Conservação do Momento Linear

Resumo Completo

Introdução

Já estudamos que momento linear é dado por:

p = m . v  

E que o impulso é dado por:

I = Δ p

Mas o que acontece quando a variação de momento linear é zero?

Ora bolas, vamos ter que o Impulso é zero e assim o momento linear inicial é igual ao momento linear final.

Maaaas e ae? Não parece ser nada muito importante isso, né?!

Mas é sim!! Quando a variação for igual a zero, vamos dizer que o momento linear se conserva.

Você vai ver que em muitos problemas isso será importantíssimo para resolvermos a questão.

Conservação do Momento Linear

O momento linear de um sistema é conservado se o momento linear inicial for igual ao momento linear final:

p s i s t e m a 0 = p s i s t e m a f

E isso vai acontecer nos seguintes casos:

  1. Quando o somatório de forças externas ao sistema for nulo.
  2. Em choques entre partículas, se o problema não falar nada, nada mesmo, sobre impulso ou força e tempo de contato entre as partículas;
  3. Ex: Se duas bolas se chocam

    m 1 . v 1 0 + m 2 . v 2 0 = m 1 . v 1 f + m 2 . v 2 f

  4. Em explosões. A explosão pode ser considerado um caso especial onde não há forças externas, mas o objeto decidiu se separar por livre e espontânea vontade haha. Então o momento linear também irá se conservar, e não só ele, a massa do sistema também.

M = m 1 + m 2 +

M . v 0 = m 1 . v 1 + m 2 . v 2 +

Independência dos eixos

Mas se você não está feliz em trabalhar com vetores, seus problemas acabaram!

Bem, você pode abrir mão de trabalhar com vetores, separar os eixos e dizer que:

p x A n t e s = p x D e p o i s p y A n t e s = p y D e p o i s p z A n t e s = p z D e p o i s  

Assim em um problema vetorial que teríamos:

m . A . i ^ + B . j ^ = M C . i ^ + D . j ^  

Você teria:

e i x o   x   m . A = M . C

e i x o   y     m . B = M . D

Algo interessante na independência dos eixos é que pode haver casos que o momento se conserva em um eixo, mas não se conserva em outro. Por exemplo quando o vetor impulso I tem apenas uma componente, nessa componente não haverá conservação de momento linear.

Observações finais

O seu querido professor vai querer complicar a nossa vida e, para isso, vai querer que a gente use, além da conservação do momento linear, a conservação de energia mecânica (nos casos em que não houver ação de forças dissipativas).

E M 0 = E M f

Ou seja:

U e l 0 + U p 0 + K 0 = U e l f + U p f   + K f

Outro assunto que os professores gostam de relembrar é Teorema trabalho-energia cinética:

W = Δ K

Vale lembrar ainda que:

W = F . Δ S . cos θ

É isso, galera! Simbora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253-16

Você está em pé sobre uma camada de gelo de um estádio de futebol em um país frio: despreze o atrito entre seus pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 0,400 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10,0   m / s . Sua massa é igual a 70,0   k g . a   Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir? b Se a bola colide com você e rebate em seu peito, passando a adquirir uma velocidade horizontal de 8,0   m / s em sentido oposto ao inicial, com que velocidade você se desloca após a colisão?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O Sistema tratado no problema é a bola e você, onde

E s t a d o   i n i c i a l v b o l a 0 = 10   m / s m b o l a = 0,4   k g v v o c ê 0   = 0   m v o c ê = 70   k g

O problema faz questão de nos pedir para ignorar o atrito, e isso nos permite dizer que não a ação de forças externas no sistema, logo o momento liner do sistema vai se conservar.

