Colisões Inelásticas

Teoria Completa

Conservação de Momento Linear

Sabemos que, nas colisões, teremos a conservação de momento linear sempre que não houver ação de força externas no sistema.

Isso significa que o momento linear do sistema no estado inicial é igual ao momento linear do sistema no estado final:

∑ p → 0 = ∑ p → f

Lembrando que o momento linear é um vetor, então podemos dizer que:

e i x o   x → p x 0 = p x f

e i x o   y → p y 0 = p y f

Dissipação de Energia Cinética

A principal característica de uma colisão inelástica é que há dissipação de energia cinética, ou seja, a energia cinética não se conserva, assim:

K 0 ≠ K f

Por isso, a menos que o enunciado forneça quanto de energia foi dissipada, não poderemos usar equação da energia cinética para ajudar a resolver o exercício. Pelo contrário, um dos itens pedidos pelo enunciado geralmente será de calcular a variação da energia cinética.

Para isso iremos achar a velocidade final ou inicial do sistema por conservação de momento linear e assim calcular a energia cinética inicial e final e conseguir achar a variação de energia cinética.

Tipos de Colisão Inelástica

A colisão inelástica pode ser classificada em parcialmente inelástica ou totalmente inelástica.

Colisão parcialmente inelástica é aquela em que ocorre dissipação de energia cinética, mas os objetos tem velocidade final diferente.

Colisão Totalmente Inelástica

Vamos dar atenção a colisão totalmente inelástica, pois em uma colisão totalmente inelástica a velocidade final do objetos é a mesma, ou seja, ao final da colisão os corpos movimentam-se juntos. Assim temos que

V f = V A f = V B f = … = V N f

Pela conservação de momento linear em uma colisão, podemos relacionar a velocidade final com a velocidade inicial

p → 0 = p → f

Temos,

m 1 . v 1 + m 2 . v 2 = m 1 + m 2 . V f

Assim, a velocidade final de uma colisão totalmente inelástica é dada por

V f = m 1 . v 1 + m 2 . v 2 m 1 + m 2

E caso o problema seja de uma partícula com velocidade inicial v 1 colidindo com uma partícula 2 em repouso, sendo a colisão totalmente inelástica, pela fórmula acima teríamos

V f = m 1 v 1 m 1 + m 2   ( * )

E ainda poderíamos calcular a razão entre a energia cinética final pela inicial,

K f K 0 = 1 2 . m 1 + m 2 . V f 2 1 2 . m 1 . v 1 2 = m 1 + m 2 . V f 2 m 1 . v 1 2

Usando a equação ( * ) podemos achar que

V f v 1 = m 1 m 1 + m 2

Assim

K f K 0 = m 1 + m 2 m 1 V f v 1 2 = m 1 + m 2 m 1 m 1 m 1 + m 2 2

K f K 0 =   m 1 m 1 + m 2

Caso especial – Explosão

Antes de irmos para os exercícios, vamos falar de um típico exercício de colisões, as famosas EXPLOSÕES, que nada mais é que uma colisão inelástica acontecendo do final para o início.

Mas como assim????

Calma, é simples: em exercícios assim, no estado inicial as partículas movimentam-se unidas e por isso têm mesma velocidade, então ocorre a explosão e elas se separam, por isso no estado final elas estão separadas. Viu como é simples? Basta fazer o mesmo que iremos fazer quando for uma colisão inelástica.

Ou seja, escrever a equação de conservação de momento e resolver.

Tudo que estudamos aqui foi unidimensional, mas o raciocínio para movimentos bidimensionais é o mesmo, analise separadamente o movimento em x e y .

Identificando uma Colisão

Só mais uma coisinha: e se o problema não falar qual tipo de colisão é? Como vamos resolver? Moleza!

Quando o problema não especificar qual tipo de colisão é, você vai usar a única informação em comum entre as duas colisões, que é a conservação de momento linear durante uma colisão. Feito isso você terá uma relação entre as velocidades inicias e finais dos objetos.

Através dessa relação, você irá calcular a energia cinética inicial K 0 e final K f e comparar elas e assim poderá ver em qual tipo de colisão o problema se encaixa.

Bora praticar isso??

