Conservação do Momento Linear

Teoria Completa

Introdução

Já estudamos que momento linear é dado por:

p → = m . v   →

E que o impulso é dado por:

I → = Δ p →

Mas o que acontece quando a variação de momento linear é zero?

Ora bolas, vamos ter que o Impulso é zero e assim o momento linear inicial é igual ao momento linear final.

Maaaas e ae? Não parece ser nada muito importante isso, né?!

Mas é sim!! Quando a variação for igual a zero, vamos dizer que o momento linear se conserva.

Você vai ver que em muitos problemas isso será importantíssimo para resolvermos a questão.

Conservação do Momento Linear

O momento linear de um sistema é conservado se o momento linear inicial for igual ao momento linear final:

p → s i s t e m a 0 = p → s i s t e m a f

E isso vai acontecer nos seguintes casos:

  1. Quando o somatório de forças externas ao sistema for nulo.
  2. Em choques entre partículas, se o problema não falar nada, nada mesmo, sobre impulso ou força e tempo de contato entre as partículas;
  3. Ex: Se duas bolas se chocam

    m 1 . v → 1 0 + m 2 . v → 2 0 = m 1 . v → 1 f + m 2 . v → 2 f

  4. Em explosões. A explosão pode ser considerado um caso especial onde não há forças externas, mas o objeto decidiu se separar por livre e espontânea vontade haha. Então o momento linear também irá se conservar, e não só ele, a massa do sistema também.

M = m 1 + m 2 + …

M . v → 0 = m 1 . v → 1 + m 2 . v → 2 + …

Independência dos eixos

Mas se você não está feliz em trabalhar com vetores, seus problemas acabaram!

Bem, você pode abrir mão de trabalhar com vetores, separar os eixos e dizer que:

p x A n t e s = p x D e p o i s p y A n t e s = p y D e p o i s p z A n t e s = p z D e p o i s  

Assim em um problema vetorial que teríamos:

m . A . i ^ + B . j ^ = M C . i ^ + D . j ^  

Você teria:

e i x o   x   m . A = M . C

e i x o   y     m . B = M . D

Algo interessante na independência dos eixos é que pode haver casos que o momento se conserva em um eixo, mas não se conserva em outro. Por exemplo quando o vetor impulso I → tem apenas uma componente, nessa componente não haverá conservação de momento linear.

Observações finais

O seu querido professor vai querer complicar a nossa vida e, para isso, vai querer que a gente use, além da conservação do momento linear, a conservação de energia mecânica (nos casos em que não houver ação de forças dissipativas).

E M 0 = E M f

Ou seja:

U e l 0 + U p 0 + K 0 = U e l f + U p f   + K f

Outro assunto que os professores gostam de relembrar é Teorema trabalho-energia cinética:

W = Δ K

Vale lembrar ainda que:

W = F . Δ S . cos ⁡ θ

É isso, galera! Simbora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 253-16

Você está em pé sobre uma camada de gelo de um estádio de futebol em um país frio: despreze o atrito entre seus pés e o gelo. Um amigo joga para você uma bola de 0,400 kg que se desloca horizontalmente com velocidade de 10,0   m / s . Sua massa é igual a 70,0   k g . a   Se você agarra a bola, com que velocidade você e a bola se deslocarão logo a seguir? b Se a bola colide com você e rebate em seu peito, passando a adquirir uma velocidade horizontal de 8,0   m / s em sentido oposto ao inicial, com que velocidade você se desloca após a colisão?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O Sistema tratado no problema é a bola e você, onde

E s t a d o   i n i c i a l v b o l a 0 = 10   m / s m b o l a = 0,4   k g v v o c ê 0   = 0   m v o c ê = 70   k g

O problema faz questão de nos pedir para ignorar o atrito, e isso nos permite dizer que não a ação de forças externas no sistema, logo o momento liner do sistema vai se conservar.

