Posição do Centro de Massa

Teoria Completa

Introdução

Até agora só estudamos corpos que considerávamos partículas pontuais. Mas e quando isso não ocorrer, o que faremos? Por exemplo, queremos estudar como um helicóptero se movimenta, sua posição, velocidade...

Mas ele é grande demais, tem pedaços que não são preenchidos com nenhum manterial. Parece meio complicado, mas não é! Na verdade, usaremos o centro de massa para simplificar e trabalhar como se fosse uma partícula!

Vem comigo que vou te explicar esse conceito para você entender tudo!

Mas o que é centro de massa?

O centro de massa é o ponto onde podemos concentrar toda a massa do corpo m e entender ele como se fosse uma partícula pontual onde o tamanho não importa.

Ou seja, se temos um sistema em que o tamanho não pode ser ignorado, se acharmos o ponto do centro de massa, podemos considerar que todo o sistema se encontra naquele ponto. Assim voltamos a ter um problema de partícula pontual que já sabemos resolver.

Cálculo da posição do centro de massa sistema de partículas

A posição do centro de massa de um sistema é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, onde o peso é a massa de cada objeto. A fórmula para a posição do centro de massa é

r → C M = r → 1 . m 1 + r → 2 . m 2 + r → 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Onde r → 1 ,   r → 2 ,   … representa a posição do centro de massa do objeto 1 ,   2 …   respectivamente.

Por exemplo, vamos ver o seguinte sistema de 4 partículas:

Queremos saber o centro de massa, supondo que:

m 1 =   m 2 = 2 k g

m 3 =   m 4 = 3 k g

l = 1 m

Logo o vetor posição do centro de massa será igual a:

r → C M = 0,0   .   2 + 0,1   .   2 + 1,0   .   3 + 1,1   .   3 2 + 2 + 3 + 3  

r → C M = [ 0 + 0 + 3 + 3 , ( 0 + 2 + 3 ) ] 10 = ( 6,5 ) 10  

r → C M = 3 5 , 1 2

Caso não goste de trabalhar na forma de vetores, podemos separar por eixos

x C M = x 1 . m 1 + x 2 . m 2 + x 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

y C M = y 1 . m 1 + y 2 . m 2 + y 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Visto que x 1 ,   x 2 ,   …   e y 1 ,   y 2 ,   … representam a posição do centro de massa de cada objeto do sistema devemos saber achar o centro de massa de algumas figuras só de olhar.

O centro de massa de figuras simétricas como esferas, círculos, quadrados, retângulos é o ponto central da figura. Por exemplo, se o sistema que apresentamos anteriormente tivesse todas as massas iguais e em posições simétricas, o centro seria no centro do quadrado formado pelas partículas:

r → C M = 1 2 , 1 2

A simetria é um dado importante, sempre que houver um eixo de simetria em um sistema o centro de massa estará nesse eixo de simetria.

Cálculo da posição do centro de massa de corpo extenso

Considerando que temos um corpo extenso, como uma chapa, considerando que o objeto é homogêneo, ou seja, a massa m se distribua igualmente por todo o corpo:

m = ρ . V o l u m e

Onde ρ é a densidadede massa é constante!

Logo o centro de massa do corpo coincidirá com o centro geométrico!

Por exemplo, o centro de massa de um disco será o centro do disco:

O centro de massa de um fio de comprimento L será L / 2 :

Como achar o centro de massa de figuras “sem” ter a massa

Pode ser que tenhamos que calcular o centro de massa de um sistema composto por vários fios, ou por chapas retangulares.

E nesses casos não é preciso que o problema nos dê a massa dos objetos, se trabalharmos com corpos homogêneos ( distribuição uniforme de massa) podemos usar dados que sejam proporcionais a massa como comprimento e área.

Em objetos homogêneos a posição do centro de massa coincide com a posição do centro geométrico da figura.

Sabemos que a massa de um corpo uniforme é dada por

m = ρ . V o l u m e

E podemos abrir o volume como

V o l u m e = á r e a   x   c o m p r i m e n t o

Assim se temos um corpo que a densidade ρ é constante, podemos dizer que a massa é diretamente proporcional a Área ou comprimento de um objeto.

