Conservação do Momento Linear com Massa Variável

Resumo Completo

Momento Linear diferencial

Vimos que a fórmula de momento linear é

p = m . v  

Mas essa fómula só pode ser usada quando temos massa e velocidade constantes, o problema é que na realidade dificilmente temos algo constante. Então vamos derivar essa equação dos dois lados para obtemos

d p d t = d ( m . v ) d t

Pela regra da derivada do produto temos que

d p d t = d m d t . v 0 + m 0 . d v d t

Como a derivada da velocidade no tempo é aceleração, podemos reescrever a equação acima

d p d t = d m d t . v 0 + m 0 . a

E ainda, se for um problema onde não há ação de forças externas, ou seja, o momento liner vai se conservar, então temos que

d p d t = 0  

Assim

m 0 . a = - d m d t . v 0  

Podemos isolar a aceleração e obter a equação para acelerar um sistema é

a = - v 0 m 0 . d m d t

Então quando tiver problema onde o momento linear do sistema se conservar e houver variação de massa e aceleração do sistema, já sabe que fórmula usar.

Impulso quando a massa varia

Temos que o impulso I é dado por

I = F . d t = d p

Lembrando que a derivada pode ser lida como uma variação infinitesimal

Então temos que

F = d p d t

Se a velocidade é constante e a massa está variando temos que

F = d m d t . v + 0

F = v . d m d t

Vale lembrar que taxa de variação de algo é igual a dizer a derivada de algo. Então leu isso, pode ficar ligado.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 280–58

Um foguete é lançado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. Sabendo que a massa inicial do foguete é igual a 6000   k g e que ele emite um gás cuja velocidade em relação ao foguete possui módulo igual a 2000   m / s ,   qual é a quantidade de gás expelida no primeiro segundo para que sua aceleração seja igual a 25,0   m / s 2 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos um foguete no espaço sideral que ejeta gás (perde massa) para acelerar. Disso podemos observar que:

  • O momento linear do sistema se conserva (nã há ação de forças externas);
  • A massa do sistema está variando (ejeta o gás);
  • A velocidade está variando (pois há uma aceleração);

O problema ainda nos deu as seguintes informações

m 0 = 6000   k g v 0 = - 2000   m / s a = 25,0   m / s 2

Opaa,opaa! A velocidade que o problema deu foi a velocidade do gás, não a velocidade inicial do foguete?!?!?! Se você observar bem ele deu a velocidade do gás em relação ao foguete, logo se pensarmos que o gás ta parado temos que a velocidade do foguete em relação ao gás é v 0 = - 2000   m / s

Passo 2

Como vimos na teoria, temos uma fórmula já pornta para essse tipo de problema. Mas você poderia chegar nela se derivação a equação de momento linear. Como já fizemos isso na teoria, vamos apenas aplica-la

a = - v 0 m 0 . d m d t

Substituindo os dados que já temos chegamos em

25 = 2000 6000 . d m d t

d m d t = 75   k g / s

Como a unidade já fala a massa vai variar 75   k g a cada segundo então temos que a quantidade de gá expelida no primeiro segundo é 75   k g

Resposta

75   k g   de gás foi expelida no primeiro segundo

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 280–59

Um foguete é disparado no espaço sideral, onde a gravidade é desprezível. No primeiro segundo ele emite 1 160 da sua massa como gás de expansão e possui uma aceleração igual a 15,0   m / s 2 . Qual é o módulo da velocidade do gás de expansão em relação ao foguete?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos um foguete no espaço sideral que perdendo massa, pois emite um gás para acelerar. Como não há ação de forças externas, temos que o momento linear vai se conservar. Assim vemos que é um exercício onde podemos aplicar a fórmula

a = - v 0 m 0 . d m d t

O problema nos deu a aceleração no primeiro segundo e nos disse em quanto variou a massa nesse primeiro segundo.

