Conservação do Momento Linear

Teoria Completa

Introdução

Já estudamos que momento linear é dado por:

p → = m . v   →

E que o impulso é dado por:

I → = Δ p →

Esse impulso que é a variação do momento linear é a chave pra gente entender a conservação do mesmo, se não há impulso o que vai rolar com o nosso momento linear?

O que acontece aqui é a conservação do momento linear, que vai nos dar uma relação entre o momento linear inicial e final do sistema e enfim trazer pra nós uma relação das velocidades.

Conservação do momento linear

Vamos ver um exemplo pra entender o que rola nesses casos. Uma pessoa de massa m = 70 k g está dentro de uma lancha de 3000 k g que inicialmente está parada, o que acontece quando a pessoa resolve se mover com v p = 3 m / s para a direita?

O momento linear de um sistema é conservado se o somatório das forças externas ao sistema for nulo, como é o nosso caso do sistema lancha + pessoa e vamos desenhar o diagrama de corpo livre para analisar melhor isso:

E aqui como o somatório das forças é zero o momento linear do sistema se conserva, e aí:

p → s i s t e m a 0 = p → s i s t e m a f

Considerando para direita como sendo o nosso positivo, escrevemos que:

m P v P 0 + m L v L 0 = m P v P f + m L v L f

E a gente pode fazer algumas considerações aqui pra facilitar a vida, a velocidade inicial da lancha é 0 , pois ela estava em repouso e a pessoa inicialmente também estava em repouso, então:

0 = m L v L f + m P v P f

Isolando a velocidade da lancha temos:

v L f = - m P v P 0 m L

`Agora é só substituir geral e correr pro abraço:

v L f = - 70 × 3 3000 = - 0,07 m / s  

Ou seja, a pessoa andou para um lado e a lancha para o outro e isso acontece pra que o momento linear do sistema se conserve.

Colisões

No caso das colisões, as únicas forças que atuam são forças internas do sistema, e por isso, em uma colisão vai haver sempre a conservação do momento linear.

Imagina que você tá lá jogando sinuca com seus amigos e cada bolinha possui massa m = 2 k g , você dá uma tacada e as bolas se chocam como no esquema abaixo e fazem uma colisão.

Qual é a velocidade final da bola branca?

Vamos entender primeiro porque o momento linear pode se conservar nesse caso, o impulso foi inserido no sistema pelo taco antes do estado inicial considerado e se manteve o mesmo, outro ponto é o somatório de forças que é nulo e pra isso a gente pode desenhar o DCL das bolinhas.

Onde F B V é a força que a bola branca faz na vermelha e F V B é a força que a bola vermelha faz na branca, e analisando o esquema a gente vê que essas forças são forças internas do sistema e se anulam e então o momento linear se conserva:

p → s i s t e m a 0 = p → s i s t e m a f

E aí:

m v B 0 + m v v 0 = m v B f + m v v f

Como a massa das bolas é igual, podemos cortar dos dois lados da equação:

v B 0 + v v 0 = v B f + v v f

E isolando a velocidade final da bola branca.

v B f = v B 0 + v v 0 - v v f

E substituindo os valores da imagem, temos:

v B f = 4 + 0 - 3 = 1 m / s

Detalhe que o momento linear se conserva pra qualquer tipo de colisão, e a gente vai estudar isso melhor mais pra frente, beleza?

Independência dos eixos

Sabemos que o momento linear é um vetor e com isso, quando vamos conserva-lo, ficamos com:

p o → = p f →

Em um caso que envolve um movimento bidimensional, por exemplo, pode ficar chato resolver essa equação aí. :(

Mas se você não está feliz em trabalhar com vetores, seus problemas acabaram!

Bem, você pode abrir mão de trabalhar com vetores, separar os eixos e dizer que:

p x A n t e s = p x D e p o i s p y A n t e s = p y D e p o i s p z A n t e s = p z D e p o i s  

Voltando ao exemplo das bolas, mas de outro jeito, a gente pode ver o que acontece se as bolinhas estiverem ortogonais, para a mesma massa m = 2 k g .

Nesse exemplo, as bolinhas se engataram e passaram a se mover juntas e o que vai rolar aqui? Conservação do momento!

p o → = p f →

Após a colisão, como dizemos que as bolinhas se engataram, elas passam a ser um sistema e a andar juntas com a mesma velocidade final.

m v b 0 → + m v v 0 → = m + m v f →

m v b 0 → + m v v 0 → = 2 m v f →

Aqui você pode resolver essa expressão vetorialmente, ou usar a independência dos eixos, que é como vou resolver aqui.

