Exercícios Resolvidos de Fluxo em Curvas

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 484-30.

Encontre o fluxo exterior do campo

F = x + y i - x 2 + y 2 j

Através do triângulo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( - 1,0 ) .

Passo 1

O que o exercício pede é o fluxo, que como vimos na teoria, podemos calcular por:

∫ γ F → ∙ n →   d t

Mas a nossa curva γ é um triângulo, composto de 3 retas, de forma que:

γ = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3

E por isso:

∫ γ F → ∙ n →   d t = ∫ C 1 F → ∙ n →   d t + ∫ C 2 F → ∙ n →   d t + ∫ C 3 F → ∙ n →   d t

Então vamos calcular uma por uma pra ficar bem organizado!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar por C 1 , que é a reta que vai de ( 1,0 ) a ( 0,1 ) , parametrizada por:

C 1 : σ → = 1 - t ,   t   ,   0 ≤ t ≤ 1

Lembramos que para encontrar o vetor normal, fazemos:

n → = d y d t , - d x d t = ( 1,1 )

E jogamos na integral:

∫ C 1 F → ∙ n →   d t = ∫ 0 1 1 - t + t ,   - 1 - t 2 + t 2 ∙ 1,1   d t

= ∫ 0 1 1 - 1 + 2 t - 2 t 2 d t = t 2 │ 0 1 - 2 t 3 3 │ 0 1

= 1 - 2 3 = 1 3

Até agora tudo bem, vamos ver a próxima!

Passo 3

Vamos repetir as contas, mas agora pra C 2 , que é a reta de ( 0,1 ) a ( - 1,0 ) , com parametrização:

C 2 : σ → = - t ,   1 - t   ,   0 ≤ t ≤ 1

E o vetor normal a gente acha da mesma forma:

n → = d y d t , - d x d t = ( - 1,1 )

Então jogamos na integral de novo:

∫ C 2 F → ∙ n →   d t = ∫ 0 1 - t + 1 - t ,   - - t 2 + 1 - t 2 ∙ - 1,1   d t

= ∫ 0 1 2 t - 1 - 1 + 2 t - 2 t 2 d t = ∫ 0 1 - 2 + 4 t - 2 t 2   d t

= - 2 t │ 0 1 + 2 t 2 │ 0 1 - 2 t 3 3 │ 0 1 = - 2 + 2 - 2 3 = - 2 3

Só mais uma agora, vamos lá!

Passo 4

Pra fechar, temos que C 3 é a reta ligando ( - 1,0 ) a ( 1,0 ) , que podemos parametrizar assim:

C 3 : σ → = t ,   0 ,     - 1 ≤ t ≤ 1

De novo, vamos ter o vetor normal:

n → = d y d t , - d x d t = ( 0 , - 1 )

E é só jogar na integral:

∫ C 3 F → ∙ n →   d t = ∫ - 1 1 t + 0 , - t 2 + 0 2 ∙ 0 , - 1   d t

= ∫ - 1 1 t , - t 2 0 , - 1 d t = ∫ - 1 1 t 2 d t = t 3 3 - 1 1 =

= 1 3 + 1 3 = 2 3

Pronto, agora é só somar tudo pra termos o resultado final!

Passo 5

Lembrando que gente tinha:

∫ γ F → ∙ n →   d t = ∫ C 1 F → ∙ n →   d t + ∫ C 2 F → ∙ n →   d t + ∫ C 3 F → ∙ n →   d t

Então o fluxo exterior ao triângulo vai ser:

∫ γ F → ∙ n →   d t = 1 3 - 2 3 + 2 3 = 1 3

Nada tão bizarro assim, só um pouquinho trabalhoso, né? Mas agora já foi, o que importa é que resolvemos a questão. haha

Resposta

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