Passo 2

a   Você agarrou a bola, qual a velocidade final sua? Pela conservação d emomento podemos dizer que

p a n t e s = p d e p o i s

O momento linear inicial é

p a n t e s = m b o l a . v b o l a 0 + m v o c ê . v v o c ê 0

p a n t e s = 0,4   .   10 + 70   .   0

p a n t e s = 4   k g . m / s

Passo 3

O momento linear final é

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

Como você agarrou a bola, isso significa que vocês estão juntos, logo com a mesma velocidade final

p d e p o i s = m b o l a + m v o c ê . v v o c ê f

p d e p o i s = 70,4   . v v o c ê f

Passo 4

Aplicando a conservação de momento linear temos

4 = 70,4   .   v v o c ê f

v v o c ê f = 0,057   m / s

Achou estranho uma velocidade tão baixa? Relaxa, que está certo, como sua massa é muito superior a massa da bola para os momentos serem iguais a velocidade sua e da bola tem que ser bem pequena mesmo.

Passo 5

b   Isso nada mais é que o choque de dois objetos, certo? Então o momento linear conserva.

O momento inicial já temos

p a n t e s = 4   k g . m / s

O momento final que vai mudar, pois agora a bola rebate e volta com módulo e sinal da velocidade diferente

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

A velocidade final da bola é

v b o l a f = - 8   m / s  

É negativa por ser no sentido contrário a velocidade inicial.

Então,

p d e p o i s = 0,4 .   - 8 + 70   .   v v o c ê f

Aplicando a conservação de momento linear, temos que

4 = - 3,2 + 70 . v v o c ê f

v v o c ê f   = 7,2 70

v v o c ê f 0,103   m / s  

Resposta

a   v v o c ê f = 0,057   m / s

b v v o c ê f 0,103   m / s  

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2

Um carrinho de massa M = 3,0   k g move-se em linha reta sobre um piso horizontal sem atrito com velocidade de V C 0 = 9,0   i   m / s . Sobre o carrinho encontra-se fixada na posição horizontal, uma mola que é comprimida por um bloco de massa m = 1,0   k g . Inicialmente, o bloco se encontra preso ao carrinho por um fio comprimindo a mola. Em certo instante, o fio se rompe e a mola empurra o bloco para fora do carrinho, projetando-o com uma velocidade de V B f = - 6,0   i   m / s em relação ao piso. Uma vez livre do bloco, qual a nova velocidade do carrinho?

a   6   m / s

b   8   m / s

c   10   m / s

d   12   m / s

e   14   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Não há forças externas aplicadas na direção do movimento do sistema e as forças internas relacionadas entre o bloco e o carrinho são produzidas em pares ação e reação, se anulando mutuamente, ocorrendo assim conservação do momento linear total do sistema.

P a n t e s = P d e p o i s

m . V B 0 + M . V C 0 = m . V B f + M . V C f

1   .   9 + 3   .   9 = 1 . - 6 + 3   .   V C f

V C f = 14   m / s

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.2- letra b- Modificado

Vamos supor que duas partículas A e B colidem bidimensionalmente. Seja a partícula A de massa 1,0   k g e a partícula B de massa 3,0   k g . As posições das partículas num certo instante t 1 antes da colisão são dadas por R A = 1,0   i ^ + 3,0   j ^   m e R B = 5,0   i ^ - 1,0   j ^   m . O tempo de duração da colisão é de 15   m s .

b   Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,5   i ^ + 6,0   j ^ )   m / s e v B = ( - 3,0   i ^ + 2,5   j ^ )   m / s , e que no fim da colisão a componente x da velocidade de A é igual a 4,0   m / s e a componente y da velocidade de B é 3,0   m / s . Escreva os vetores velocidade de ambas as partículas no fim da colisão.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

b   Pela conservação do momento linear no início e no fim da colisão:

m A v A + m B v B = m A V A + m B V B

Onde v A = 2,5 i ^ + 6 j ^ e v B = - 3 i ^ + 2,5 j ^ e V A x = 4 e V B y = 3 . Então:

2,5 i ^ + 6 j ^ - 9 i ^ + 7,5 j ^ = 4 i ^ + V A y j ^ + 3 V B x i ^ + 9 j ^

Como podemos separar a equação da conservação de momento linear por eixos temos

e i x o   x   2,5 - 9 = 4 + 3 V B x

e i x o   y 6 + 7,5 = V A y + 9

V B X = - 10,5 3   m / s V A Y = 4,5   m / s

Assim:

V A = 4 i ^ + 4,5 j ^   m / s

E

V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

Resposta

b   V A = 4 i ^ + 4,5 j ^   m / s ;                   V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF – 2ª Prova – 2014.1

Dois automóveis viajam em duas estradas perpendiculares entre si, colidem e ficam juntos após a colisão. O carro A tem massa de 1200   k g e tinha velocidade de 25   m / s antes da colisão. O carro B tem massa de 1600   k g . As marcas de derrapagem dos carros juntos, imediatamente após a colisão fazem um ângulo de 30 ° com a direção inicial do carro A . Qual era a velocidade do carro B antes da colisão?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para determinar a velocidade do carro B antes da colisão, iremos utilizar a conservação do momento linear, por se tratar de uma colisão em duas dimensões, iremos conservar cada componente do momento linear separadamente, começando pelo eixo x .

  • Para o eixo x :
  • m A . v A 0 = m A + m B . v f . cos 30 °

    1200 .   25 = 1200 + 1600 . v f . cos 30 °

    v f = 12,37   m / s

  • Para o eixo y :

m B . v B 0 = m A + m B . v f . sen 30 °

1600 . v B 0 = 1200 + 1600 . 12,37 . sen 30 °

v B 0 11   m / s

Resposta

v B i 11   m / s

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Uma nave viaja no espaço com vetor velocidade V N relativa a um observador, contendo uma carga. A massa total do sistema é M . Em certo momento a nave libera a carga (massa m p ) com vetor velocidade V p relativa ao mesmo observador. Encontre uma expressão para o novo vetor velocidade da nave V f se Σ   F e x t = 0 durante a liberação da carga.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Já que não há forças externas atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear total! O momento linear do sistema é igual antes e depois da nave soltar a carga:

p a n t e s = p d e p o i s

Passo 2

No começo a nave e sua carga estão juntas, tendo uma massa total M e andando com uma velocidade V N . Então o momento linear total é

p a n t e s = M V N

Passo 3

Depois da nave soltar a carga, o sistema passa a ter 2 partículas, a nave de massa M - m p e andando a uma velocidade V f e a carga de massa m p a uma velocidade V p , então

p d e p o i s = M - m p V f + m p V p

Passo 4

Aplicando a conservação do momento linear total:

p a n t e s = p d e p o i s

M V N = M - m p V f + m p V p

M V N - m p V p = M - m p V f

V f = M V N - m p V p M - m p

Pronto, é só isso! :)

Resposta

V f = M V N - m p V p M - m p

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Uma partícula de momento p i , projétil, colide não frontalmente, isto é, colide bidimensionalmente, com uma outra partícula, inicialmente em repouso, que chamamos de alvo. Após a colisão o projétil tem momento p f e o alvo sai com momento k . A conservação do momento linear, neste processo é corretamente representado pelo diagrama:

a   1

b   2

c   3

d   4  

e   Nenhum diagrama está correto

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O momento linear nesse problema é conservado e fica escrito como

p i = p f + k

Vamos considerar que o momento linear p i só tem componente horizontal, como está desenhado em todos os diagramas.

Os vetores p f e k tem componentes verticais, mas eles são contrários já que a soma das suas componentes deve ser zero. Isso exclui o diagrama 2 e o diagrama 3

Passo 2

Além disso a soma das suas componentes horizontais deve ser igual a componente horizontal de p i .

Somando p f e k como indicado nos diagramas vamos ter

A componente horizontal da soma vai ser para direita, então o momento linear p i também deve ser para direita.

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253

O bloco A indicado na figura abaixo possui massa igual a 1,00   k g , e o bloco B possui massa igual a 3,00   k g . Os dois blocos se aproximam, comprimindo a mola S entre eles; a seguir o sistema é libertado a partir do repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. A mola possui massa desprezível, não está presa a nenhum dos blocos e cai sobre a mesa depois que ela se expande. O bloco B adquire uma velocidade de 1,20   m / s . a Qual a velocidade final do bloco A ? b Qual foi a energia potencial armazenada na mola comprimida?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nesse exercício vamos considerar o sistema como os dois blocos e a mola.

