Exercícios Resolvidos de Fluxo em Curvas

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 203-3.

Seja

F x , y = x x 2 + y 2 5 i + y x 2 + y 2 5 j

E n a normal unitária exterior ao círculo x 2 + y 2 1 . Calcule γ F n   d t onde γ = ( cos t , sin t ) , 0 t π .

Passo 1

O que a questão está pedindo uma integral de linha:

γ F n   d t

Onde n é o vetor normal a curva.

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Passo 2

Pra começar, vemos que γ é a paramentrização do círculo dado na questão (ou pelo menos parte dele, já que t só vai até π ). Já é um bom sinal!

Só falta verificar se o vetor normal a γ também é unitário.

Vamos lembrar que o vetor normal a curva pode ser obtido por:

n γ = d y d t ,   - d x d t = cos t , sin t

Que tem módulo:

n γ = cos t 2 + sin t 2 = 1

Ou seja, n γ é unitário também e, portanto, é igual ao vetor n dado na questão.

Passo 3

Só pra deixar organizado, vamos escrever o campo em função da parametrização:

F x t , y t = cos t cos 2 t + + sin 2 t 5   , sin t cos 2 t + + sin 2 t 5 = cos t , sin t

Muito prático, nada muito complicado comparado ao que tinhamos antes, né?

Agora que já temos tudo que precisamos, só precisamos jogar na integral:

γ F n   d t = 0 π cos t , sin t cos t , sin t   d t

= 0 π cos 2 t + sin 2 t d t = 0 π d t = t 0 π = π

Resposta

π

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