da figura.

Sabemos que a massa de um corpo uniforme é dada por

m = ρ . V o l u m e

E podemos abrir o volume como

V o l u m e = á r e a   x   c o m p r i m e n t o

Assim se temos um corpo que a densidade ρ é constante, podemos dizer que a massa é diretamente proporcional a Área ou comprimento de um objeto.

Devido a serem proporcionais, podemos calcular o centro de massa de um sistema composto por fios (objetos que só o comprimento tem valor significativo) da seguinte forma:

r C M = r 1 . L 1 + r 2 . L 2 + r 3 . L 3 + L 1 + L 2 + L 3 +  

Onde L n representa o comprimento de cada objeto.

Caso seja um sistema composto por chapas ( objetos que área tem valor significativo), calcalaremos assim

r C M = r 1 . A 1 + r 2 . A 2 + r 3 . A 3 + A 1 + A 2 + A 3 +  

Posição do centro de massa de um corpo com furo

Como faz pra calcular a posição do centro de massa de um corpo com furo?

Vamos tratar o problema da seguinte forma. O sistema será composto por dois objetos:

  • O “corpo original” ( o corpo sem furo) de massa m o r i g i n a l
  • O “corpo ausente” de massa m a u s e n t e ( que vai ter massa negativa).

Calcularemos a posição do centro de massa da mesma forma: fazendo a média ponderada da posição do centro de massa de cada corpo, onde a massa será o peso.

r C M = r 1 . m o r i g i n a l + r 2 . m a u s e n t e m o r i g i n a l + m a u s e n t e  

Lembrando que podemos separar por eixos essa fórmula também.

E até mesmo podemos calcular por área ou comprimento, lembrando que a área ou comprimento da parte ausente será negativa.

Observações importantes

Lembrando que o centro de massa é um ponto fictício que usamos para representar a massa do sistema e considerar o sistema uma partícula.

E por isso o centro de massa pode ocorrer em ponto externos a figura, por exemplo onde é o centro de massa de uma aliança? O centro de massa dela é no centro do círculo, um ponto sem massa e que não faz parte da aliança.

Vai ficar mais claro nos exercícios. Bora lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UERJ – 2ª Lista

Calcule o centro de massa do objeto esquematizado na figura abaixo (despreze a massa da grade):

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O primeiro passo é escolher um referencial e um sistema de medida. Vamos adotar aqui que os lados de cada quadrado da grade valem 1u.

Passo 2

Agora precisamos da posição de cada um dos objetos.

Temos a posição r 1 = ( 2,1 ) para o objeto de massa 1   kg .

Temos as posições r 2 = ( 1,0 ) e r 3 = ( 1,3 ) para os objetos de massa de 2   kg .

Temos a posição r 4 = 3,4 para o objeto de massa 4   kg .

Passo 3

Agora é só aplicar a fórmula para achar a posição do centro de massa.

r C M = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 + m 4 r 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

r C M = 1 2 ,   1 + 2 1 ,   0 + 2 1 ,   3 + 4 ( 3 ,   4 ) 1 + 2 + 2 + 4

r C M = ( 18 ,   23 ) 9

r C M = 2 , 23 9

Agora podemos ilustrar onde está o centro de massa.

Resposta

r C M = 2 , 23 9

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ-P2-2015.1- ME3

Uma barra de comprimento 2 L é formada por duas metades, como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita, hachurada. Separadamente, as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto. Para que a barra fique em equilíbrio, na posição horizontal, ela deve ser pendurada pelo ponto x   tal que

(a) x = L

(b) x = 7 / 6   L

(c) x = 3 2 L

(d) x seja qualquer entre 0   e 2 L

(e) x seja qualquer entre L e 2 L

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para que a barra fique em equilíbrio, o fio tem que ser ligado ao centro de massa da barra. Dessa maneira a força de tração do fio não vai gerar uma rotação e vai se cancelar com a força peso.

Então vamos achar a posição do CM da barra!

O comprimento da metade esquerda da barra é L , e ela é homogênea. Então o centro de massa dessa metade fica em x = L / 2 .

Digamos que a massa dessa metade é m . Então vamos considerar a massa m toda concentrada em x = L / 2 .

Pra outra metade podemos fazer a mesma coisa, a diferença é que a posição do CM é L + 2 L 2 = 3 L / 2 e que a massa é dobro, 2 m .

Então é como se tivéssemos 2 partículas, assim ó:

Passo 2

Agora ficou mais fácil de calcular a posição x C M do centro de massa !

