Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Teoria Completa

Velocidade do Centro de Massa

Imagine o sistema de partículas desenhado na figura abaixo, considere que m 1 , m 2 e m 3 tem o mesmo valor m . Podemos representar todas as partículas do sistema pelo centro de massa:

Digamos que as partículas P 1 ,   P 2 e P 3 tenham as respectivas velocidades: v 1 = 2 m / s , v 2 = 3 m / s e v 3 = 5 m / s , todas na direção x ,   como calcular a velocidade do centro de massa?

Que tal usar uma média ponderada das velocidades dos objetos do sistema, onde o peso da média é a massa de cada objeto.

v → C M = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n m 1 + m 2 + … + m n    

E através da direção e do sentido da Velocidade do Centro de Massa podemos descrever o movimento do Centro de Massa.

Onde v → representa a Velocidade do Centro de Massa de cada objeto do sistema. Assim as partículas mais pesadas tem maior possibilidade de alterar a direção e o sentido do movimento do Centro de Massa. No nosso exemplo todas as partículas tem massa m , então:

v → C M = v → 1 + v → 2 + v → 3 3

E substituindo temos:

v → C M = 2 + 3 + 5 3 = 3,33 m s

Imaginemos agora o mesmo problema porém a velocidade da partícula P 1 aponta para a direção y , como resolver essa parada?

Nesse caso temos que separar as componentes dos vetores nos eixos x, y, e z. Generalizando poderíamos escrever:

v → C M v x C M = m 1 . v 1 x + m 2 . v 2 x + … + m n . v n x m 1 + m 2 + … + m n v y C M = m 1 . v 1 y + m 2 . v 2 y + … + m n . v n y m 1 + m 2 + … + m n v z C M = m 1 . v 1 z + m 2 . v 2 z + … + m n . v n z m 1 + m 2 + … + m n

E pro nosso exercício vai ficar:

v → C M = ( v x C M , v y C M )

E a gente faz o cálculo:

v x C M = ( v 1 x + v 2 x + v 3 x ) 3      

Como temos v 1 x = 0 :

v x C M = 3 + 5 3 = 8 3 m / s

E para y temos apenas a velocidade da primeira partícula atuando já que as outras são zero.

v y C M = ( v 1 y + v 2 y + v 3 y ) 3

Daí:

v y C M = 2 3 m / s

Mas sabemos que o momento linear de uma partícula vale:

p → = m . v →

E de um sistema de partículas:

p → = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n

Podemos então reescrever a equação da velocidade do centro de massa da seguinte forma

v → C M = p → m 1 + m 2 + … + m n

Momento Linear do Centro de Massa

Podemos brincar com a última fórmula e reescrevê-la isolando o Momento Linear, dessa forma podemos calcular o Momento Linear a partir do valor das massas das partículas e da Velocidade do Centro de Masssa do objeto:

p → = m 1 + m 2 + … . v → C M

Em um colisão em que existir a Conservação do Momento Linear, podemos afirmar que a velocidade do centro de massa do sistema irá se manter a mesma:

v → C M 0 = v → C M f = c o n s t a n t e  

Bora fazer um exemplo disso aqui pra entender legal, imagina o seguinte sistema:

As partículas possuem a mesma massa e a azul P 1 tem velocidade v 10 = 1 m / s enquanto que a outra partícula P 2 tem velocidade de v 2 0 = 5 m / s , se após a colisão a velocidade da partícula azul passou a ser v 1 f = 2 m / s   mostre que a velocidade inicial e final do centro de massa é a mesma.

Bom vamos usar primeiro a conservação de momento linear pra encontrar a velocidade final da partícula P 2 e por esse motivo aqui poderemos dizer que a velocidade final do centro de massa tabém será a mesma.

m v 10 + m v 20 = m v 1 f + m v 2 f

Como ambas possuem a mesma massa o problema fica dependendo das velocidades:

v 10 + v 20 - v 1 f = v 2 f

Substituindo os valores:

v 2 f = 5 + 1 - 2 = 4 m / s

A velocidade do centro de massa inicialmente era:

v → C M = ( v 10 + v 20 ) 2

E substituindo os valores:

v → C M 0 = 5 + 1 2 = 3 m / s

E a velocidade final do centro de massa é:

v → C M f = ( v 1 f + v 2 f ) 2

E substituindo os valores:

v → C M f = 4 + 2 2 = 3 m / s

E após as partículas colidirem as velocidades finais e a do centro de massa tem o mesmo sentido da figura e o centro de massa mantém a mesma posição entre as partículas.

Show, vamos dar uma olhadas em uns exercícios!

