Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

Teoria Completa

Velocidade do Centro de Massa

Imagine o sistema de partículas desenhado na figura abaixo, considere que m 1 , m 2 e m 3 tem o mesmo valo m . Podemos representar todas as partículas do sistema pelo centro de massa:

E através da direção e do sentido da Velocidade do Centro de Massa podemos descrever o movimento do Centro de Massa.

Mas como podemos calcular o valor dessa Velocidade? Que tal usar uma média ponderada das velocidades dos objetos do sistema, onde o peso da média é a massa de cada objeto.

v → C M = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n m 1 + m 2 + … + m n    

Onde v → representa a Velocidade do Centro de Massa de cada objeto do sistema. Assim as partículas mais pesadas tem maior possibilidade de alterar a direção e o sentido do movimento do Centro de Massa. No nosso exemplo todas as partículas tem massa m , então:

v → C M = v → 1 + v → 2 + v → 3 3

Só temos que tomar cuidado porque estamos falando de uma equação vetorial, então dependendo do exercício talvez tivéssemos que separar as componentes dos vetores nos eixos x, y, e z. Generalizando poderíamos escrever:

v → C M v x C M = m 1 . v 1 x + m 2 . v 2 x + … + m n . v n x m 1 + m 2 + … + m n v y C M = m 1 . v 1 y + m 2 . v 2 y + … + m n . v n y m 1 + m 2 + … + m n v z C M = m 1 . v 1 z + m 2 . v 2 z + … + m n . v n z m 1 + m 2 + … + m n

Mas sabemos que o momento linear de uma partícula vale:

p → = m . v →

E de um sistema de partículas:

p → = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + … + m n . v → n

Podemos então reescrever a equação da velocidade do centro de massa da seguinte forma

v → C M = p → m 1 + m 2 + … + m n

Momento Linear do Centro de Massa

Podemos brincar com a última fórmula e reescrevê-la isolando o Momento Linear, dessa forma podemos calcular o Momento Linear a partir do valor das massas das partículas e da Velocidade do Centro de Masssa do objeto:

p → = m 1 + m 2 + … . v → C M

Em um colisão em que existir a Conservação do Momento Linear, podemos afirmar que a velocidade do centro de massa do sistema irá se manter a mesma:

v → C M 0 = v → C M f = c o n s t a n t e  

Show, vamos dar uma olhadas em uns exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

Duas partículas 1 e 2 de massas m 1 = m e m 2 = 4 m movem-se em movimento retilíneo uniforme com velocidades v → 1 = v → / 4 e v → 2 = - v → respectivamente. Num dado instante ocorre uma colisão entre elas totalmente inelástica, pode-se afirmar, sobre a velocidade V → c m do centro de massa das partículas que:

a   Depois da colisão V → c m = 0 → ;

b   Antes da colisão V → c m = 1 4 v → ;

c   Depois da colisão V → c m = - 3 4 v → ;

d   Antes da colisão V → c m = 0 → e depois da colisão V → c m = - v → ;

e   Depois da colisão V → c m = 3 4 v → ;

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Passo 1

Vimos que a velocidade do centro de massa V → C M pode ser escrita como

V → C M = p → m 1 + m 2

Desta forma como ocorre uma colisão temos que há conservação de momento linear

p → 0 = p → f

Assim temos que em uma colisão a velocidade do centro de massa irá se conservar e por isso

V → C M 0 = V → C M f

Sabendo disso já elimiamos a alternativa d

Passo 2

Agora basta calcula a velocidade do centro de massa inicial para acharmos a resposta.

As velocidades estão na forma vetorial, então vamos usar a fórmula da velocidade do centro de massa na forma vetorial.

V → C M 0 = m 1 ⋅ v → 1 + m 2 ⋅ v → 2 m 1 + m 2

Então

V → C M 0 = m ⋅ v → / 4 + 4 m ⋅ - v → m + 4 m

V → C M 0 = - 3 4 v →

Como a velocidade não muda temos que

V → C M f = - 3 4 v →

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO – 2ª Prova – 2013.2

A figura mostra dois veículos que colidem de modo totalmente inelástico num cruzamento 90 ° . A velocidade dos escombros conjuntos tem valor v f = 16,0   m / s imediatamente após a colisão e direção que faz 24 ° com o eixo y . O veículo 1 , que vinha no eixo x da figura, tem massa m 1 = 950   k g , e o veículo 2 tem massa m 2 = 1900   k g . Considere o sistema isolado durante a colisão.

a Forneça o vetor momento linear do centro de massa do sistema imediatamente depois da colisão, P → C M f , e imediatamente antes da colisão, P → C M i . Justifique.

b   Qual a velocidade escalar de cada veículo antes da colisão?

c Forneça o vetor força que atuou sobre o veículo 1 , F → 1 , sabendo que a colisão teve duraçãoo de 0,20   s .

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Passo 1

Quando estamos lidando com uma colisão totalmente inelástica, devemos lembrar que nesse tipo de colisão, os objetos envolvidos tem a mesma velocidade final, ou seja, eles saem juntos.

a   Para calcular o vetor momento dos corpos depois da colisão, devemos primeiro lembrar da sua definição:

P → C M = m C M . v → C M

Depois da colisão, pelo fato de os carros terem a mesma velocidade, temos:

P → C M = m 1 + m 2 . v → f

Para determinar o vetor momento em relação aos eixos, vamos decompor ele em suas componentes x e y .

Em x , temos:

P → C M x f = m 1 + m 2 . v f . sen ⁡ 24 ° ( i ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M x f = 950 + 1900 . 16 .   0,407   ( i ^ )

P → C M x f = 18.559   i ^   k g . m / s

Em y , temos:

P → C M y f = m 1 + m 2 . v f . cos ⁡ 24 °   ( j ^ )

Substituindo os valores, temos:

P → C M y f = 950 + 1900 . 16 .   0,914   ( j ^ )

P → C M y f = 41.678   j ^   k g . m / s

Portanto, o vetor momento depois da colisão é:

P → C M f = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Por se tratar de um sistema isolado, onde forças externas não estão atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear, desse modo o vetor momento do sistema antes da colisão será igual ao vetor momento linear depois da colisão:

P → C M f = P → C M i = 18.559   i ^ + 41.678   j ^     k g . m / s

Passo 2

b   Pelo fato de os carros estarem posicionados conforme mostra a figura, percebemos, que antes da colisão, a componente x do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 1 , que vinha no eixo x .

Analogamente a componente y do vetor momento linear é devida exclusivamente ao veículo 2 , que vinha no eixo y . Com isso em mente, temos:

Para o veículo 1 :

P C M i x = m 1 . v 1

Substituindo os valores, temos:

18.559 = 950 . v 1

v 1 = 19,5   m / s

Para o veículo 2 :

P C M i y = m 2 . v 2

Substituindo os valores, temos:

41.678 = 1900 . v 2

v 2 = 21,9   m / s