Para o eixo x :

p 0 x = p f x

m 4 + 0 = 2 m v f x

v f x = 4 2 = 2 m / s

Para o eixo y :

p o y = p f y

0 + m - 2 = 2 m v f y

v f y = - 2 2 = - 1 m / s

Assim, nós encontramos as componentes horizontal e vertical da velocidade final!

Se quiser, podemos escrevê-la vetorialmente!

v f → = v f x i ^ + v f y j ^ = 2 i ^ - 1 j ^ m / s

Algo interessante na independência dos eixos é que pode haver casos que o momento se conserva em um eixo, mas não se conserva em outro. Por exemplo quando o vetor impulso I → tem apenas uma componente, nessa componente não haverá conservação de momento linear.

Resumo

Sempre que o somatório das forças externas for zero, o momento linear se conserva.

Em toda colisão o momento linear se conserva.

Podemos calcular cada conservação de momento linear separada, se houver mais de um eixo.

Se a resultante das forças externas for zero em um eixo e não for zero no outro, o momento linear vai se conservar somente no eixo em que a resultante for nula.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253-16

Você está em pé sobre uma camada de gelo de um estádio de futebol em um país frio: despreze o atrito entre seus pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 0,400 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10,0   m / s . Sua massa é igual a 70,0   k g . a   Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir? b Se a bola colide com você e rebate em seu peito, passando a adquirir uma velocidade horizontal de 8,0   m / s em sentido oposto ao inicial, com que velocidade você se desloca após a colisão?

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Passo 1

O Sistema tratado no problema é a bola e você, onde

E s t a d o   i n i c i a l v b o l a 0 = 10   m / s m b o l a = 0,4   k g v v o c ê 0   = 0   m v o c ê = 70   k g

O problema faz questão de nos pedir para ignorar o atrito, e isso nos permite dizer que não a ação de forças externas no sistema, logo o momento liner do sistema vai se conservar.

Passo 2

a   Você agarrou a bola, qual a velocidade final sua? Pela conservação d emomento podemos dizer que

p a n t e s = p d e p o i s

O momento linear inicial é

p a n t e s = m b o l a . v b o l a 0 + m v o c ê . v v o c ê 0

p a n t e s = 0,4   .   10 + 70   .   0

p a n t e s = 4   k g . m / s

Passo 3

O momento linear final é

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

Como você agarrou a bola, isso significa que vocês estão juntos, logo com a mesma velocidade final

p d e p o i s = m b o l a + m v o c ê . v v o c ê f

p d e p o i s = 70,4   . v v o c ê f

Passo 4

Aplicando a conservação de momento linear temos

4 = 70,4   .   v v o c ê f

v v o c ê f = 0,057   m / s

Achou estranho uma velocidade tão baixa? Relaxa, que está certo, como sua massa é muito superior a massa da bola para os momentos serem iguais a velocidade sua e da bola tem que ser bem pequena mesmo.

Passo 5

b   Isso nada mais é que o choque de dois objetos, certo? Então o momento linear conserva.

O momento inicial já temos

p a n t e s = 4   k g . m / s

O momento final que vai mudar, pois agora a bola rebate e volta com módulo e sinal da velocidade diferente

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

A velocidade final da bola é

v b o l a f = - 8   m / s  

É negativa por ser no sentido contrário a velocidade inicial.

Então,

p d e p o i s = 0,4 .   - 8 + 70   .   v v o c ê f

Aplicando a conservação de momento linear, temos que

4 = - 3,2 + 70 . v v o c ê f

v v o c ê f   = 7,2 70

v v o c ê f ≅ 0,103   m / s  

Resposta

a   v v o c ê f = 0,057   m / s

b v v o c ê f ≅ 0,103   m / s  

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2

Um carrinho de massa M = 3,0   k g move-se em linha reta sobre um piso horizontal sem atrito com velocidade de V → C 0 = 9,0   i →   m / s . Sobre o carrinho encontra-se fixada na posição horizontal, uma mola que é comprimida por um bloco de massa m = 1,0   k g . Inicialmente, o bloco se encontra preso ao carrinho por um fio comprimindo a mola. Em certo instante, o fio se rompe e a mola empurra o bloco para fora do carrinho, projetando-o com uma velocidade de V → B f = - 6,0   i →   m / s em relação ao piso. Uma vez livre do bloco, qual a nova velocidade do carrinho?

a   6   m / s

b   8   m / s

c   10   m / s

d   12   m / s

e   14   m / s

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Passo 1

Não há forças externas aplicadas na direção do movimento do sistema e as forças internas relacionadas entre o bloco e o carrinho são produzidas em pares ação e reação, se anulando mutuamente, ocorrendo assim conservação do momento linear total do sistema.