Passo 2

a   Você agarrou a bola, qual a velocidade final sua? Pela conservação d emomento podemos dizer que

p a n t e s = p d e p o i s

O momento linear inicial é

p a n t e s = m b o l a . v b o l a 0 + m v o c ê . v v o c ê 0

p a n t e s = 0,4   .   10 + 70   .   0

p a n t e s = 4   k g . m / s

Passo 3

O momento linear final é

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

Como você agarrou a bola, isso significa que vocês estão juntos, logo com a mesma velocidade final

p d e p o i s = m b o l a + m v o c ê . v v o c ê f

p d e p o i s = 70,4   . v v o c ê f

Passo 4

Aplicando a conservação de momento linear temos

4 = 70,4   .   v v o c ê f

v v o c ê f = 0,057   m / s

Achou estranho uma velocidade tão baixa? Relaxa, que está certo, como sua massa é muito superior a massa da bola para os momentos serem iguais a velocidade sua e da bola tem que ser bem pequena mesmo.

Passo 5

b   Isso nada mais é que o choque de dois objetos, certo? Então o momento linear conserva.

O momento inicial já temos

p a n t e s = 4   k g . m / s

O momento final que vai mudar, pois agora a bola rebate e volta com módulo e sinal da velocidade diferente

p d e p o i s = m b o l a . v b o l a f + m v o c ê . v v o c ê f

A velocidade final da bola é

v b o l a f = - 8   m / s  

É negativa por ser no sentido contrário a velocidade inicial.

Então,

p d e p o i s = 0,4 .   - 8 + 70   .   v v o c ê f

Aplicando a conservação de momento linear, temos que

4 = - 3,2 + 70 . v v o c ê f

v v o c ê f   = 7,2 70

v v o c ê f ≅ 0,103   m / s  

Resposta

a   v v o c ê f = 0,057   m / s

b v v o c ê f ≅ 0,103   m / s  

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2

Um carrinho de massa M = 3,0   k g move-se em linha reta sobre um piso horizontal sem atrito com velocidade de V → C 0 = 9,0   i →   m / s . Sobre o carrinho encontra-se fixada na posição horizontal, uma mola que é comprimida por um bloco de massa m = 1,0   k g . Inicialmente, o bloco se encontra preso ao carrinho por um fio comprimindo a mola. Em certo instante, o fio se rompe e a mola empurra o bloco para fora do carrinho, projetando-o com uma velocidade de V → B f = - 6,0   i →   m / s em relação ao piso. Uma vez livre do bloco, qual a nova velocidade do carrinho?

a   6   m / s

b   8   m / s

c   10   m / s

d   12   m / s

e   14   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Não há forças externas aplicadas na direção do movimento do sistema e as forças internas relacionadas entre o bloco e o carrinho são produzidas em pares ação e reação, se anulando mutuamente, ocorrendo assim conservação do momento linear total do sistema.

P a n t e s = P d e p o i s

m . V B 0 + M . V C 0 = m . V B f + M . V C f

1   .   9 + 3   .   9 = 1 . - 6 + 3   .   V C f

V C f = 14   m / s

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.2- letra b- Modificado

Vamos supor que duas partículas A e B colidem bidimensionalmente. Seja a partícula A de massa 1,0   k g e a partícula B de massa 3,0   k g . As posições das partículas num certo instante t 1 antes da colisão são dadas por R A = 1,0   i ^ + 3,0   j ^   m e R B = 5,0   i ^ - 1,0   j ^   m . O tempo de duração da colisão é de 15   m s .

b   Suponha agora que as velocidades no início da colisão são: v A = ( 2,5   i ^ + 6,0   j ^ )   m / s e v B = ( - 3,0   i ^ + 2,5   j ^ )   m / s , e que no fim da colisão a componente x da velocidade de A é igual a 4,0   m / s e a componente y da velocidade de B é 3,0   m / s . Escreva os vetores velocidade de ambas as partículas no fim da colisão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

b   Pela conservação do momento linear no início e no fim da colisão:

m A v A + m B v B = m A V A + m B V B

Onde v A = 2,5 i ^ + 6 j ^ e v B = - 3 i ^ + 2,5 j ^