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – 2ª Prova – 2015.1

Considere um sistema isolado formado por duas partículas. Suas massas valem m 1 = 3   k g e m 2 = 1   k g e, num referencial inercial, suas velocidades são, respectivamente,

v → 1 = 2 î   m / s

v → 2 = 4 j ^   m / s

Estas partículas sofrem uma colisão totalmente inelástica. Qual o valor da energia cinética do sistema, após a colisão?

a     0   J

b     6,5   J

c     7,5   J

d     12,5   J

e     14   J

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Passo 1

Temos uma colisão num sistema isolado, então o momento linear total se conserva:

p → 0 = p → f

Além disso, a colisão é totalmente inelástica: isso significa que as partículas saem coladas, formando uma partícula de massa m 1 + m 2 e de velocidade final v → f .

Considerando isso, a equação de conservação do momento linear é:

m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = m 1 + m 2 v → f

Passo 2

Show! Substituindo os valores do enunciado, isso fica:

3 ⋅ 2 î + 1 ⋅ 4 j ^ = 3 + 1 v → f

⇒ 6 î + 4 j ^ = 4 v → f

⇒ v → f = 6 î + 4 j ^ 4

v → f = 3 2 î + 1 j ^

Passo 3

Beleza, mas pra achar a energia cinética final, a gente precisa do módulo de v → f .

Vamos ter:

v f = 3 2 2 + 1 2

v f = 9 4 + 1

v f = 13 4

⇒ v f = 13 2

Passo 4

Então a energia cinética final é:

K f = 1 2 m 1 + m 2 v f 2

⇒ K f = 1 2 ⋅ ( 3 + 1 ) ⋅ 13 2 2

⇒ K f = 4 2 ∙ 13 4 = 13 2 = 6,5   J

Resposta

Alternativa b

Exercício Resolvido #2

PUC-RIO – 2ª Prova – 2009.2

Um pêndulo balístico é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de um projétil quando ele deixa o cano de uma arma. Esta velocidade é chamada de velocidade de saída do projétil. Um projétil de massa m = 1,0   k g é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de massa M = 5,0   k g que forma o peso de um pêndulo. O projétil penetra no bloco e o observador mede então a altura máxima atingida pelo conjunto formado pelo bloco e pelo projétil. Responda:

a Alguma grandeza é conservada nesta colisão? Por quê?

b Qual é a velocidade do sistema projétil + bloco imediatamente após a colisão sabendo que o sistema atinge a altura máxima de 5,0   c m ?

c Qual é a velocidade inicial do projétil?

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Passo 1

a   Esta colisão é inelástica uma vez que o projétil fica preso dentro do bloco.

A única grandeza conservada é então o momento linear, pois durante o processo de colisão o somatório de todas as forças que atuam no sistema é nulo.

Passo 2

b   Após a colisão, e considerando que o projétil está parado dentro do bloco, podemos aplicar a conservação de energia mecânica:

U i + K i = U f + K f

∆ U   +   ∆ K   = 0

Como

∆ U = ( m + M ) g h

E

Δ K = K f - K i

E a velocidade na altura máxima é zero, temos que

∆ K = 0 - m + M v f 2 2

∆ K = - m + M v f 2 2

Assim,

Δ U = - Δ K

m + M v f 2 2 = ( m + M ) g h

Logo:

v f = 2 g h

Substituindo os valores chegamos em

v f = 1   m / s

Passo 3

c A velocidade inicial do projétil é dada pela conservação do momento. Então, temos que:

m v = m + M v f

Consequentemente:

v = m + M m v f

Substituindo o valor das massas e da velocidade final que acabamos de encontrar chegamos em:

v = 6   m / s

Resposta

a O momento linear, pois o somatório de todas as forças que atuam no sistema é nulo.

b v f = 1   m / s

c v = 6   m / s

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 256

As esferas A (massa 0,020   k g ), B (massa 0,030   k g ) e C (massa 0,050   k g ) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito. As velocidades de A e B são indicadas na figura. Todas as três esferas atingem a origem ao mesmo instante e ficam coladas. a Quais devem ser os componentes x e y da velocidade inicial de C para que os três objetos unidos se desloquem a 0,50   m / s no sentido do eixo + O X após a colisão? b Se C possui velocidade encontrada no item (a), qual é a variação da energia cinética do sistema das três esferas ocasionada pela colisão?