P a n t e s = P d e p o i s

Vamos analisar quem eram as componentes do sistema antes, e depois e então calcular o momento linear usando:

P = m v

Após isso igualaremos os momentos lineares antes e depois e acharemos a nova velocidade do carrinho.

Passo 2

O sistema inicialmente era composto por carrinho + bloco juntos andando na mesma velocidade, sendo assim temos pro caso inicial:

A massa do carrinho:

M = 3,0 k g

A massa do bloco:

m = 1,0 k g

A velocidade dos dois andando em conjunto:

V → C 0 = 9,0   i →   m / s

Sendo assim podemos dizer que o momento linear inicial é:

P a n t e s = M + m V c 0 →

E aqui podemos tirar a notação vetorial já que o enunciado nos mostra que a velocidade final será no mesmo eixo.

P a n t e s = 3 + 1 × 9 = 36 k g m / s

Passo 3

Agora vamos analisar o caso final por aqui. Após o rompimento do fio, a mola se estica e joga o bloco pra fora com velocidade V B f = - 6 m / s , no sentido oposto da velocidade anterior no eixo x . Agora que o esquema tá separado cada um anda com uma velocidade diferente, vamos escrever isso aqui:

P d e p o i s   = m . V B f + M . V C f

Substituindo os valores das massas e da velocidade temos:

P d e p o i s = 1 . - 6 + 3   .   V C f = 3 V c f - 6

Agora é só a gente aplicar a conservação do momento linear né:

P a n t e s = P d e p o i s

36 = 3 V c f - 6

42 = 3 V c f

V c f = 14 m / s

Então é a letra e)

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.2- letra b- Modificado

Vamos supor que duas partículas A e B colidem bidimensionalmente. Seja a partícula A de massa 1,0   k g e a partícula B de massa 3,0   k g . As posições das partículas num certo instante t 1 antes da colisão são dadas por R A = 1,0   i ^ + 3,0   j ^   m e R B = 5,0   i ^ - 1,0   j ^   m . O tempo de duração da colisão é de 15   m s .

b   Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,5   i ^ + 6,0   j ^ )   m / s e v B = ( - 3,0   i ^ + 2,5   j ^ )   m / s , e que no fim da colisão a componente x da velocidade de A é igual a 4,0   m / s e a componente y da velocidade de B é 3,0   m / s . Escreva os vetores velocidade de ambas as partículas no fim da colisão.

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Passo 1

b   Pela conservação do momento linear no início e no fim da colisão:

m A v A + m B v B = m A V A + m B V B

Onde v A = 2,5 i ^ + 6 j ^ e v B = - 3 i ^ + 2,5 j ^ e V A x = 4 e V B y = 3 . Então:

2,5 i ^ + 6 j ^ - 9 i ^ + 7,5 j ^ = 4 i ^ + V A y j ^ + 3 V B x i ^ + 9 j ^

Como podemos separar a equação da conservação de momento linear por eixos temos

e i x o   x   2,5 - 9 = 4 + 3 V B x

e i x o   y 6 + 7,5 = V A y + 9

V B X = - 10,5 3   m / s V A Y = 4,5   m / s

Assim:

V A = 4 i ^ + 4,5 j ^   m / s

E

V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

Resposta

b   V A = 4 i ^ + 4,5 j ^   m / s ;                   V B = - 10,5 3 i ^ + 3 j ^   m / s

Exercício Resolvido #4

UFF – 2ª Prova – 2014.1

Dois automóveis viajam em duas estradas perpendiculares entre si, colidem e ficam juntos após a colisão. O carro A tem massa de 1200   k g e tinha velocidade de 25   m / s antes da colisão. O carro B tem massa de 1600   k g . As marcas de derrapagem dos carros juntos, imediatamente após a colisão fazem um ângulo de 30 ° com a direção inicial do carro A . Qual era a velocidade do carro B antes da colisão?

