Teoria Completa
Introdução
Até agora só estudamos corpos que considerávamos partículas pontuais. Mas e quando isso não ocorrer, o que faremos? Por exemplo, queremos estudar como um helicóptero se movimenta, sua posição, velocidade...
Mas ele é grande demais, tem pedaços que não são preenchidos com nenhum manterial. Parece meio complicado, mas não é! Na verdade, usaremos o centro de massa para simplificar e trabalhar como se fosse uma partícula!
Vem comigo que vou te explicar esse conceito para você entender tudo!
Mas o que é centro de massa?
O centro de massa é o ponto onde podemos concentrar toda a massa do corpo e entender ele como se fosse uma partícula pontual onde o tamanho não importa.
Ou seja, se temos um sistema em que o tamanho não pode ser ignorado, se acharmos o ponto do centro de massa, podemos considerar que todo o sistema se encontra naquele ponto. Assim voltamos a ter um problema de partícula pontual que já sabemos resolver.
Cálculo da posição do centro de massa sistema de partículas
A posição do centro de massa de um sistema é dado pela média ponderada da posição dos objetos no sistema, onde o peso é a massa de cada objeto. A fórmula para a posição do centro de massa é
Onde representa a posição do centro de massa do objeto respectivamente.
Por exemplo, vamos ver o seguinte sistema de 4 partículas:
Queremos saber o centro de massa, supondo que:
Logo o vetor posição do centro de massa será igual a:
Caso não goste de trabalhar na forma de vetores, podemos separar por eixos
Visto que e representam a posição do centro de massa de cada objeto do sistema devemos saber achar o centro de massa de algumas figuras só de olhar.
O centro de massa de figuras simétricas como esferas, círculos, quadrados, retângulos é o ponto central da figura. Por exemplo, se o sistema que apresentamos anteriormente tivesse todas as massas iguais e em posições simétricas, o centro seria no centro do quadrado formado pelas partículas:
A simetria é um dado importante, sempre que houver um eixo de simetria em um sistema o centro de massa estará nesse eixo de simetria.
Cálculo da posição do centro de massa de corpo extenso
Considerando que temos um corpo extenso, como uma chapa, considerando que o objeto é homogêneo, ou seja, a massa se distribua igualmente por todo o corpo:
Onde é a densidadede massa é constante!
Logo o centro de massa do corpo coincidirá com o centro geométrico!
Por exemplo, o centro de massa de um disco será o centro do disco:
O centro de massa de um fio de comprimento será :
Como achar o centro de massa de figuras “sem” ter a massa
Pode ser que tenhamos que calcular o centro de massa de um sistema composto por vários fios, ou por chapas retangulares.
E nesses casos não é preciso que o problema nos dê a massa dos objetos, se trabalharmos com corpos homogêneos ( distribuição uniforme de massa) podemos usar dados que sejam proporcionais a massa como comprimento e área.
Em objetos homogêneos a posição do centro de massa coincide com a posição do centro geométrico da figura.
Sabemos que a massa de um corpo uniforme é dada por
E podemos abrir o volume como
Assim se temos um corpo que a densidade é constante, podemos dizer que a massa é diretamente proporcional a Área ou comprimento de um objeto.
Devido a serem proporcionais, podemos calcular o centro de massa de um sistema composto por fios (objetos que só o comprimento tem valor significativo) da seguinte forma:
Onde representa o comprimento de cada objeto.
Caso seja um sistema composto por chapas ( objetos que área tem valor significativo), calcularemos assim
Posição do centro de massa de um corpo com furo
Como faz pra calcular a posição do centro de massa de um corpo com furo?
Vamos tratar o problema da seguinte forma. O sistema será composto por dois objetos:
- O “corpo original” ( o corpo sem furo) de massa
- O “corpo ausente” de massa ( que vamos subtrair da massa total).
Calcularemos a posição do centro de massa da mesma forma:
Lembrando que podemos separar por eixos essa fórmula também.
E até mesmo podemos calcular por área ou comprimento, lembrando que a área ou comprimento da parte ausente será subtraída da área ou comprimento original.
Por exemplo, vamos considerar um fio de tamanho e que retiramos um pedaço desse fio com tamanho seguindo o desenho:
Na imagem já vemos que vamos separar o fio completo (em verde) da parte que foi retirada (em vermelho). Pela simetria que já conhecemos dos fios, sabemos onde fica o centro de massa de cada parte, vamos considerar que o fio está a 1 metro de distância da origem do eixo :
Vamos aplicar na fórmula então, mas subtraindo os termos do fio que foi retirado:
Logo:
Observações importantes
Lembrando que o centro de massa é um ponto fictício que usamos para representar a massa do sistema e considerar o sistema uma partícula.
E por isso o centro de massa pode ocorrer em ponto externos a figura, por exemplo onde é o centro de massa de uma aliança? O centro de massa dela é no centro do círculo, um ponto sem massa e que não faz parte da aliança.
Vai ficar mais claro nos exercícios. Bora lá?
