Teoria Completa
Conservação de Momento Linear
Sabemos que, nas colisões, teremos a conservação de momento linear sempre que não houver ação de força externas no sistema.
Isso significa que o momento linear do sistema no estado inicial é igual ao momento linear do sistema no estado final:
Lembrando que o momento linear é um vetor, então podemos dizer que:
Dissipação de Energia Cinética
A principal característica de uma colisão inelástica é que há dissipação de energia cinética, ou seja, a energia cinética não se conserva, assim:
Por isso, a menos que o enunciado forneça quanto de energia foi dissipada, não poderemos usar equação da energia cinética para ajudar a resolver o exercício. Pelo contrário, um dos itens pedidos pelo enunciado geralmente será de calcular a variação da energia cinética.
Para isso iremos achar a velocidade final ou inicial do sistema por conservação de momento linear e assim calcular a energia cinética inicial e final e conseguir achar a variação de energia cinética.
Tipos de Colisão Inelástica
A colisão inelástica pode ser classificada em parcialmente inelástica ou totalmente inelástica.
Colisão parcialmente inelástica é aquela em que ocorre dissipação de energia cinética, mas os objetos tem velocidade final diferente.
Colisão Totalmente Inelástica
Vamos dar atenção a colisão totalmente inelástica, pois em uma colisão totalmente inelástica a velocidade final do objetos é a mesma, ou seja, ao final da colisão os corpos movimentam-se juntos. Assim temos que
Pela conservação de momento linear em uma colisão, podemos relacionar a velocidade final com a velocidade inicial
Temos,
Assim, a velocidade final de uma colisão totalmente inelástica é dada por
E caso o problema seja de uma partícula com velocidade inicial colidindo com uma partícula em repouso, sendo a colisão totalmente inelástica, pela fórmula acima teríamos
E ainda poderíamos calcular a razão entre a energia cinética final pela inicial,
Usando a equação podemos achar que
Assim
Caso especial – Explosão
Antes de irmos para os exercícios, vamos falar de um típico exercício de colisões, as famosas EXPLOSÕES, que nada mais é que uma colisão inelástica acontecendo do final para o início.
Mas como assim????
Calma, é simples: em exercícios assim, no estado inicial as partículas movimentam-se unidas e por isso têm mesma velocidade, então ocorre a explosão e elas se separam, por isso no estado final elas estão separadas. Viu como é simples? Basta fazer o mesmo que iremos fazer quando for uma colisão inelástica.
Ou seja, escrever a equação de conservação de momento e resolver.
Tudo que estudamos aqui foi unidimensional, mas o raciocínio para movimentos bidimensionais é o mesmo, analise separadamente o movimento em e .
Identificando uma Colisão
Só mais uma coisinha: e se o problema não falar qual tipo de colisão é? Como vamos resolver? Moleza!
Quando o problema não especificar qual tipo de colisão é, você vai usar a única informação em comum entre as duas colisões, que é a conservação de momento linear durante uma colisão. Feito isso você terá uma relação entre as velocidades inicias e finais dos objetos.
Através dessa relação, você irá calcular a energia cinética inicial e final e comparar elas e assim poderá ver em qual tipo de colisão o problema se encaixa.
Bora praticar isso??
Exercício Resolvido #1
Considere um sistema isolado formado por duas partículas. Suas massas valem e e, num referencial inercial, suas velocidades são, respectivamente,
Estas partículas sofrem uma colisão totalmente inelástica. Qual o valor da energia cinética do sistema, após a colisão?
Passo 1
Temos uma colisão num sistema isolado, então o momento linear total se conserva:
Além disso, a colisão é totalmente inelástica: isso significa que as partículas saem coladas, formando uma partícula de massa e de velocidade final .
Considerando isso, a equação de conservação do momento linear é:
Passo 2
Show! Substituindo os valores do enunciado, isso fica:
Passo 3
Beleza, mas pra achar a energia cinética final, a gente precisa do módulo de .
Vamos ter:
Passo 4
Então a energia cinética final é:
Resposta
Alternativa
Exercício Resolvido #2
Um pêndulo balístico é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de um projétil quando ele deixa o cano de uma arma. Esta velocidade é chamada de velocidade de saída do projétil. Um projétil de massa é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de massa que forma o peso de um pêndulo. O projétil penetra no bloco e o observador mede então a altura máxima atingida pelo conjunto formado pelo bloco e pelo projétil. Responda:
Alguma grandeza é conservada nesta colisão? Por quê?
Qual é a velocidade do sistema projétil + bloco imediatamente após a colisão sabendo que o sistema atinge a altura máxima de ?
Qual é a velocidade inicial do projétil?
Passo 1
Esta colisão é inelástica uma vez que o projétil fica preso dentro do bloco.
A única grandeza conservada é então o momento linear, pois durante o processo de colisão o somatório de todas as forças que atuam no sistema é nulo.