Ela é dada por:

x C M = m L 2 + 2 m 3 L 2 m + 2 m

x C M = 7 m L 2 3 m = 7 m L 6 m = 7 6 L

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Considere a molécula d’água H 2 O com seus três átomos distribuídos com localizações fixas de acordo com a figura abaixo, sendo d a distância entre o átomo de Oxigênio ( O ) e um átomo de Hidrogênio ( H ) . Encontre o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de Oxigênio, em função da distância d .

Sabe-se que θ = 105 o , cos 15 o = 0,966 , sen 15 o = 0,260 , m O = 16   u m a e m H = 1   u m a (unidades de massa atômica).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é deixar claro quais são nossos eixos!

Temos que calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao átomo de oxigênio O então O é a nossa origem. O eixo x aponta pra direita e o eixo y aponta pra cima.

Repare que as coordenadas do hidrogênio da direita são ( d , 0 ) . Vou chamá-lo de H 1 , ok?

Mas ainda precisamos achar as coordenadas do outro hidrogênio, o H 2 !

Passo 2

Sabemos que θ = 105 o então o ângulo entre o eixo y e o H 2 é 105 o - 90 o = 15 o . Não é à toa que deram pra gente cos 15 o = 0,966 e sen 15 o = 0,260 no enunciado!

Então queremos as coordenadas x H e y H do átomo de hidrogênio:

Olhando o triângulo formado na esquerda e aplicando trigonometria básica, temos:

x H = d sen 15 o

y H = d cos 15 o

Mas como o eixo x aponta pra direita, a coordenada x do átomo é - d sen 15 o .

Passo 3

Vamos calcular a posição do centro de massa! :D

Recapitulando, as coordenadas dos 3 átomos são ( 0 ,   0 ) pro oxigênio, ( d ,   0 ) para o H 1 e - d sen 15 0 ,   d cos 15 o para o H 2 .

Vamos começar pela coordenada x do centro de massa:

x C M = m O x O + m H 1 x H 1 + m H 2 x H 2 m O + m H 1 + m H 2

m O = 16 e m H 1 = m H 2 = 1 , então isso dá

x C M = 16 0 + 1 d + 1 - d sen 15 o 16 + 1 + 1

x C M = d - d sen 15 o 18

x C M = 1 - sen 15 o 18 d

Substituindo sen 15 o = 0,26   isso dá:

x C M = 0,74 18 d 0,041 d

Passo 4

Show, agora vamos achar a coordenada y do C M !

y C M = m O y O + m H 1 y H 1 + m H 2 y H 2 m O + m H 1 + m H 2

y C M = 16 0 + 1 0 + 1 d cos 15 o 16 + 1 + 1

y C M = d cos 15 o 18

Usando cos 15 o = 0,966 temos

y C M = 0,966 18 d 0,054 d

Então é isso! Sendo i o vetor unitário do eixo x e j o vetor unitário do eixo y , o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de oxigênio é:

r C M = 1 - sen 15 o d 18 i ,     cos 15 o d 18 j 0,041 d i ,   0,054 d j

Resposta

r C M = 1 - sen 15 o d 18 i ,     cos 15 o d 18 j 0,041 d i ,   0,054 d j

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa da chapa abaixo, considere a chapa homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Essa chapa é o nosso sistema, podemos então “quebrá-la” em vários objetos que sabemos o centro de massa, mas quais são esses objetos? Retângulos, o centro de massa de retângulos é exatamente no seu meio. Separando essa figura temos

Vamos ter as seguintes componentes para o centro de massa dos retângulos (coordenadas do centro do retângulo):

r e t a n g u l o   1 x 1 = 1,5 a 2 = 0,75 a y 1 = 2 a 2 = a                        

r e t a n g u l o   2 x 2 = 1,5 a + a 2 = 2 a y 2 = a 2 = 0,5 a                

Passo 2

Quando cada objeto na verdade são chapas, podemos usar a área de cada uma delas em vez da massa, isso porque elas são proporcionais