Exercício Resolvido #1
Calcule o centro de massa do objeto esquematizado na figura abaixo (despreze a massa da grade):
Passo 1
O primeiro passo é escolher um referencial e um sistema de medida. Vamos adotar aqui que os lados de cada quadrado da grade valem 1u.
Passo 2
Agora precisamos da posição de cada um dos objetos.
Temos a posição para o objeto de massa .
Temos as posições e para os objetos de massa de .
Temos a posição para o objeto de massa .
Passo 3
Agora é só aplicar a fórmula para achar a posição do centro de massa.
Agora podemos ilustrar onde está o centro de massa.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Uma barra de comprimento é formada por duas metades, como mostra a figura. A parte da esquerda possui metade da massa da parte da direita, hachurada. Separadamente, as duas partes são homogêneas. Desejamos usar um fio para prender esta barra ao teto. Para que a barra fique em equilíbrio, na posição horizontal, ela deve ser pendurada pelo ponto tal que
(a)
(b)
(c)
(d) seja qualquer entre e
(e) seja qualquer entre e
Passo 1
Para que a barra fique em equilíbrio, o fio tem que ser ligado ao centro de massa da barra.
O centro de massa é como se a massa estivesse concentrada naquele ponto. Portanto o peso atua naquele ponto, e para que não haja um torque e a barra rotacione, o fio é preso no centro de massa da barra, se for preso em outro ponto, o peso causará uma rotação na barra.
Passo 2
Então vamos achar a posição do CM da barra, e para isso faremos esse cálculo em relação a origem.
O comprimento da metade esquerda da barra é , e ela é homogênea. Então o centro de massa dessa metade fica em .
Digamos que a massa dessa metade é . Então vamos considerar a massa toda concentrada em .
Pra outra metade podemos fazer a mesma coisa, a diferença é que a posição do CM é e que a massa é dobro, .
Sendo assim o nosso sistema da barra final vai ficar desse jeito:
Passo 3
Agora ficou mais fácil de calcular a posição do centro de massa !
Ela é dada por:
Sendo assim vamos substituir as massas e os centro de massa encontrados para encontrarmos a posição do centro de massa da barra:
Sendo assim o fio será colocado na posição , vamos desenhar?
Então a resposta é
Resposta
Alternativa (b)
Exercício Resolvido #3
Considere a molécula d’água com seus três átomos distribuídos com localizações fixas de acordo com a figura abaixo, sendo a distância entre o átomo de Oxigênio e um átomo de Hidrogênio . Encontre o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de Oxigênio, em função da distância .
Sabe-se que , , , e (unidades de massa atômica).
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é deixar claro quais são nossos eixos!
Temos que calcular a posição do centro de massa do sistema em relação ao átomo de oxigênio então é a nossa origem. O eixo aponta pra direita e o eixo aponta pra cima.
Repare que as coordenadas do hidrogênio da direita são . Vou chamá-lo de , ok?
Mas ainda precisamos achar as coordenadas do outro hidrogênio, o !
Passo 2
Sabemos que então o ângulo entre o eixo e o é . Não é à toa que deram pra gente e no enunciado!
Então queremos as coordenadas e do átomo de hidrogênio:
Olhando o triângulo formado na esquerda e aplicando trigonometria básica, temos:
Mas como o eixo aponta pra direita, a coordenada do átomo é .
Passo 3
Vamos calcular a posição do centro de massa! :D
Recapitulando, as coordenadas dos 3 átomos são pro oxigênio, para o e para o .
Vamos começar pela coordenada do centro de massa:
e , então isso dá
Substituindo isso dá:
Passo 4
Show, agora vamos achar a coordenada do !
Usando temos
Então é isso! Sendo o vetor unitário do eixo e o vetor unitário do eixo , o vetor posição do centro de massa da molécula, em relação à posição do átomo de oxigênio é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Encontre a posição do centro de massa da chapa abaixo, considere a chapa homogênea.
Passo 1
Essa chapa é o nosso sistema, podemos então “quebrá-la” em vários objetos que sabemos o centro de massa, mas quais são esses objetos? Retângulos, o centro de massa de retângulos é exatamente no seu meio. Separando essa figura temos
Vamos ter as seguintes componentes para o centro de massa dos retângulos (coordenadas do centro do retângulo):
Passo 2
Quando cada objeto na verdade são chapas, podemos usar a área de cada uma delas em vez da massa, isso porque elas são proporcionais
Assim, vamos calculas a posição do centro de massa
Passo 3
Agora, vamos calcular a posição do centro de massa
Passo 4
O vetor centro de massa fica
Resposta
Exercício Resolvido #5
Uma chapa homogênea quadrada de lado tem um canto quadrado de lado retirado. A chapa restante está disposta no plano como indicado na figura. Em relação à origem , o vetor posição do centro de massa
Passo 1
Tínhamos uma chapa quadrada de lado e então tiramos um pedaço quadrado de lado da chapa. Ou seja, temos uma chapa com furo, assim podemos calcular a posição do centro de massa da figura pela fórmula
Lembre-se também que quando temos chapas usamos sua área no lugar da massa.
Passo 2
Vamos ter as posições do centro de massa