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Passo 1

Temos uma colisão acontecendo, assim a primeira coisa a saber é que o momento linear do sistema é constante.

p → 0 = p → f

Ele não define a colisão, mas diz que as esferas ficam coladas, então depois da colisão todas tem a mesma velocidade, isso é o mesmo que falar que a colisão é inelástica.

Passo 2

a   Vamos escrever cada velocidade que sabemos pelo enunciado

v → A 0 = - 1,5 i ^   m / s

v → B 0 = - 0,5   m / s

Ambas negativas devido ao sentido do movimento, contra o eixo x e y . E ainda temos a velocidade final de todas

v → A f = v → B f = v → C f = v → = 0,5 i ^   m / s

Passo 3

Para a velocidade do corpo B vamos precisar decompor a velocidade usando a “regra do COlado/SEparado”

v B 0 x = v → B 0 ⋅ cos ⁡ 60 ° = - 0,5 ⋅ 1 2 = 0,25   m / s

v B 0 y = v → B 0 ⋅ sen ⁡ 60 ° = - 0,5 ⋅ 3 2 = 0,25 3   m / s

Então

v → B 0 = - 0,25 i ^ - 0,25 3 j ^   m / s

Passo 4

Vamos calcular o momento linear antes e depois e usar a conservação dele.

Primeiro vamos calcular o momento linear inicial p → 0 , que é dado por

p → 0 = m A ⋅ v → A 0 + m B ⋅ v → B 0 + m C ⋅ v → C 0

p → 0 = 0,02 - 1,5 i ^ + 0,03 - 0,25 i ^ - 0,25 3 j ^ + 0,05 v → C 0

p → 0 = - 0,0375 i ^ - 0,0075 3 j ^ + 0,05 v → C 0

Agora, vamos calcular o momento linear final p → f

p → f = m A + m B + m C v →

p → f = 0,02 + 0,03 + 0,05 0,5 i ^

p → f = 0,05 i ^   k g ⋅ m / s

Passo 5

Igualando os momentos lineares vamos ter

- 0,0375 i ^ - 0,0075 3 j ^ + 0,05 v → C 0 = 0,05 i ^

0,05 v → C 0 = 0,0875 i ^ + 0,0075 3 j ^

v → C 0 = 0,0875 i ^ + 0,0075 3 j ^ 0,05

v → C 0 = 1,75 i ^ + 0,15 3 j ^

Passo 6

b   Para achar a variação de energia cinética devemos achar a energia do sistema antes e depois.

A energia cinética antes é

K 0 = K A 0 + K B 0 + K C 0

Para a energia cinética devemos ter o módulo da velocidade dos corpos, precisamos então achar o módulo da velocidade de C

v C 0 2 = 1,75 2 + 0,15 3 2

v C 0 = 1,77   m / s

Passo 7

Vamos ter então

K 0 = K A 0 + K B 0 + K C 0

K 0 = m A v A 0 2 2 + m B v B 0 2 2 + m C v C 0 2 2

K 0 = 0,02 ⋅ 1,5 2 2 + 0,03 ⋅ 0,5 2 2 + 0,05 ⋅ 1,77 2 2

K 0 = 0,1045   J

Passo 8

Vamos agora achar a energia cinética do conjunto depois do choque

K f = m A + m B + m C v 2 2

K f = 0,02 + 0,03 + 0,05 0,5 2 2

K f = 0,0125   J

Passo 9

A variação de energia cinética é

Δ K = K f - K 0

Δ K = 0,0125 - 0,1045  

Δ K = - 0,092   J

Resposta

a   v → C 0 = 1,75 i ^ + 0,15 3 j ^

( b )     Δ K = - 0,092   J

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 257

Uma bala de 8,00   g disparada por um rifle penetra e fica retida em um bloco de 0,992   k g ligado a uma mola e apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. O impacto produz uma compressão de 15   c m na mola. A calibração mostra que uma força de 0,750   N comprime a mola 0,250   c m . a Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto. b Qual era a velocidade inicial da bala?

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Passo 1

Temos uma colisão acontecendo, assim a primeira coisa a saber é que o momento linear do sistema é constante.

p → 0 = p → f

Ele não define a colisão, mas diz que as esferas ficam coladas, então depois da colisão todas tem a mesma velocidade, isso é o mesmo que falar que a colisão é inelástica.