Devido a serem proporcionais, podemos calcular o centro de massa de um sistema composto por fios (objetos que só o comprimento tem valor significativo) da seguinte forma:

r → C M = r → 1 . L 1 + r → 2 . L 2 + r → 3 . L 3 + … L 1 + L 2 + L 3 + …  

Onde L n representa o comprimento de cada objeto.

Caso seja um sistema composto por chapas ( objetos que área tem valor significativo), calcularemos assim

r → C M = r → 1 . A 1 + r → 2 . A 2 + r → 3 . A 3 + … A 1 + A 2 + A 3 + …  

Posição do centro de massa de um corpo com furo

Como faz pra calcular a posição do centro de massa de um corpo com furo?

Vamos tratar o problema da seguinte forma. O sistema será composto por dois objetos:

  • O “corpo original” ( o corpo sem furo) de massa m o r i g i n a l
  • O “corpo ausente” de massa m a u s e n t e ( que vamos subtrair da massa total).

Calcularemos a posição do centro de massa da mesma forma:

r → C M = r → 1 . m o r i g i n a l - r → 2 . m a u s e n t e m o r i g i n a l - m a u s e n t e  

Lembrando que podemos separar por eixos essa fórmula também.

E até mesmo podemos calcular por área ou comprimento, lembrando que a área ou comprimento da parte ausente será subtraída da área ou comprimento original.

Por exemplo, vamos considerar um fio de tamanho L = 3 m e que retiramos um pedaço desse fio com tamanho l = 1 m seguindo o desenho:

Na imagem já vemos que vamos separar o fio completo (em verde) da parte que foi retirada (em vermelho). Pela simetria que já conhecemos dos fios, sabemos onde fica o centro de massa de cada parte, vamos considerar que o fio está a 1 metro de distância da origem do eixo x :

F i o   o r i g i n a l x o r i g i n a l = 1 m y o r i g i n a l = L 2 = 3 2 m

F i o   r e t i r a d o x r e t i r a d o = 1 m y r e t i r a d o = l 2 = 1 2 m

Vamos aplicar na fórmula então, mas subtraindo os termos do fio que foi retirado:

r → C M = 1 î   , 3 2 j ^   .   3 -   1 î   , 1 2 j ^   .   1 3 - 1

r → C M = 3 - 1   .   î + 9 2 - 1 2   .   j ^ 2

Logo:

r → C M = 1 î + 2 j ^

Observações importantes

Lembrando que o centro de massa é um ponto fictício que usamos para representar a massa do sistema e considerar o sistema uma partícula.

E por isso o centro de massa pode ocorrer em ponto externos a figura, por exemplo onde é o centro de massa de uma aliança? O centro de massa dela é no centro do círculo, um ponto sem massa e que não faz parte da aliança.

Vai ficar mais claro nos exercícios. Bora lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ – 2ª Lista

Calcule o centro de massa do objeto esquematizado na figura abaixo (despreze a massa da grade):

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Passo 1

O primeiro passo é escolher um referencial e um sistema de medida. Vamos adotar aqui que os lados de cada quadrado da grade valem 1u.

Passo 2

Agora precisamos da posição de cada um dos objetos.

Temos a posição r → 1 = ( 2,1 ) para o objeto de massa 1   kg .

Temos as posições r → 2 = ( 1,0 ) e r → 3 = ( 1,3 ) para os objetos de massa de 2   kg .

Temos a posição r → 4 = 3,4 para o objeto de massa 4   kg .

Passo 3

Agora é só aplicar a fórmula para achar a posição do centro de massa.

r → C M = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 + m 3 r → 3 + m 4 r → 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

r → C M = 1 2 ,   1 + 2 1 ,   0 + 2 1 ,   3 + 4 ( 3 ,   4 ) 1 + 2 + 2 + 4

r → C M = ( 18 ,   23 ) 9

r → C M = 2 , 23 9

Agora podemos ilustrar onde está o centro de massa.