Passo 2
Após a colisão, e considerando que o projétil está parado dentro do bloco, podemos aplicar a conservação de energia mecânica:
Como
E
E a velocidade na altura máxima é zero, temos que
Assim,
Logo:
Substituindo os valores chegamos em
Passo 3
A velocidade inicial do projétil é dada pela conservação do momento. Então, temos que:
Consequentemente:
Substituindo o valor das massas e da velocidade final que acabamos de encontrar chegamos em:
Resposta
O momento linear, pois o somatório de todas as forças que atuam no sistema é nulo.
Exercício Resolvido #3
As esferas (massa ), (massa ) e (massa ) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito. As velocidades de e são indicadas na figura. Todas as três esferas atingem a origem ao mesmo instante e ficam coladas. Quais devem ser os componentes e da velocidade inicial de para que os três objetos unidos se desloquem a no sentido do eixo após a colisão? Se possui velocidade encontrada no item (a), qual é a variação da energia cinética do sistema das três esferas ocasionada pela colisão?
Passo 1
Temos uma colisão acontecendo, assim a primeira coisa a saber é que o momento linear do sistema é constante.
Ele não define a colisão, mas diz que as esferas ficam coladas, então depois da colisão todas tem a mesma velocidade, isso é o mesmo que falar que a colisão é inelástica.
Passo 2
Vamos escrever cada velocidade que sabemos pelo enunciado
Ambas negativas devido ao sentido do movimento, contra o eixo e . E ainda temos a velocidade final de todas
Passo 3
Para a velocidade do corpo vamos precisar decompor a velocidade usando a “regra do COlado/SEparado”
Então
Passo 4
Vamos calcular o momento linear antes e depois e usar a conservação dele.
Primeiro vamos calcular o momento linear inicial , que é dado por
Agora, vamos calcular o momento linear final
Passo 5
Igualando os momentos lineares vamos ter
Passo 6
Para achar a variação de energia cinética devemos achar a energia do sistema antes e depois.
A energia cinética antes é
Para a energia cinética devemos ter o módulo da velocidade dos corpos, precisamos então achar o módulo da velocidade de
Passo 7
Vamos ter então
Passo 8
Vamos agora achar a energia cinética do conjunto depois do choque
Passo 9
A variação de energia cinética é
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma bala de disparada por um rifle penetra e fica retida em um bloco de ligado a uma mola e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. O impacto produz uma compressão de na mola. A calibração mostra que uma força de comprime a mola . Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto. Qual era a velocidade inicial da bala?
Passo 1
Temos uma colisão acontecendo, assim a primeira coisa a saber é que o momento linear do sistema é constante.
Ele não define a colisão, mas diz que as esferas ficam coladas, então depois da colisão todas tem a mesma velocidade, isso é o mesmo que falar que a colisão é inelástica.
Passo 2
Após o impacto, não vamos ter forças dissipativas, como o atrito, atuando. Isso nós diz que a energia mecânica do sistema DEPOIS da colisão é constante.
Beleza agora a energia final
A compressão da mola foi de , assim
Repara que se igualarmos não vamos resolver nada porque temos duas incógnitas.
Passo 3
O enunciado nos diz que a calibração para comprime a mola , então
Agora temos a energia mecânica final
Passo 4
Sabemos agora que
Igualando as energias
Passo 5
Vamos agora usar a conservação do momento linear, como estamos trabalhando com uma dimensão não precisamos escrever vetorialmente.
Substituindo os valores dados e a velocidade final do conjunto que acabamos de encontrar, temos
Resposta
Exercício Resolvido #5
Sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito, o disco de hóquei (com massa igual a ) se desloca de encontro ao disco de hóquei (com massa igual a ), que inicialmente está em repouso. Depois da colisão o disco de hóquei possui velocidade igual a da direita para a esquerda e o disco de hóquei possui velocidade igual a da esquerda para a direita. Qual era a velocidade do disco de hóquei antes da colisão? Calcule a variação da energia cinética total do sistema ocorrida durante a colisão.
Passo 1
Como o problema não diz qual é o tipo de colisão, só podemos dizer que o momento linear do sistema se conserva. Sendo assim vamos usar a equação
Não precisamos usar a fórmula vetorial, pois o movimento é unidimensional
Passo 2
Para descobrir a velocidade inical do disco , basta substituir os valores dado pelo enunciado na equação acima
Positivo, o que significa que o disco inicialmente se locomovia da esquerda para a direita
Passo 3
A enercia cinética inicial é dada por
Já a energia cinética final é dada por
Passo 4
Agora podemos fazer a variação de energia cinética
Resposta
Exercício Resolvido #6
Duas partículas e de massas iguais colidem unidimensionalmente ao longo do eixo . Os gráficos a seguir representam as velocidades em função do tempo para cada partícula. Se é o momento linear do sistema formado pelas duas partículas e sua energia cinética, podemos afirmar que nessa colisão
se conserva e não se conserva
se conserva e