Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Resumo Completo

Velocidade do Centro de Massa

Em um sistema de partículas, podemos representar todo o sistema pelo centro de massa, então se esse sistema se movimenta o centro de massa também irá se movimentar.

Assim, iremos calcular a velocidade do centro de massa fazendo a média ponderada das velocidades dos objetos do sistema, onde o peso é a massa de cada objeto.

V C M = m 1 . v 1 + m 2 . v 2 + m 1 + m 2 +    

Onde v representa a velocidade do centro de massa de cada objeto do sistema.

Se lembrarmos que o momento linear de um sistema é dado por

P = m 1 . v 1 + m 2 . v 2 +

Podemos reescrever a equação da velocidade do centro de massa da seguinte forma

V C M = P m 1 + m 2 +

Momento Linear do Centro de Massa

Outra forma de reescrever a fórmula acima é dizer que o momento linear do centro de massa é a massa de todo o sistema vezes a velocidade do centro de massa.

P = m 1 + m 2 + . V C M

Então, se numa colisão o momento linear do centro de massa permanece constante, temos que a velocidade do centro de massa irá se conservar:

V C M 0 = V C M f = c o n s t a n t e  

Lembrando que sempre que trabalhamos com vetores podemos separar a equação pelos eixos e trabalhar separadamente.

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

Duas partículas 1 e 2 de massas m 1 = m e m 2 = 4 m movem-se em movimento retilíneo uniforme com velocidades v 1 = v / 4 e v 2 = - v respectivamente. Num dado instante ocorre uma colisão entre elas totalmente inelástica, pode-se afirmar, sobre a velocidade V c m do centro de massa das partículas que:

a   Depois da colisão V c m = 0 ;

b   Antes da colisão V c m = 1 4 v ;

c   Depois da colisão V c m = - 3 4 v ;

d   Antes da colisão V c m = 0 e depois da colisão V c m = - v ;

e   Depois da colisão V c m = 3 4 v ;

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vimos que a velocidade do centro de massa V C M pode ser escrita como

V C M = p m 1 + m 2

Desta forma como ocorre uma colisão temos que há conservação de momento linear

p 0 = p f

Assim temos que em uma colisão a velocidade do centro de massa irá se conservar e por isso

V C M 0 = V C M f

Sabendo disso já elimiamos a alternativa d

Passo 2

Agora basta calcula a velocidade do centro de massa inicial para acharmos a resposta.

As velocidades estão na forma vetorial, então vamos usar a fórmula da velocidade do centro de massa na forma vetorial.

V C M 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2

Então

V C M 0 = m v / 4 + 4 m - v m + 4 m

V C M 0 = - 3 4 v

Como a velocidade não muda temos que

V C M f = - 3 4 v

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.2

A figura mostra dois veículos que colidem de modo totalmente inelástico num cruzamento 90 ° . A velocidade dos escombros conjuntos tem valor v f = 16,0   m / s imediatamente após a colisão e direção que faz 24 ° com o eixo y . O veículo 1 , que vinha no eixo x da figura, tem massa m 1 = 950   k g , e o veículo 2 tem massa m 2 = 1900   k g . Considere o sistema isolado durante a colisão.

a Forneça o vetor momento linear do centro de massa do sistema imediatamente depois da colisão, P C M f , e imediatamente antes da colisão, P C M i . Justifique.

b   Qual a velocidade escalar de cada veículo antes da colisão?

c Forneça o vetor força que atuou sobre o veículo 1 , F 1 , sabendo que a colisão teve duraçãoo de 0,20   s .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando estamos lidando com uma colisão totalmente inelástica, devemos lembrar que nesse tipo de colisão, os objetos envolvidos tem a mesma velocidade final, ou seja, eles saem juntos.

a   Para calcular o vetor momento dos corpos depois da colisão, devemos primeiro lembrar da sua definição:

P C M = m C M . v C M

Depois da colisão, pelo fato de os carros terem a mesma velocidade, temos:

P C M = m 1 + m 2 . v f

Para determinar o vetor momento em relação aos eixos, vamos decompor ele em suas componentes x e y .