Quando eles comprimem a mola, a força elástica vai ser igual nos dois blocos, tendo resultante zero.E como não há ação de forças externas no sistema, isso quer dizer que o momento linear do sistema se conserva

p 0 = p f

Diferente do normal eu escrevi sem ser na forma vetorial, repara que só vamos ter movimento ao longo da horizontal então o movimento é unidimensional, não preciso usar vetores.

Passo 2

a   Vamos considerar o momento onde a mola está comprimida ao máximo(momento inicial), e depois o momento que os blocos descolam da mola (momento final).

v A 0 = 0 v B 0 = 0 v B f = 1,2   m / s

Vamos considerar o sentido positivo do eixo x sendo da esquerda para direita, assim v B f é positivo.

Temos que o momento inicial é zero

p 0 = 0   k g m / s

Passo 3

Como o momento se conserva temos que o momento final também deve ser zero

p f = 0

Vamos então calcular o momento linear final

p f = m B v B + m A v A

p f = 3 1,2 + 1 v A

p f = 3,6 + v A

Como sabemos que o momento linear final é zero, temos

0 = 3,6 + v A

v A = - 3,6   m / s

Passo 4

b   Como não temos forças dissipativas atuando, como o atrito, a energia mecânica do sistema se conserva

E m 0 = E m f

Como no inicio temos só a mola comprimida

E m 0 = U e l

E no final temos a mola relaxada e os blocos em movimento

E m f = K A + K B

E m f = m A v A 2 2 + m B v B 2 2 = 1 - 3,6 2 2 + 3 1,2 2 2

E m f = 8,64   J

Passo 5

Sendo assim

U e l = E m f

U e l = 8,64   J

Resposta

a   v A = - 3,6   m / s

b   U e l = 8,64   J

Exercício Resolvido #8

Enunciado

USP-2015

Um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços que entram em regiões com atrito onde terminam parando. O primeiro pedaço possui massa de 2 kg se move para a esquerda até parar após percorrer uma distância de 0, 15 m. O segundo pedaço se move para a direita e pára após percorrer uma distância de 0, 25 m. Sabendo que os coeficientes de atrito nas duas regiões são iguais, a massa total do bloco vale aproximadamente:

a   M   =   4 ,   6   k g

b   M   =   2 ,   3   k g

c   M   =   3 ,   5   k g

d   M   =   4 ,   0   k g

e   M   =   1 ,   7   k g

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos uma situação em que a caixa explode,indo pra uma parte pra um lado e outra pro outro, como na figura abaixo:

Só aqui já podemos perceber que:

  • O momento se conserva (não há ação de forças externas);
  • A força resultante no sentido do deslocamento será apenas o atrito;
  • A energia mecânica adquirida será gasta pelo trabalho da força de atrito.

Passo 2

Chamando a massa do primeiro bloco de m 1 e a velocidade adquirida após a explosão de v 1 , e a massa do segundo bloco (o escrito ACME) de m 2 e a velocidade v 2 , teremos, pela conservação do momento:

p 0 = p f

Como só teremos movimento em uma direção, podemos desconsiderar os vetores e só usar a parte escalar:

p 0 = p f

Como antes tava tudo parado, p 0 = 0 , teremos:

0 = m 1 v 1 + m 2 v 2

m 1 v 1 = - m 2 v 2

Passo 3

Sendo agora d 1   e   d 2 as distâncias percorridas até parar respectivamente do bloco “1” e do “2” e μ o coeficiente de atrito, a gente vai ter, pelo Teorema Trabalho- Energia Cinética:

τ = K

O trabalho da força de atrito é dada por:

τ = F a t . d

Para o bloco 1, teremos:

τ = F a t 1 . d 1 = μ . m 1 . g . d 1

μ . m 1 . g . d 1 = m 1 v 1 2 2

μ g d 1 = v 1 2 2

Para o bloco 2 é só fazer a mesma coisa...

