Exercícios Resolvidos de Fluxo em Curvas

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Enunciado

Diga se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique.

O campo de vetores F : R 3 → R 3 definido por

F x , y , z = ( e x 2 cos ⁡ y ,   1 + 2 y 3 / 2 z ,   z 5 / 2 x )

Não tem potencial escalar nem potencial vetor.

Passo 1

Vamos começar pela primeira parte, o potencial escalar. Se isso for verdade, então existe uma função potencial f tal que

∇ f = F

E, para isso ser verdade, precisamos da condição:

r o t   F = 0

Então, vamos calcular isso aí.

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = - 1 + 2 y 3 2 , 0 - z 5 2 , 0 + e x 2 s e n   y = - 1 + 2 y 3 2 , - z 5 2 , e x 2 s e n   y ≠ 0

Como há pontos para os quais o rotacional do campo não se anula, então ele de fato não tem potencial escalar.

Passo 2

Agora vamos para a segunda parte, o potencial vetor. Vamos supor que exista um campo G tal que:

F = r o t   G

Nesse caso,

d i v r o t G = 0

d i v r o t G   = d i v F = 2 x   e x 2 cos ⁡ y + 3 z 1 + 2 y 1 / 2 + 5 2 z 3 / 2 x ≠ 0

Como há pontos para os quais d i v ( F ) ≠ 0 , então o campo realmente não tem potencial vetor.

Resposta

Verdadeira.

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Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?
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