Passo 2

a   Após o impacto, não vamos ter forças dissipativas, como o atrito, atuando. Isso nós diz que a energia mecânica do sistema DEPOIS da colisão é constante.

E m 0 = E m f

E m 0 = K

E m 0 = m b a l a + m b l o c o v c o n j 2 2

E m 0 = 0,008 + 0,992 v c o n j 2 2

E m 0 = v c o n j 2 2

Beleza agora a energia final

E m f = U e l

E m f = k Δ x 2 2

A compressão da mola foi de x = 0,15   m , assim

E m f = k 0,15 2 2

E m f = 0,01125 k

Repara que se igualarmos não vamos resolver nada porque temos duas incógnitas.

Passo 3

O enunciado nos diz que a calibração para 750   N comprime a mola 0,25   c m , então

F e l = k Δ x

0,750 = k ⋅ 0,0025

k = 300   N / m

Agora temos a energia mecânica final

Passo 4

Sabemos agora que

E m f = 0,01125 k = 3,375   J

Igualando as energias

v c o n j 2 2 = 3,375

v c o n j = 2,6   m / s

Passo 5

( b ) Vamos agora usar a conservação do momento linear, como estamos trabalhando com uma dimensão não precisamos escrever vetorialmente.

p o = p f

m b a l a ⋅ v b a l a + m b l o c o ⋅ v b l o c o = m b a l a + m b l o c o v c o n j

Substituindo os valores dados e a velocidade final do conjunto que acabamos de encontrar, temos

0,008 . v b a l a = 0,008 + 0,992 ⋅ 2,6  

v b a l a = 325   m / s

Resposta

a   v = 2,6   m / s

b   v b a l a = 325   m / s

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 276–17

Sobre uma mesa de ar horizontal sem atrito, o disco de hóquei A   (com massa igual a 0,250   k g ) se desloca de encontro ao disco de hóquei B (com massa igual a 0,350   k g ), que inicialmente está em repouso. Depois da colisão o disco de hóquei A   possui velocidade igual a 0,120   m / s da direita para a esquerda e o disco de hóquei B possui velocidade igual a 0,650   m / s da esquerda para a direita. a   Qual era a velocidade do disco de hóquei A antes da colisão? b Calcule a variação da energia cinética total do sistema ocorrida durante a colisão.

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Passo 1

Como o problema não diz qual é o tipo de colisão, só podemos dizer que o momento linear do sistema se conserva. Sendo assim vamos usar a equação

p 0 = p f

m A . v A 0 + m B . v B 0 = m A . v A f + m B . v B f

Não precisamos usar a fórmula vetorial, pois o movimento é unidimensional

Passo 2

a Para descobrir a velocidade inical do disco A ,   v A 0 , basta substituir os valores dado pelo enunciado na equação acima

0,250 . v A 0 + 0 = 0,250 . - 0,120 + 0,350 . 0,650

v A 0 = 0,79   m / s

Positivo, o que significa que o disco A   inicialmente se locomovia da esquerda para a direita

Passo 3

b     A enercia cinética inicial K 0 é dada por

K 0 = 1 2 . m A . v A 0 2

K 0 = 1 2 . 0,250 . 0,79 2

K 0 = 0,078   J

Já a energia cinética final K f é dada por

K f =   1 2 . m A . v A f 2 + 1 2 . m B . v B f 2

K f = 1 2 . 0,250 . 0,12 2 + 1 2 . 0,350 . 0.650 2

K f = 0,076   j

Passo 4

Agora podemos fazer a variação de energia cinética

Δ K = K f - K 0

Δ K = 0,076 - 0,078

Δ K = - 0,002   J

Resposta

a   v A 0 = 0,79   m / s

b   Δ K = - 0,002   J  

Exercício Resolvido #6

UFRJ – Prova Final – 2014.1

Duas partículas A e B de massas iguais colidem unidimensionalmente ao longo do eixo O X . Os gráficos a seguir representam as velocidades em função do tempo para cada partícula. Se P → é o momento linear do sistema formado pelas duas partículas e K sua energia cinética, podemos afirmar que nessa colisão

a P →   se conserva e K