Posição do Centro de Massa

Teoria Completa

Introdução

Até agora só estudamos corpos que considerávamos partículas pontuais. Mas e quando isso não ocorrer, o que faremos?

Simples: usaremos o centro de massa!

Mas o que é centro de massa?

O centro de massa é o ponto onde podemos concentrar toda a massa do corpo e entender ele como se fosse uma partícula pontual onde o tamanho não importa.

Ou seja, se temos um sistema em que o tamanho não pode ser ignorado, se acharmos o ponto do centro de massa, podemos considerar que todo o sistema se encontra naquele ponto. Assim voltamos a ter um problema de partícula pontual que já sabemos resolver.

Cálculo da posição do centro de massa

A posição do centro de massa de um sistema é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, onde o peso é a massa de cada objeto. A fórmula para a posição do centro de massa é

r → C M = r → 1 . m 1 + r → 2 . m 2 + r → 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Onde r → 1 ,   r → 2 ,   … representa a posição do centro de massa do objeto 1 ,   2 …   respectivamente.

Caso não goste de trabalhar na forma de vetores, podemos separar por eixos

x C M = x 1 . m 1 + x 2 . m 2 + x 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

y C M = y 1 . m 1 + y 2 . m 2 + y 3 . m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …  

Visto que x 1 ,   x 2 ,   …   e y 1 ,   y 2 ,   … representam a posição do centro de massa de cada objeto do sistema devemos saber achar o centro de massa de algumas figuras só de olhar.

O centro de massa de figuras simétricas como esferas, círculos, quadrados, retângulos é o ponto central da figura.

A simetria é um dado importante, sempre que houver um eixo de simetria em um sistema o centro de massa estará nesse eixo de simetria.

Como achar o centro de massa de figuras “sem” ter a massa

Pode ser que tenhamos que calcular o centro de massa de um sistema composto por vários fios, ou por chapas retangulares.

E nesses casos não é preciso que o problema nos dê a massa dos objetos, se trabalharmos com corpos homogêneos ( distribuição uniforme de massa) podemos usar dados que sejam proporcionais a massa como comprimento e área.

Em objetos homogêneos a posição do centro de massa coincide com a posição do centro geométrico da figura.

Sabemos que a massa de um corpo uniforme é dada por

m = ρ . V o l u m e

E podemos abrir o volume como

V o l u m e = á r e a   x   c o m p r i m e n t o

Assim se temos um corpo que a densidade ρ é constante, podemos dizer que a massa é diretamente proporcional a Área ou comprimento de um objeto.

Devido a serem proporcionais, podemos calcular o centro de massa de um sistema composto por fios (objetos que só o comprimento tem valor significativo) da seguinte forma:

r → C M = r → 1 . L 1 + r → 2 . L 2 + r → 3 . L 3 + … L 1 + L 2 + L 3 + …  

Onde L n representa o comprimento de cada objeto.

Caso seja um sistema composto por chapas ( objetos que área tem valor significativo), calcularemos assim

r → C M = r → 1 . A 1 + r → 2 . A 2 + r → 3 . A 3 + … A 1 + A 2 + A 3 + …  

Posição do centro de massa de um corpo com furo

Como faz pra calcular a posição do centro de massa de um corpo com furo?

Vamos tratar o problema da seguinte forma. O sistema será composto por dois objetos:

  • O “corpo original” ( o corpo sem furo) de massa m o r i g i n a l
  • O “corpo ausente” de massa m a u s e n t e ( que vai ter massa negativa).

Calcularemos a posição do centro de massa da mesma forma: fazendo a média ponderada da posição do centro de massa de cada corpo, onde a massa será o peso.

r → C M = r → 1 . m o r i g i n a l + r → 2 . m a u s e n t e m o r i g i n a l + m a u s e n t e  

Lembrando que podemos separar por eixos essa fórmula também.

E até mesmo podemos calcular por área ou comprimento, lembrando que a área ou comprimento da parte ausente será negativa.

Observações importantes

Lembrando que o centro de massa é um ponto fictício que usamos para representar a massa do sistema e considerar o sistema uma partícula.

E por isso o centro de massa pode ocorrer em ponto externos a figura, por exemplo onde é o centro de massa de uma aliança? O centro de massa dela é no centro do círculo, um ponto sem massa e que não faz parte da aliança.

Vai ficar mais claro nos exercícios. Bora lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ – 2ª Lista

Calcule o centro de massa do objeto esquematizado na figura abaixo (despreze a massa da grade):

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Passo 1

O primeiro passo é escolher um referencial e um sistema de medida. Vamos adotar aqui que os lados de cada quadrado da grade valem 1u.