Exercício Resolvido #1

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

Duas partículas 1 e 2 de massas m 1 = m e m 2 = 4 m movem-se em movimento retilíneo uniforme com velocidades v → 1 = v → / 4 e v → 2 = - v → respectivamente. Num dado instante ocorre uma colisão entre elas totalmente inelástica, pode-se afirmar, sobre a velocidade V → c m do centro de massa das partículas que:

a   Depois da colisão V → c m = 0 → ;

b   Antes da colisão V → c m = 1 4 v → ;

c   Depois da colisão V → c m = - 3 4 v → ;

d   Antes da colisão V → c m = 0 → e depois da colisão V → c m = - v → ;

e   Depois da colisão V → c m = 3 4 v → ;

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Passo 1

Vimos que a velocidade do centro de massa V → C M pode ser escrita como

V → C M = p → m 1 + m 2

Desta forma como ocorre uma colisão temos que há conservação de momento linear

p → 0 = p → f

Assim temos que em uma colisão a velocidade do centro de massa irá se conservar e por isso

V → C M 0 = V → C M f

Sabendo disso já elimiamos a alternativa d

Passo 2

Agora basta calcula a velocidade do centro de massa inicial para acharmos a resposta.

As velocidades estão na forma vetorial, então vamos usar a fórmula da velocidade do centro de massa na forma vetorial.

V → C M 0 = m 1 ⋅ v → 1 + m 2 ⋅ v → 2 m 1 + m 2

Então

V → C M 0 = m ⋅ v → / 4 + 4 m ⋅ - v → m + 4 m

V → C M 0 = - 3 4 v →

Como a velocidade não muda temos que

V → C M f = - 3 4 v →

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.2

A figura mostra dois veículos que colidem de modo totalmente inelástico num cruzamento 90 ° . A velocidade dos escombros conjuntos tem valor v f = 16,0   m / s imediatamente após a colisão e direção que faz 24 ° com o eixo y . O veículo 1 , que vinha no eixo x da figura, tem massa m 1 = 950   k g , e o veículo 2 tem massa m 2 = 1900   k g . Considere o sistema isolado durante a colisão.

a Forneça o vetor momento linear do centro de massa do sistema imediatamente depois da colisão, P → C M f , e imediatamente antes da colisão, P → C M i . Justifique.

b   Qual a velocidade escalar de cada veículo antes da colisão?

c Forneça o vetor força que atuou sobre o veículo 1 , F → 1 , sabendo que a colisão teve duraçãoo de 0,20   s .

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Passo 1

Quando estamos lidando com uma colisão totalmente inelástica, devemos lembrar que nesse tipo de colisão, os objetos envolvidos tem a mesma velocidade final, ou seja, eles saem juntos.

a   Para calcular o vetor momento dos corpos depois da colisão, devemos primeiro lembrar da sua definição:

P → C M = m C M . v → C M

Depois da colisão, pelo fato de os carros terem a mesma velocidade, temos:

P → C M = m 1 + m 2 . v → f

Para determinar o vetor momento em relação aos eixos, vamos decompor ele em suas componentes x e y .

Em x , temos:

P → C M x f = m 1 + m 2 . v f . sen ⁡ 24 ° ( i ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M x f = 950 + 1900 . 16 .   0,407   ( i ^ )

P → C M x f = 18.559   i ^   k g . m / s

Em y , temos:

P → C M y f = m 1 + m 2 . v f . cos ⁡ 24 °   ( j ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M y f = 950 + 1900 . 16 .   0,914   ( j ^ )

P → C M y f = 41.678   j ^   k g . m / s

Portanto, o vetor momento depois da colisão é:

P → C M f = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Por se tratar de um sistema isolado, onde forças externas não estão atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear, desse modo o vetor momento do sistema antes da colisão será igual ao vetor momento linear depois da colisão:

P → C M f = P → C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Passo 2

b   Pelo fato de os carros estarem posicionados conforme mostra a figura, percebemos, que antes da colisão, a componente x do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 1 , que vinha no eixo x .

Analogamente a componente y do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 2 , que vinha no eixo y . Com isso em mente, temos:

Para o veículo 1 :

P C M i x = m 1 . v 1

Substituindo os valores, temos:

18.559 = 950 . v 1

v 1 = 19,5   m / s

Para o veículo 2 :

P C M i y = m 2 . v 2

Substituindo os valores, temos:

41.678 = 1900 . v 2

v 2 = 21,9   m / s

Passo 3

c

Para determinar a força que atuou sobre o veículo 1 , precisamos lembrar do teorema Força-Impulso, ele nos diz:

F → = I → Δ t = Δ P → Δ t

Como temos a velocidade do veículo 1 antes v → 1 e depois da colisão v → f , podemos achar a força

F → 1 = Δ P → Δ t = m 1 . v → f - v → 1 Δ t

Substituindo os valores, temos:

F → 1 = 950 . v f . sen ⁡ 24 ° i ^ + v f . cos ⁡ 24 ° j ^ - v 1 ( i ^ ) Δ t

Veja que estamos decompondo a velocidade final, pois queremos descobrir o vetor força, e a melhor maneira é determinar as componentes em separado.