τ = F a t 2 . d 2 = μ . m 2 . g . d 2

μ . m 2 . g . d 2 = m 2 . v 2 2 2

μ g d 2 = v 2 2 2

Passo 4

Divindo a equação de 1 pela de 2, vai ficar:

d 1 d 2 = v 1 2 v 2 2

Mas lááá do “Passo 1”, temos que a relaçãozinha:

m 1 v 1 = - m 2 v 2

Passo 5

Vamos fazer assim, pega o v 1   e divide por v 2 e isola a fração. Tipo assim:

v 1 v 2 = - m 2 m 1

Eleva aí os dois lados ao quadrado aí fica...

v 1 2 v 2 2 = m 2 2 m 1 2

Passo 6

Mas oh, lá no “Passo 4” a gente viu que

d 1 d 2 = v 1 2 v 2 2

Substituindo no que acabamos de ver:

m 2 2 m 1 2 = d 1 d 2

Como a gente sabe, d 1 = 0,15   m , m = 2 k g e d 2 = 0,25   m

Substituindo lá...

m 2 2 = 4.3 5 = 12 5

m 2   1,5

Como a mossa total da caixa M é dada por:

M = m 1 + m 2

Vamos ter que:

M = 2 +   1,5 = 3,5 k g

Resposta

Letra c  

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 258

João e José estão sentados em um trenó que está inicialmente em repouso sobre uma superfície de gelo sem atrito. O peso de João é igual a 800   N , o peso de José é igual a 600   N e o peso do trenó é igual a 1000   N . Ao notar a presença de uma aranha venenosa no interior do trenó eles imediatamente pulam para fora. João pula para a esquerda com velocidade (em relação ao gelo) igual a 5,00   m / s formando um ângulo de 30,0 ° acima da horizontal, e José pula para direita com velocidade (em relação ao gelo) igual a 7,00   m / s formando um ângulo de 36,9 ° acima da horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da velocidade do trenó depois que eles pulam para fora.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Estamos em um caso novamente onde vamos usar a conservação do momento linear para o sistema. Porque ele se conserva? Porque a soma das forças externas na horizontal é zero, o sistema João-José-Trenó está em repouso no início, ou seja, em equilíbrio.

Devemos então fazer

p 0 = p f

Passo 2

No início como todos estão em repouso

p 0 = 0 + 0 + 0 = 0

Vamos fazer um esquema de como é são as velocidades após eles pularem.

Devemos então escrever cada velocidade na forma vetorial, usando a “regra do COlado/SEparado”

Passo 3

Para a velocidade do José

v J o s é x = v J o s é cos 36,9 ° = 7 cos 36,9 ° = 5,6   m / s

Passo 4

Para a velocidade do João

v J o ã o x = - v J o ã o cos 30 ° = - 5 cos 30 ° = - 4,33   m / s

Passo 5

Calculando o momento linear do sistema após o pulo

p f x = m J o ã o v J o ã o x + m J o s é v J o s é x + m t r e n ó v t r e n ó x

Sabemos que

p 0 x = p f x

Então

0 = m J o ã o v J o ã o x + m J o s é v J o s é x + m t r e n ó v t r e n ó x

No enunciado, ele não nos dá a massa, mas sim o peso. Vamos multiplicar essa equação pela gravidade e repara num detalhe

0 = m J o ã o g v J o ã o x + m J o s é g v J o s é x + m t r e n ó g v t r e n ó x

0 = P J o ã o v J o ã o x + P J o s é v J o s é x + P t r e n ó v t r e n ó x

Agora basta substituir os dados do enunciado

0 = 800 - 4,33 + 600 5,6 + 1000 v t r e n ó x

0 = 1000 v t r e n ó x - 104

1000 v t r e n ó x = 104

v t r e n ó x = 0,104   m / s

Na realidade a componente y da velocidade do trenó é zero. Isso porque na vertical a força normal gera um impulso no trenó que mantém ele parado.

Então a velocidade do trenó só tem componente horizontal que calculamos

Escrevendo na forma vetorial

v t r e n ó = 0,104 i ^   m / s

Como a componente y é zero, o módulo é o memso valor da componente x

| v t r e n ó | = 0,104   m / s

Resposta

v t r e n ó = 0,104 i ^   m / s ; | v t r e n ó | = 0,104   m / s

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