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Passo 1

Esse é um problema de conservação de momento linear em duas direções, e a primeira coisa que a gente tem que fazer é pensar no que acontece antes e no que acontece depois da colisão, anotando cada dado.

Após isso vamos aplicar a conservação do momento linear, podemos fazer vetorialmente que o momento linear inicial é igual ao final.

P 0 → = P f →

Ou separando por eixos.

P x 0 = P x f

P y 0 = P y f

Esse segundo jeito é mais fácil de visualizar um pouco, vamos fazer assim tá? Lembrando que:

P = m v

Passo 2

Vamos analisar o que acontece antes da colisão: O carro A tem massa m A = 1200 k g e anda para a direita, ou sentido positivo de x com velocidade v A 0 = 25 m / s . Já o carro B possui massa m B = 1600 k g e velocidade que queremos descobrir indicada no sentido positivo de y , ou seja, pra cima v B 0 . Se liga aí no desenho:

Sendo assim o momento linear desse sistema antes da colisão é em cada eixo:

P x 0 = m A v A 0 = 1200 × 25 = 30000 k g . m / s

P y 0 = m B v B 0 = 1600 v B 0

Repara que o carro B não tem momento linear na horizontal e o carro A   não tem momento linear na vertical, isso aí acontece por quê a velocidade desses carros nesses eixos é 0.

Vamos partir pra analisar o que acontece depois da colisão, ok?

Passo 3

Depois da colisão temos a seguinte situação: os carros A e B formam um sistema que anda junto, sendo assim a massa desse sistema é:

M = m A + M B

M = 1200 + 1600 = 2800 k g

Esse sistema anda com velocidade final V f que não conhecemos e essa velocidade está angulada de 30 ° em relação ao eixo. Se liga nesse desenho aí, pra gente entender legal:

E aqui vai o bizu da questão, essa velocidade final deve ser decomposta nos dois eixos pra gente poder analisar separado cada momento linear. Podemos decompor ela da seguinte forma:

v x f = V c o s 30 °

v y f = V s e n ( 30 ° )

Então temos pros casos finais os seguintes momentos lineares:

P x f = M v x f = M V c o s ( 30 ° )

P x f = 2800 V c o s 30 = 2424,87 V

E para o eixo y :

P y f = M v y f = M V s e n ( 30 ° )

P y f = 2800 V s e n 30 = 1400 V

Bacana, nosso próximo passo será aplicar a conservação do momento linear para cada eixo.

Passo 4

Vamos então aplicar essa conservação do momento linear, mas aqui precisaremos seguir uma lógica. Temos duas incógnitas V e v B 0 , vamos primeiro precisar encontrar V e o jeito é começar analisando a conservação no eixo x .

P x 0 = P x f

E aqui é substituir os valores que encontramos para cada um desses momentos lineares:

30000 = 2424,87 V

Isolando V temos:

30000 2424,87 = V

V = 12,37 m / s

Bacana né, agora é só fazer isso pro outro eixo substituindo o valor de V .

P y 0 = P y f

1600 v B 0 = 1400 V

1600 v B 0 = 1400 × 12,37

v B 0 = 17318 1600 = 10,82 m / s

Ufa, encontramos essa velocidade! Mais um exercício resolvido 😊.

Resposta

v B 0 =   1 0,82   m / s

Exercício Resolvido #5

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.1

Uma nave viaja no espaço com vetor velocidade V N relativa a um observador, contendo uma carga. A massa total do sistema é M . Em certo momento a nave libera a carga (massa m p ) com vetor velocidade V p relativa ao mesmo observador. Encontre uma expressão para o novo vetor velocidade da nave V f se Σ   F e x t = 0 durante a liberação da carga.

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Passo 1

Já que não há forças externas atuando, podemos aplicar a conservação do momento linear total! O momento linear do sistema é igual antes e depois da nave soltar a carga:

p → a n t e s = p → d e p o i s

Passo 2

No começo a nave e sua carga estão juntas, tendo uma massa total M e andando com uma velocidade V → N . Então o momento linear total é

p → a n t e s = M V → N

Passo 3

Depois da nave soltar a carga, o sistema passa a ter 2 partículas, a nave de massa M - m p e andando a uma velocidade V → f e a carga de massa m p