Resposta

r C M → = 2 , 23 9

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2015.1- ME3

Uma barra de comprimento 2 L é formada por duas metades, como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita, hachurada. Separadamente, as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto. Para que a barra fique em equilíbrio, na posição horizontal, ela deve ser pendurada pelo ponto x   tal que

(a) x = L

(b) x = 7 6   L

(c) x = 3 2 L

(d) x seja qualquer entre 0   e 2 L

(e) x seja qualquer entre L e 2 L

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Passo 1

Para que a barra fique em equilíbrio, o fio tem que ser ligado ao centro de massa da barra.

O centro de massa é como se a massa estivesse concentrada naquele ponto. Portanto o peso atua naquele ponto, e para que não haja um torque e a barra rotacione, o fio é preso no centro de massa da barra, se for preso em outro ponto, o peso causará uma rotação na barra.

Passo 2

Então vamos achar a posição do CM da barra, e para isso faremos esse cálculo em relação a origem.

O comprimento da metade esquerda da barra é L , e ela é homogênea. Então o centro de massa dessa metade fica em x = L / 2 .

Digamos que a massa dessa metade é m . Então vamos considerar a massa m toda concentrada em x = L / 2 .

Pra outra metade podemos fazer a mesma coisa, a diferença é que a posição do CM é L + 2 L 2 = 3 L / 2 e que a massa é dobro, 2 m .

Sendo assim o nosso sistema da barra final vai ficar desse jeito:

Passo 3

Agora ficou mais fácil de calcular a posição x C M do centro de massa !

Ela é dada por:

x C M = m 1 x C M 1 + m 2 x C M 2 m 1 + m 2

Sendo assim vamos substituir as massas e os centro de massa encontrados para encontrarmos a posição do centro de massa da barra:

x C M = m L 2 + 2 m 3 L 2 m + 2 m

x C M = m L 2 + 6 m L 2 3 m = 7 m L 6 m

x C M = 7 L 6

Sendo assim o fio será colocado na posição 7 L / 6 , vamos desenhar?

Então a resposta é b )

Resposta

Alternativa (b) 7 6 L

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Considere a molécula d’água H 2 O com seus três átomos distribuídos com localizações fixas de acordo com a figura abaixo, sendo d a distância entre o átomo de Oxigênio ( O ) e um átomo de Hidrogênio ( H ) . Encontre o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de Oxigênio, em função da distância d .

Sabe-se que θ = 105 o , cos ⁡ 15 o = 0,966 , sen ⁡ 15 o = 0,260 , m O = 16   u m a e m H = 1   u m a (unidades de massa atômica).

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Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é deixar claro quais são nossos eixos!

Temos que calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao átomo de oxigênio O então O é a nossa origem. O eixo x aponta pra direita e o eixo y aponta pra cima.

Repare que as coordenadas do hidrogênio da direita são ( d , 0 ) . Vou chamá-lo de H 1 , ok?

Mas ainda precisamos achar as coordenadas do outro hidrogênio, o H 2 !

Passo 2

Sabemos que θ = 105 o então o ângulo entre o eixo y e o H 2 é 105 o - 90 o = 15 o . Não é à toa que deram pra gente cos ⁡ 15 o = 0,966 e sen ⁡ 15 o = 0,260 no enunciado!

Então queremos as coordenadas x H e y H do átomo de hidrogênio:

Olhando o triângulo formado na esquerda e aplicando trigonometria básica, temos:

x H = d sen ⁡ 15 o

y H = d cos ⁡ 15 o

Mas como o eixo x aponta pra direita, a coordenada x do átomo é - d sen ⁡ 15 o .

Passo 3

Vamos calcular a posição do centro de massa! :D

Recapitulando, as coordenadas dos 3 átomos são ( 0 ,   0 ) pro oxigênio, ( d ,   0 ) para o H 1 e - d sen ⁡ 15 0 ,   d cos ⁡ 15 o para o H 2 .