Assim, vamos calculas a posição x do centro de massa

x C M = A 1 x 1 + A 2 x 2 A 1 + A 2

x C M = 1,5 a 2 a 0,75 a + a a 2 a 1,5 a 2 a + a a

x C M = 2,25 a 3 + 2 a 3 3 a 2 + a 2

x C M = 4,25 a 3 4 a 2

x C M = 1,0625 a

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição y do centro de massa

y C M = A 1 y 1 + A 2 y 2 A 1 + A 2

y C M = 1,5 a 2 a a + a a 0,5 a 1,5 a 2 a + a a

y C M = 3 a 3 + 0,5 a 3 3 a 2 + a 2

y C M = 3,5 a 3 4 a 2

y C M = 0,875 a

Passo 4

O vetor centro de massa fica

r C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

Resposta

r C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

Exercício Resolvido #5

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2013.2

Uma chapa homogênea quadrada de lado 2 a tem um canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano O X Y como indicado na figura. Em relação à origem O , o vetor posição r c m do centro de massa

a   7 / 6 a i ^ + j ^

b   5 / 6 a i ^ + j ^

c   1 / 3 a i ^ + j ^

( d )   1 / 2 a i ^ + j ^

e   2 / 3 a i ^ + j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Tínhamos uma chapa quadrada de lado 2 a e então tiramos um pedaço quadrado de lado a da chapa. Ou seja, temos uma chapa com furo, assim podemos calcular a posição do centro de massa da figura pela fórmula

r C M = r o r i g i n a l . A o r i g i n a l   + r b u r a c o . A b u r a c o A o r i g i n a l + A b u r a c o

Lembre-se também que quando temos chapas usamos sua área no lugar da massa.

Passo 2

Vamos ter as posições do centro de massa

C h a p a   o r i g i n a l x o r i g i n a l = a y o r i g i n a l = a r o r i g i n a l = a . i ^ + a . j ^

B u r a c o   x b u r a c o = a 2 y b u r a c o = a 2 r b u r a c o = a 2 . i ^ + a 2 . j ^

Além disso, temos as áreas

A o r i g i n a l = 2 a 2 = 4 a 2

A b u r a c o = - a 2  

A área do buraco é negativa, pois é um buraco, estamos representando a ausência de área na figura.

Passo 3

Pela fórmula do centro de massa vamos ter

r C M = r o r i g i n a l . A o r i g i n a l   + r b u r a c o . A b u r a c o A o r i g i n a l + A b u r a c o

r C M = a . i ^ + a . j ^ . 4 a 2 + a / 2 . i ^ + a / 2 . j ^ . - a 2 4 a 2 + - a 2

r C M = 4 a 3 ( i ^ + j ^ ) - a 3 / 2 ( i ^ + j ^ ) 3 a 2

O vetor posição do centro de massa vai ser

r C M = 7 a ( i ^ + j ^ ) 6

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa da chapa abaixo de raio R , sabendo que foi feito um furo dela de raio r posicionado como indicado na figura. Considere também que a chapa é homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nesse exercício temos um problema. Normalmente quando vamos achar o centro de massa separamos em retângulos certo? Tendo círculos ali não tem problema, o centro de massa de um círculo é no seu centro. O grande problema é aquele buraco.

Quando estivermos lidando com objetos que perdem um pedaço, podemos considerar o sistema como sendo o objeto original+furo, onde o furo tem massa negativa, como vimos na teoria.

Passo 2

Como resolvemos isso então?

Repara que temos dois círculos, então colocando o eixo cartesiano como mostrado abaixo

Vamos ter

C i r c u l o   d e   r a i o   R x 1 = 0 y 1 = 0 e A 1 = π . R 2

C i r c u l o   d e   r a i o   r x 2 = a y 2 = a e A 2 = π . r 2

Como ele não determinou os eixos, não importa qual eixo vou escolher. Eu decidi pelo eixo que passa pelo centro do disco maior para termos contas mais fáceis, mas não faz diferença.

Passo 3

Pela fórmula do centro de massa, a posição do centro de massa no eixo x é

x C M = A 1 x 1 + A 2 x 2 A 1 + A 2

x C M = π R 2 0 + - π r 2 a π R 2 - π r 2

x C M = - a r 2 R 2 - r 2

Repara o sinal negativo para o disco de raio r !!

Passo 4

A posição do centro de massa no eixo y é

y C M = π R 2 0 + - π r 2 a π R 2 - π r 2

y C M = - a r 2 R 2 - r 2

Passo 5

Então o vetor do centro de massa fica

r C M = - a r 2 R 2 - r 2 i ^ - a r 2 R 2 - r 2 j ^

No sistema de eixos que escolhemos.