Como o problema nos dá todos os dados para um intervalo de tempo definido 1   s   podemos dizer que

Δ m Δ t = d m d t = m 0 160

Passo 2

Então podemos substituir na equação

15 = - v 0 m 0 . m 0 160

v 0 = - 2400   m / s

Assim o módulo da velocidade do gás em relação ao foguete é

v = 2400   m / s

Resposta

v = 2400   m / s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

USP – 2ª Prova - 2011

Um trem é carregado com areia ao passar sob uma ponte. A areia é despejada nos vagões à taxa de 500kg por segundo. Como a areia é despejada verticalmente de uma altura de vários metros, ao atingir a caçamba do vagão, a velocidade dos grãos de areia é de cerca de 14m/s. A massa do vagão vazio é de 2.000kg, e é preenchido

com 6.000kg de areia ao passar sob a ponte.

a   Desprezando-se as perdas por atrito com os trilhos, determine a força que a locomotiva precisa fazer para puxar o trem a uma velocidade constante de 0,5m/s e a potência necessária para manter o movimento. Note que como o sistema não pode ser considerado como uma partícula não é conveniente a utilização do teorema trabalho-energia cinética.

b   Determine a força suportada pelo trecho de trilhos sob um vagão quando este estiver 50% preenchido de areia. Suponha que o trecho de trilhos em questão suporta somente este vagão neste momento.

c   Se a locomotiva desengatar do primeiro vagão quantos segundos se passarão até que o restante do trem reduza sua velocidade à metade da inicial? Suponha que a massa do restante do trem (incluindo a areia) seja de 10.000kg no instante do desengate.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Essa questão envolve alguns conceitos legais de impulso e variação do momento linear.

O autor nos forneceu os seguinte dados:

v g r ã o = 14   m / s m v a g ã o = 2000 k g m a r e i a = 3000 k g v t r e m = 0,5   m / s

Passo 2

a   Para determinar a força, como a massa é variável, não podemos utilizar a 2ª Lei de Newton! Mas daí hei que surge o impulso! :D

Pelo Teorema do Impulso, temos que:

I = p

Ou melhor:

F . d t = d p

Passando o dt para o outro lado, teremos:

F = d p d t

Passo 3

Sabemos que p = m v , porém como a massa é variável e a velocidade constante podemos escrever a seguinte relação:

d p = v t r e m . d m

E assim...

F = v t r e m . d m d t

Mas quem seria o d m d t ?

A derivada da massa em relação ao tempo, ou seja, taxa de variação da massa, algo que tenha unidade kg/s ou algo do tipo!

Eureka! Lá no enunciado ele nos diz que os carrinhos são abastecidos com 500kg/s de areia, o que seria justamente essa variação!

Calculando de vez agora, temos que:

F = 0,5.500 = 250 N

Passo 4

Agora pra acabar esse item a) só falta calcular a potência necessária! Lembra da potência? A fórmula dela é

P = Δ E Δ t

Mas tem outra equaçãozinha muito boa també que é

P = F v

Como já temos a força e a velocidade é só substituir e correr pro abraço!

P = 250 × 0,5

P = 125   W

Passo 5

b   Para ver a força que esta parte do trilho suporta, devemos primeiro ver o que esse trilho suporta. Claro, tem o peso do trem+areia.

Como o peso é calculado por P = m g , a gente vai só somar a massa e multiplicar pela gravidade, que nesse caso é 10 m / s ² .

P = 2000 + 6000 2 . 10 = 5000.10 = 50.000 N

Passo 6

Mas e aí, só?

Que nada! Existe também uma força que o trilho faz nos grãos de areia para fazerem eles frearem. Essa força pode ser calculada também por impulso, na forma:

F . d t = d m . v g r ã o

F = d m d t . v g r ã o

F = 500.14 = 7000 N

Passo 7

Somando tudo agora, teremos que:

F t r i l h o = 50.000 N + 7.000 N = 57.000 N

Passo 8

c   Lá no “Passo 3” a gente viu que a variação de massa por tempo a gente chamava

C = d m d t

Passando o d t para o lado esquerdo, teremos:

C . d t = d m

Integrando de ambos os lados, a gente vai encontrar...

C d t = d m

t = m C

Ou seja, esse tempo só dependerá da variação da massa de areia .

Passo 9

Mas como achar esse m ?

Pela conservação do momento linear, sabemos que antes tínhamos um trem com velocidade v t r e m e depois, ao encher de areia sua velocidade diminui para v t r e m 2 . Assim, teremos que:

m 0 . v t r e m = m 0 + m . v t r e m 2

2 m 0 = m 0 + m

m 0 = m

Como m 0 = 10.000 k g ,

m = 10.000 k g

E assim...

t = m C = 10.000 500

Δ t = 20 s

Resposta

a   F = 250 N

b   F t r i l h o = 57 k N

c   t = 20 s

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