Vamos começar pela coordenada x do centro de massa:

x C M = m O x O + m H 1 x H 1 + m H 2 x H 2 m O + m H 1 + m H 2

m O = 16 e m H 1 = m H 2 = 1 , então isso dá

x C M = 16 ⋅ 0 + 1 ⋅ d + 1 ⋅ - d sen ⁡ 15 o 16 + 1 + 1

⇒ x C M = d - d sen ⁡ 15 o 18

⇒ x C M = 1 - sen ⁡ 15 o 18 d

Substituindo sen ⁡ 15 o = 0,26   isso dá:

x C M = 0,74 18 d ≈ 0,041 d

Passo 4

Show, agora vamos achar a coordenada y do C M !

y C M = m O y O + m H 1 y H 1 + m H 2 y H 2 m O + m H 1 + m H 2

⇒ y C M = 16 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ d cos ⁡ 15 o 16 + 1 + 1

⇒ y C M = d cos ⁡ 15 o 18

Usando cos ⁡ 15 o = 0,966 temos

y C M = 0,966 18 d ≈ 0,054 d

Então é isso! Sendo i o vetor unitário do eixo x e j o vetor unitário do eixo y , o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de oxigênio é:

r C M = 1 - sen ⁡ 15 o d 18 i ,     cos ⁡ 15 o d 18 j ≈ 0,041 d i ,   0,054 d j

Resposta

r C M = 1 - sen ⁡ 15 o d 18 i ,     cos ⁡ 15 o d 18 j ≈ 0,041 d i ,   0,054 d j

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa da chapa abaixo, considere a chapa homogênea.

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Passo 1

Essa chapa é o nosso sistema, podemos então “quebrá-la” em vários objetos que sabemos o centro de massa, mas quais são esses objetos? Retângulos, o centro de massa de retângulos é exatamente no seu meio. Separando essa figura temos

Vamos ter as seguintes componentes para o centro de massa dos retângulos (coordenadas do centro do retângulo):

r e t a n g u l o   1 x 1 = 1,5 a 2 = 0,75 a y 1 = 2 a 2 = a                        

r e t a n g u l o   2 x 2 = 1,5 a + a 2 = 2 a y 2 = a 2 = 0,5 a                

Passo 2

Quando cada objeto na verdade são chapas, podemos usar a área de cada uma delas em vez da massa, isso porque elas são proporcionais

Assim, vamos calculas a posição x do centro de massa

x C M = A 1 ⋅ x 1 + A 2 ⋅ x 2 A 1 + A 2

x C M = 1,5 a ⋅ 2 a ⋅ 0,75 a + a ⋅ a ⋅ 2 a 1,5 a ⋅ 2 a + a ⋅ a

x C M = 2,25 a 3 + 2 a 3 3 a 2 + a 2

x C M = 4,25 a 3 4 a 2

x C M = 1,0625 a

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição y do centro de massa

y C M = A 1 ⋅ y 1 + A 2 ⋅ y 2 A 1 + A 2

y C M = 1,5 a ⋅ 2 a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ 0,5 a 1,5 a ⋅ 2 a + a ⋅ a

y C M = 3 a 3 + 0,5 a 3 3 a 2 + a 2

y C M = 3,5 a 3 4 a 2

y C M = 0,875 a

Passo 4

O vetor centro de massa fica

r → C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

Resposta

r → C M = 1,0625 a i ^ + 0,875 a j ^

Exercício Resolvido #5

UFRJ – 2ª Prova – 2013.2

Uma chapa homogênea quadrada de lado 2 a tem um canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano O X Y como indicado na figura. Em relação à origem O , o vetor posição r → c m do centro de massa

a   7 / 6 a i ^ + j ^

b   5 / 6 a i ^ + j ^

c   1 / 3 a i ^ + j ^

( d )   1 / 2 a i ^ + j ^

e   2 / 3 a i ^ + j ^

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Passo 1

Tínhamos uma chapa quadrada de lado 2 a e então tiramos um pedaço quadrado de lado a da chapa. Ou seja, temos uma chapa com furo, assim podemos calcular a posição do centro de massa da figura pela fórmula

r → C M = r → o r i g i n a l . A o r i g i n a l   + r → b u r a c o . A b u r a c o A o r i g i n a l + A b u r a c o