Uma forma de escrever isso onde o eixo não importe é deixar indicado que

“O centro de massa encontra-se a a r 2 / R 2 - r 2 abaixo e a a r 2 / R 2 - r 2 para esquerda do centro do disco maior”

Resposta

r C M = - a r 2 R 2 - r 2 i ^ - a r 2 R 2 - r 2 j ^

“O centro de massa encontra-se a a r 2 / R 2 - r 2 abaixo e a a r 2 / R 2 - r 2 para esquerda do centro do disco maior”

Exercício Resolvido #7

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Um arame homogêneo e uniforme, de espessura desprezível, é moldado na forma de um quadrado de aresta a . Retira-se então um segmento de comprimento a / 2 de duas arestas , reduzindo-as à metade, como mostra a figura. No novo sistema a distância do centro de massa à origem é igual a,

a   3 7 2 a

( b )   4 9 2 a

c   1 4 2 a

( d )   3 8 2 a

( e )   1 3 2 a

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para achar a distância do centro de massa até a origem devemos achar a posição do centro de massa e fazer o módulo desse vetor.

Ao usar arames, vamos considerar em vez da massa, o seu comprimento. Isso porque a massa e o comprimento são proporcionais, então no cálculo do centro de massa não altera o resultado.

O eixo cartesiano já foi dado pelo enunciado, então vamos nos basear nele.

Repara que o novo sistema é composto por 4 arames, vamos numera-los para nos organizar.

Passo 2

Lembra que o centro de massa de um arame é no seu “meio”? Então:

E i x o   x x 1 = 0 x 2 = a 2 x 3 = a x 4 = a / 2 2 = a 4

E i x o   y y 1 = a 2 y 2 = 0 y 3 = a / 2 2 y 4 = a

Passo 3

Usando a fórmula para as coordenadas do centro de massa vamos ter

x C M = x 1 L 1 + x 2 L 2 + x 3 L 3 + x 4 L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Lembrando que

L 1 = L 2 = a

L 3 = L 4 = a 2

Assim

x C M = 0 a + a / 2 a + a a / 2 + a / 4 a / 2 2 a + 2 a / 2

x C M = a 2 / 2 + a 2 / 2 + a 2 / 8 2 a + a

x C M = 3 a 8

Passo 4

Agora fazendo no eixo y

y C M = y 1 L 1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 + y 4 L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Então teremos

y C M = a / 2 a + 0 a + a / 4 a / 2 + a a / 2 2 a + 2 a / 2

y C M = a 2 / 2 + a 2 / 8 + a 2 / 2 2 a + a

y C M = 3 a 8

Passo 5

O vetor posição do centro de massa vai ser

r C M = x C M i ^ + y C M j ^

r C M = 3 a 8 i ^ + 3 a 8 j ^

A distância do centro de massa até a origem é o módulo do vetor posição, já que o vetor posição parte da origem.

r C M 2 = 3 a 8 2 + 3 a 8 2

r C M 2 = 9 a 2 64 + 9 a 2 64

r C M 2 = 18 a 2 64

r C M = 3 8 a 2

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa do objeto desenhado na figura abaixo, sabendo que ele é constituído por 6 pedações de arames homogêneo feitos do mesmo material.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Assim como quando usamos fios, ao usar arames, vamos considerar em vez da massa, o seu comprimento. Isso porque a massa e o comprimento são proporcionais, então no cálculo do centro de massa não altera o resultado.

Vamos colocar o eixo cartesiano como na figura abaixo.

Repara que temos 6 barras, uma coisa para ajudar a organizar a resolução é nomear cada barra. Para achar o centro de massa precisamos da posição do meio de cada barra para usar na fórmula. Não temos o comprimento de todas elas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o comprimento das barras 2 e 5 . Vamos chamar seu comprimento de d . Olha o triangulo 6 , 5,4

Esse triangulo é isósceles, então posso separar o ângulo α como fiz na figura. Usando trigonometria encontramos

d / 2 L = sen α 2

d = 2 L sen α 2

Passo 3

Vamos começar achando a posição do centro de massa da barra 6 .

Repara que a posição vertical dele vai ser

y 6 = h 2 + L

Que é a metade da “altura” da barra h / 2 mais a a altura onde a barra está L .

Vamos achar h então, usando trigonometria de novo

h L = cos α 2

h = L cos α 2

Vamos ter

y 6 = L 2 cos α 2 + L

Passo 4

Agora vamos achar a posição horizontal dele, que vai ser

x 6 = d / 2 2 = d 4

Isso porque ela fica na metade do “comprimento” da barra, e esse “comprimento” é d / 2 .