Passo 2

Agora precisamos da posição de cada um dos objetos.

Temos a posição r → 1 = ( 2,1 ) para o objeto de massa 1   kg .

Temos as posições r → 2 = ( 1,0 ) e r → 3 = ( 1,3 ) para os objetos de massa de 2   kg .

Temos a posição r → 4 = 3,4 para o objeto de massa 4   kg .

Passo 3

Agora é só aplicar a fórmula para achar a posição do centro de massa.

r → C M = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 + m 3 r → 3 + m 4 r → 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

r → C M = 1 2 ,   1 + 2 1 ,   0 + 2 1 ,   3 + 4 ( 3 ,   4 ) 1 + 2 + 2 + 4

r → C M = ( 18 ,   23 ) 9

r → C M = 2 , 23 9

Agora podemos ilustrar onde está o centro de massa.

Resposta

r C M → = 2 , 23 9

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2015.1- ME3

Uma barra de comprimento 2 L é formada por duas metades, como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita, hachurada. Separadamente, as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto. Para que a barra fique em equilíbrio, na posição horizontal, ela deve ser pendurada pelo ponto x   tal que

(a) x = L

(b) x = 7 / 6   L

(c) x = 3 2 L

(d) x seja qualquer entre 0   e 2 L

(e) x seja qualquer entre L e 2 L

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Passo 1

Para que a barra fique em equilíbrio, o fio tem que ser ligado ao centro de massa da barra. Dessa maneira a força de tração do fio não vai gerar uma rotação e vai se cancelar com a força peso.

Então vamos achar a posição do CM da barra!

O comprimento da metade esquerda da barra é L , e ela é homogênea. Então o centro de massa dessa metade fica em x = L / 2 .

Digamos que a massa dessa metade é m . Então vamos considerar a massa m toda concentrada em x = L / 2 .

Pra outra metade podemos fazer a mesma coisa, a diferença é que a posição do CM é L + 2 L 2 = 3 L / 2 e que a massa é dobro, 2 m .

Então é como se tivéssemos 2 partículas, assim ó:

Passo 2

Agora ficou mais fácil de calcular a posição x C M do centro de massa !

Ela é dada por:

x C M = m ⋅ L 2 + 2 m ⋅ 3 L 2 m + 2 m

⇒ x C M = 7 m L 2 3 m = 7 m L 6 m = 7 6 L

Resposta

Alternativa (b)

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Considere a molécula d’água H 2 O com seus três átomos distribuídos com localizações fixas de acordo com a figura abaixo, sendo d a distância entre o átomo de Oxigênio ( O ) e um átomo de Hidrogênio ( H ) . Encontre o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de Oxigênio, em função da distância d .

Sabe-se que θ = 105 o , cos ⁡ 15 o = 0,966 , sen ⁡ 15 o = 0,260 , m O = 16   u m a e m H = 1   u m a (unidades de massa atômica).

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Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é deixar claro quais são nossos eixos!

Temos que calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao átomo de oxigênio O então O é a nossa origem. O eixo x aponta pra direita e o eixo y aponta pra cima.

Repare que as coordenadas do hidrogênio da direita são ( d , 0 ) . Vou chamá-lo de H 1 , ok?

Mas ainda precisamos achar as coordenadas do outro hidrogênio, o H 2 !

Passo 2

Sabemos que θ = 105 o então o ângulo entre o eixo y e o H 2 é 105 o - 90 o = 15 o . Não é à toa que deram pra gente cos ⁡ 15 o = 0,966 e sen ⁡ 15 o = 0,260 no enunciado!

Então queremos as coordenadas x H e y H do átomo de hidrogênio:

Olhando o triângulo formado na esquerda e aplicando trigonometria básica, temos:

x H = d sen ⁡ 15 o

y H = d cos ⁡ 15 o

Mas como o eixo x aponta pra direita, a coordenada x do átomo é - d sen ⁡ 15 o .

Passo 3

Vamos calcular a posição do centro de massa! :D

Recapitulando, as coordenadas dos 3 átomos são ( 0 ,   0 ) pro oxigênio, ( d ,   0 ) para o H 1 e - d sen ⁡ 15 0 ,   d cos ⁡ 15 o para o H 2 .

Vamos começar pela coordenada x do centro de massa:

x C M = m O x O + m H 1 x H 1 + m H 2 x H 2 m O + m H 1 + m H 2