Exercícios Resolvidos de Fluxo em Curvas

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Enunciado

Considere um campo de vetores G ( x , y ) e uma curva C , fechada, de forma retangular, como na figura abaixo. Analise o sinal da integral de linha ∫ G . n d s ( n é o versor normal exterior) sobre cada um dos segmentos de C . O fluxo de G sobre C é positivo ou negativo? Justifique as respostas.

Passo 1

Essa questão é resolvida basicamente pelos conceitos de produto escalar. Nós queremos saber o sinal da integral de linha

∫ G . n d s

Para cada um dos segmentos do retângulo. Vamos começar com o segmento C B .

Se a curva está orientada com a normal n apontando para fora e, nesse trecho, o campo G (como vemos pela figura) tem a mesma direção e sentido de n , sabemos que o produto escalar é positivo.

Em outras palavras: a projeção do campo na direção de n tem o mesmo sentido de n , portanto, o fluxo é positivo.

Seguindo esse mesmo raciocínio para o trecho A D , temos o resultado oposto: o fluxo é negativo. Isso porque a projeção do campo na direção de n tem sentido oposto a n .

Passo 2

Em resumo: a orientação positiva de C é com a normal para fora, logo, onde o campo “sai”, o fluxo é positivo, onde ele “entra” é negativo.

Em A B e A D é negativo e B C e C D   positivo.

ϕ A B < 0

ϕ A D < 0

ϕ B C > 0

ϕ C D > 0

Passo 3

Agora vamos analisar o fluxo total em C . Sabemos que em dois trechos o fluxo é positivo e em outros 2 negativo, mas isso não quer dizer que o total é zero!

Esses fluxos tem valores diferentes, dependendo do tamanho do vetor do campo no trecho.

Se você reparar, nos trechos A B e C D o campo tem o mesmo módulo, ou seja, seus vetores têm o mesmo tamanho. Portanto, os valores absolutos dos fluxos são o mesmo, porém, com sinal contrário. Assim, temos:

ϕ A B + ϕ C D = 0

Passo 4

Agora vamos ver os trechos A D e B C . O primeiro tem fluxo negativo e o segundo, positivo, sendo que o campo tem módulo maior no segundo. Portanto, podemos escrever:

ϕ A D + ϕ B C > 0

Passo 5

Sobre o fluxo total temos:

ϕ C = ϕ A B + ϕ C D ⏟ 0 + ϕ A D + ϕ B C

ϕ C = ϕ A D + ϕ B C > 0

Logo, o fluxo total é positivo.

Resposta

ϕ A B < 0

ϕ A D < 0

ϕ B C > 0

ϕ C D > 0

ϕ C > 0

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