Então

x 6 = L 2 sen α 2

É importante entender que em uma barra o centro de massa está na metade do comprimento e na metade da altura da barra.

Passo 5

Vamos agora para a barra 4

a altura do centro de massa dessa barra vai ser igual a da barra 6

y 4 = y 6 = L 2 cos α 2 + L

Passo 6

A posição horizontal dele vai ser

x 4 = d 2 + d / 2 2 = 3 d 4

Então

x 4 = 3 L 2 sen α 2

Passo 7

O centro de massa das outras barras é mais fácil de fazer, segue um desenho da posição de cada um

Vamos ter,

B a r r a   1 x 1 = 0 y 1 = L 2

B a r r a   2 x 2 = d 2 = L sen α 2 y 2 = 0

B a r r a   3 x 3 = d = 2 L sen α 2 y 3 = L 2

B a r r a   5 x 5 = d 2 = L sen α 2 y 5 = L

Passo 8

Vamos agora juntar isso tudo, começando pela posição horizontal

e i x o   x x 1 = 0 x 2 = L sen α 2 x 3 = 2 L sen α 2 x 4 = 3 L 2 sen α 2 x 5 = L sen α 2 x 6 = L 2 sen α 2

x C M = x 1 L 1 + x 2 L 2 + x 3 L 3 + x 4 L 4 + x 5 L 5 + x 6 L 6 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6

Sabemos que

L 2 = L 5 = d = 2 L sen α 2

L 1 = L 3 = L 4 = L 6 = L

x C M = L sen α 2 2 L sen α 2 + 2 L sen α 2 L + 3 L 2 sen α 2 L + L sen α 2 2 L sen α 2 + L 2 sen α 2 L 4 L + 2 2 L sen α 2

x C M = 2 L 2 sen 2 α 2 + 2 L 2 sen α 2 + 3 L 2 2 sen α 2 + 2 L 2 sen 2 α 2 + L 2 2 sen α 2 4 L + 4 L sen α 2

x C M = 4 L 2 sen 2 α 2 + 4 L 2 sen α 2 4 L + 4 L sen α 2

Colocando o que der para colocar em evidência

x C M = 4 L 2 sen α 2 sen α 2 + 1 4 L 1 + sen α 2

x C M = L sen α 2

Ufa né? Deixa eu te falar uma parada, eu fiz dessa forma mega trabalhosa para te mostrar como fazer essa questão e entender bem a matéria, afinal estamos nos exercícios de fixação.

Mas aqui vai a dica para esse tipo de questão

Podíamos simplesmente fazer

x C M = d 2 = L sen α 2

Porque ele é simétrico, mas é importante fazer essas contas para ficar craque em centro de massa. Vamos continuar a questão.

Passo 9

Vamos agora achar ao longo do eixo y

e i x o   y y 1 = L 2 y 2 = 0 y 3 = L 2 y 4 = L 2 cos α 2 + L y 5 = L y 6 = L 2 cos α 2 + L

y C M = y 1 L 1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 + y 4 L 4 + y 5 L 5 + y 6 L 6 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6

Sabemos que

L 2 = L 5 = d = 2 L sen α 2

L 1 = L 3 = L 4 = L 6 = L

y C M = L 2 L + L 2 L + L 2 cos α 2 + L L + L 2 L sen α 2 + L 2 cos α 2 + L L 4 L + 2 2 L sen α 2

y C M = L 2 2 + L 2 2 + L 2 2 cos α 2 + L 2 + 2 L 2 sen α 2 + L 2 2 cos α 2 + L 2 4 L + 4 L sen α 2

y C M = 3 L 2 + L 2 cos α 2 + 2 L 2 sen α 2 4 L + 4 L sen α 2

Colocando o que der para colocar em evidência

y C M = 2 L 2 3 2 + 1 2 cos α 2 + sen α 2 4 L 1 + sen α 2

y C M = L 2 3 2 + 1 2 cos α 2 + sen α 2 1 + sen α 2

Passo 10

Vamos escrever a posição do centro de massa na forma vetorial.

r C M = x C M i ^ + y C M j ^

r C M = L sen α 2 i ^ + L 2 3 2 + 1 2 cos α 2 + sen α 2 1 + sen α 2 j ^

Resposta

r C M = L sen α 2 i ^ + L 2 3 2 + 1 2 cos α 2 + sen α 2 1 + sen α 2 j ^

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