Enunciado

Use o Teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F → = x 2 + 4 y i + x + y 2 j e a curva C : quadrado limitado por x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 1 .

Passo 1

Lembra como se calcula a circulação de um campo vetorial F sobre uma curva C? Temos que usar essa integral de linha:

∮ C F →   ∙ d l → = ∮ C x 2 + 4 y d x + x + y 2 d y

É útil desenhar a curva C que foi descrita no enunciado:

Quando calculamos a integral de linha do campo F → ao longo das bordas desse quadrado, o Teorema de Green permite que a gente diga o seguinte:

∮ P d x + Q d y = ∬ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Como no nosso caso P = ( x 2 + 4 y ) e Q = ( x + y 2 ) , podemos usar o teorema para faciliar o cálculo da nossa integral de linha!

∮ C F → ∙   d l → = ∮ C x 2 + 4 y d x + x + y 2 d y = ∬ R ∂ ∂ x x + y 2 - ∂ ∂ y x 2 + 4 y d x d y

Beleza, então a integral que precisamos resolver para calcular a circulação é essa aqui:

∬ R ∂ ∂ x x + y 2 - ∂ ∂ y x 2 + 4 y d x d y

Passo 2

Vamos começar calculando aquelas derivadas parciais:

∂ ∂ x x + y 2 = 1

∂ ∂ y x 2 + 4 y = 4

Substituindo isso na integral:

∬   R 1 - 4 d x d y = - 3 ∬ R d x d y

Mas a gente sabe que ∬ R d x d y é simplesmente a área da região definida pela curva C ! Então se chamarmos essa área de A , nossa integral é:

- 3 ∬ R d x d y = - 3 A

Como a região em questão é um quadrado de lado 1 , a área é simplesmente:

A = 1 2 = 1

E então:

∮ C F → ∙   d l → = - 3

Esse é o valor da circulação do campo F → pela curva C !

Passo 3

Agora vamos ver o fluxo. Tome muito cuidado, porque aqui estamos trabalhando com o plano, e não com o espaço. Por isso, a definição do fluxo é essa aqui:

∮ C F →   ∙ n →

Parecida com a anterior né? Mas é bem diferente! Na circulação, nós integramos o produto escalar do campo com a tangente, aqui nos integramos o produto escalar do campo com a normal.

Mas tudo bem, isso foi só um esclarecimento, porque nós não vamos calcular essa integral diretamente, vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) no plano!

Lembra da fórmula nesse caso?

∮ C F →   ∙ n → = ∬ R ∇ ∙ F →   d x d y

Onde esse ∇ ∙ F → é o divergente do campo vetorial F → .

Passo 4

Então vamos começar a resolver essa integral:

∬ R ∇ ∙ F →   d x d y

A fórmula para o ∇ ∙ F → é:

∇ ∙ F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y

Onde F x , por exemplo, é a componente x do campo vetorial F . Então esse divergente vai ficar assim:

∇ ∙ F → = ∂ ∂ x x 2 + 4 y + ∂ ∂ y x + y 2

∇ ∙ F → = 2 x + 2 y = 2 ( x + y )

Substituindo isso na integral:

∬ R 2 ( x + y )   d x d y

2 ∬ R x + y   d x d y

Passo 5

Como a região R é quadrada (dê uma olhada na figura mais uma vez), é fácil definir os limites de integração:

2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y )   d x d y

Vamos resolver essa integral. Primeiro integrando em relação a x . A integral indefinida é:

∫ x + y d x = x 2 2 + y x + C

E então:

2 ∫ 0 1 1 2 2 + y 1 - 0 2 2 + y ( 0 )   d y

2 ∫ 0 1 1 2 + y   d y

∫ 0 1 ( 1 + 2 y )   d y

Agora vamos integrar em relação a y . A integral indefinida é:

∫ 1 + 2 y d y = y + y 2 + C

E então:

∫ 0 1 ( 1 + 2 y )   d y = 1 + 1 2 - 0 - 0 2 = 2

Pronto, esse é o valor da nossa integral, e portanto é o valor do fluxo do campo vetorial F no interior da curva C !

∮ C F →   ∙ n → = 2

Resposta

A circulação ∮ C F → ∙   d l → vale - 3 e o fluxo ∮ C F →   ∙ n → vale 2 .

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