Em x , temos:

P C M x f = m 1 + m 2 . v f . sen 24 ° ( i ^ )

Substituindo os valores, temos:

P C M x f = 950 + 1900 . 16 .   0,407   ( i ^ )

P C M x f = 18.559   i ^   k g . m / s

Em y , temos:

P C M y f = m 1 + m 2 . v f . cos 24 °   ( j ^ )

Substituindo os valores, temos:

P C M y f = 950 + 1900 . 16 .   0,914   ( j ^ )

P C M y f = 41.678   j ^   k g . m / s

Portanto, o vetor momento depois da colisão é:

P C M f = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Por se tratar de um sistema isolado, onde forças externas não estão atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear, desse modo o vetor momento do sistema antes da colisão será igual ao vetor momento linear depois da colisão:

P C M f = P C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Passo 2

b   Pelo fato de os carros estarem posicionados conforme mostra a figura, percebemos, que antes da colisão, a componente x do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 1 , que vinha no eixo x .

Analogamente a componente y do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 2 , que vinha no eixo y . Com isso em mente, temos:

Para o veículo 1 :

P C M i x = m 1 . v 1

Substituindo os valores, temos:

18.559 = 950 . v 1

v 1 = 19,5   m / s

Para o veículo 2 :

P C M i y = m 2 . v 2

Substituindo os valores, temos:

41.678 = 1900 . v 2

v 2 = 21,9   m / s

Passo 3

c

Para determinar a força que atuou sobre o veículo 1 , precisamos lembrar do teorema Força-Impulso, ele nos diz:

F = I Δ t = Δ P Δ t

Como temos a velocidade do veículo 1 antes v 1 e depois da colisão v f , podemos achar a força

F 1 = Δ P Δ t = m 1 . v f - v 1 Δ t

Substituindo os valores, temos:

F 1 = 950 . v f . sen 24 ° i ^ + v f . cos 24 ° j ^ - v 1 ( i ^ ) Δ t

Veja que estamos decompondo a velocidade final, pois queremos descobrir o vetor força, e a melhor maneira é determinar as componentes em separado.

F 1 = 950 . 16,0 . sen 24 ° i ^ + 16,0 . cos 24 ° j ^ - 19,5 ( i ^ ) 0,20

F 1 = 950 - 12,99 i ^ + 14,62 j ^ 0,20

F 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

Resposta

a P C M f = P C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

b v 1 = 19,5   m / s ; v 2 = 21,9   m / s

c F 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2008.2

Um disco de borracha de 0,500   k g se movimenta inicialmente com vetor velocidade v 1 sobre uma superfície horizontal sem atrito e sofre uma colisão com um disco de borracha de 0,300   k g movendo-se inicialmente com vetor velocidade v 2 . Considere as seguintes situações:

a Se o vetor velocidade v 1 = 3,00   i   ( m / s ) e o vetor velocidade do centro de massa v C M = 1,00   i + 3,00   j m / s , calcule o vetor velocidade v 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   O problema envolve um colisão e nos dá a velocidade inicial de uma partícula e a velocidade do centro de massa, isso nos faz pensar em relacionar a velocidade do centro de massa com o momento linear do sistema.

Seria tão bom se tivéssemos uma fórmula para isso. OPA! Nós temos hahaha

V C M = P m 1 + m 2

Show, vamos continuar! :D

Passo 2

Vamos abrir o momento

v C M = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 ,

sendo m 1 e m 2 a massa dos discos de borracha, um de 0,5   k g e outro de 0,3   k g .

E como v 1 = 3 i , vamos ter

v C M = 0,5 3 i + 0,3 v 2 0,5 + 0,3

v C M = 1,5 i + 0,3 v 2 0,8

Passo 3

Passando isso pra frações que é melhor, dá:

v C M = 3 2 i + 3 10 v 2 4 5

v C M = 3 2 5 4 i + 3 10 5 4 v 2

v C M = 15 8 i + 3 8 v 2

Passo 4

Separando v 2 da forma v 2 = v 2 x i + v 2 y j , isso dá:

v C M = 15 8 i + 3 8 v 2 x i + 3 8 v 2 y j

v C M = 15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j

Passo 5

E pelo enunciado,

v C M = 1 i + 3 j

Ou seja:

1 i + 3 j = 15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j

Portanto, vamos ter

15 + 3 v 2 x 8 = 1 3 v 2 y 8 = 3

A primeira equação fica:

15 + 3 v 2 x = 8

3 v 2 x = - 7

v 2 x = - 7 3

E pela segunda equação:

v 2 y 8 = 1

v 2 y = 8

Portanto,

v 2 = - 7 3 i + 8 j - 2,33 i + 8 j

Resposta

a   v 2 = - 7 3 i + 8 j - 2,33 i + 8 j

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2012.2

Um bloco A deslocando-se com momento linear p A = a i ^ - a j ^ , colide com um bloco B de momento linear p B = a i ^ + a j ^ , onde a é constante. Suponha que não há força externa. Após a colisão o centro de massa do sistema segue, de acordo com o sistema de coordenadas ortogonais X Y Z e os respectivos vetories unitários i ^ , j ^ e k ^ :

a   na direção x e sentido negativo;

b   na direção y e sentido negativo;

c   na direção x e sentido positivo;

d   na direção y e sentido positivo;

e   em uma direção formando um ângulo π 4 com os eixos O X e O Y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como não temos forças externas o momento linear irá se conservar durante a colisão. Assim pela equação da velocidade do centro de massa

V C M = P m 1 + m 2

Vemos que a velocidade do centro de massa não se altera e assim o centro de massa mantem seu movimento, como vimos na teoria. Então basta encontrarmos a velocidade para saber como ele está se movendo.

Passo 2

Já vimos que a velocidade do centro de massa pode ser calculado vetorialmente com

v C M = P m A + m B

Sabemos que o momento linear de cada partícula é

  p A = m A v A

p B = m B v B

Então o momento linear do sistema é p

p = p A + p B

p = a i ^ - a j ^ + a i ^ + a j ^

p = 2 a . i ^

Passo 3

Substituindo na fórmula da velocidade do centro de massa

v C M = 2 a m A + m B i ^

Repara que a velocidade do centro de massa só vai ter componente i ^ , que é componente horizontal. Então ele segue na direção x no sentido positivo

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.1

Um disco de massa m 1 = 3,0   k g , inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, sofre uma colisão não-frontal com um segundo disco de massa m 2 = 2,0   k g , movendo-se inicialmente ao longo do eixo x com velocidade escalar constante V 2 i = 2,0   m / s . Após a colisão, o segundo disco passa a ter velocidade escalar V 2 f = 1,0   m / s e sai a um ângulo θ 2 = - 60 ° em relação ao eixo x positivo, veja a figura. Use o sistema de coordenadas fornecido.

a Ache o vetor velocidade do centro de massa dos discos antes da colisão.

b Em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ , determine o vetor velocidade V 1 f do disco 1 após a colisão. Calcule o ângulo θ 1 com que ele emerge.

d Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema após a colisão, explicitamente usando seu resultado da letra b . Compare com o resultado da letra a e discuta.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   Basta utilizar a fórmula para encontrar a velocidade do centro de massa:

V C M = m 1 V 1 i + m 2 V 2 i m 1 + m 2

V C M = 3,0   .   0 + 2,0   .   2,0 i ^ 3,0 + 2,0

V C M = 0,80   i ^   m / s

Passo 2

b   Como o sistema é isolado (não há forças externas atuando e as forças internas são produzidas em par ação-reação, se anulando), a resultante das forças que age sobre o sistema é nulo e desta forma o momento linear total do sistema é conservado.

P a n t e s = P d e p o s i

m 1 . v 1 i + m 2 . v 2 i = m 1 . v 1 f + m 2 . v 2 f

0 + 2,0 . 2,0 i ^ = 3,0 . v 1 f + 2,0 . v 2 f . cos - 60 ° i ^ + v 2 f . sen - 60 ° j ^

3,0 . v 1 f = 4,0 - 2,0 . 1,0 . 1 2 i ^ + - 2,0 . 1,0 . - 3 2 j ^

v 1 f = 1,0 i ^ + 3 3 j ^   m / s

Para encontrar a direção, basta imaginar um triângulo em que o eixo j ^ é o cateto oposto e o eixo i ^ é o cateto adjacente. Temos então um ângulo θ 1 com o eixo i ^ , onde:

tan θ 1 = c a t   o p o s t o c a t   a d j a c e n t e

tan θ 1 = 3 3 1,0

tan θ 1 = 3 3

Logo:

θ 1 = arctan 3 3

θ 1 = 30 °

Passo 3

  d   Podemos utilizar novamente a fórmula:

V C M = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f m 1 + m 2

Entretanto, como falamos antes, o momento linear é conservado, ou seja:

V C M = P M = c o n s t a n t e

Logo, a velocidade do centro de massa é sempre a mesma. Logo o resultado é igual ao da letra a .

V C M = 0,80   i ^   m / s

Você pode substituir os dados na fórmula que vai encontrar a resposta também.

Resposta

(a) V C M = 0,80   i ^   m / s

(b) v 1 f = 1,0 i ^ + 3 3 j ^   m / s ; θ 1 = 30 ° ;

(d) V C M = 0,80   i ^   m / s

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