F → 1 = 950 . 16,0 . sen ⁡ 24 ° i ^ + 16,0 . cos ⁡ 24 ° j ^ - 19,5 ( i ^ ) 0,20

F → 1 = 950 - 12,99 i ^ + 14,62 j ^ 0,20

F → 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

Resposta

a P → C M f = P → C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

b v 1 = 19,5   m / s ; v 2 = 21,9   m / s

c F → 1 = 61.702 - i ^ + 69.429   j ^   N

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 2ª Prova – 2008.2

Um disco de borracha de 0,500   k g se movimenta inicialmente com vetor velocidade v 1 sobre uma superfície horizontal sem atrito e sofre uma colisão com um disco de borracha de 0,300   k g movendo-se inicialmente com vetor velocidade v 2 . Considere as seguintes situações:

a Se o vetor velocidade v 1 = 3,00   i   ( m / s ) e o vetor velocidade do centro de massa v C M = 1,00   i + 3,00   j m / s , calcule o vetor velocidade v 2 .

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Passo 1

a   O problema envolve um colisão e nos dá a velocidade inicial de uma partícula e a velocidade do centro de massa, isso nos faz pensar em relacionar a velocidade do centro de massa com o momento linear do sistema.

Seria tão bom se tivéssemos uma fórmula para isso. OPA! Nós temos hahaha

V → C M = P → m 1 + m 2

Show, vamos continuar! :D

Passo 2

Vamos abrir o momento

v C M = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 ,

sendo m 1 e m 2 a massa dos discos de borracha, um de 0,5   k g e outro de 0,3   k g .

E como v 1 = 3 i , vamos ter

v C M = 0,5 ⋅ 3 i + 0,3 ⋅ v 2 0,5 + 0,3

⇒ v C M = 1,5 i + 0,3 v 2 0,8

Passo 3

Passando isso pra frações que é melhor, dá:

v C M = 3 2 i + 3 10 v 2 4 5

⇒ v C M = 3 2 ∙ 5 4 i + 3 10 ∙ 5 4 v 2

⇒ v C M = 15 8 i + 3 8 v 2

Passo 4

Separando v 2 da forma v 2 = v 2 x i + v 2 y j , isso dá:

v C M = 15 8 i + 3 8 v 2 x i + 3 8 v 2 y j

⇒ v C M = 15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j

Passo 5

E pelo enunciado,

v C M = 1 i + 3 j

Ou seja:

1 i + 3 j = 15 + 3 v 2 x 8 i + 3 v 2 y 8 j

Portanto, vamos ter

15 + 3 v 2 x 8 = 1 3 v 2 y 8 = 3

A primeira equação fica:

15 + 3 v 2 x = 8

⇒ 3 v 2 x = - 7

⇒ v 2 x = - 7 3

E pela segunda equação:

v 2 y 8 = 1

⇒ v 2 y = 8

Portanto,

v 2 = - 7 3 i + 8 j ≈ - 2,33 i + 8 j

Resposta

a   v 2 = - 7 3 i + 8 j ≈ - 2,33 i + 8 j

Exercício Resolvido #4

UFRJ – 2ª Prova – 2012.2

Um bloco A deslocando-se com momento linear p → A = a i ^ - a j ^ , colide com um bloco B de momento linear p → B = a i ^ + a j ^ , onde a é constante. Suponha que não há força externa. Após a colisão o centro de massa do sistema segue, de acordo com o sistema de coordenadas ortogonais X Y Z e os respectivos vetories unitários i ^ , j ^ e k ^ :

a   na direção x e sentido negativo;

b   na direção y e sentido negativo;

c   na direção x e sentido positivo;

d   na direção y e sentido positivo;

e   em uma direção formando um ângulo π 4 com os eixos O X e O Y .

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Passo 1

Como não temos forças externas o momento linear irá se conservar durante a colisão. Assim pela equação da velocidade do centro de massa

V → C M = P → m 1 + m 2

Vemos que a velocidade do centro de massa não se altera e assim o centro de massa mantem seu movimento, como vimos na teoria. Então basta encontrarmos a velocidade para saber como ele está se movendo.

Passo 2

Já vimos que a velocidade do centro de massa pode ser calculado vetorialmente com

v → C M = P → m A + m B

Sabemos que o momento linear de cada partícula é

  p → A = m A ⋅ v → A

p → B = m B ⋅ v → B

Então o momento linear do sistema é p →

p → = p → A + p → B

p → = a i ^ - a j ^ + a i ^ + a j ^

p → = 2 a . i ^

Passo 3

Substituindo na fórmula da velocidade do centro de massa

v → C M = 2 a m A + m B i ^

Repara que a velocidade do centro de massa só vai ter componente i ^ , que é componente horizontal. Então ele segue na direção x no sentido positivo

Resposta

Letra c