Exercícios Resolvidos de Introdução à Convecção

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Enunciado

A taxa de transferência de calor, por unidade de largura (normal à página), em uma seção longitudinal,, x 2 - x 1 , pode ser representada por q 12 ' = h 12 - x 2 - x 1 T s - T ∞ , onde h 12 - é o coeficiente médio na seção de comprimento x 2 - x 1 .

Considere escoamento laminar sobre uma placa plana com uma temperatura uniforme T s . A variação espacial do coeficiente convectivo local tem a forma h x = C x - 1 / 2 , onde C é uma constante.

a Partindo da equação da taxa convectiva na forma d q ' = h x d x T s - T ∞ , deduza uma expressão para h 12 - em termos de C , x 1 e x 2 .

b Deduza uma expressão para h 12 - em termos de x 1 , x 2 e dos coeficientes médios h 1 - e h 2 - , correspondentes aos comprimentos x 1 e x 2 respectivamente.

Passo 1

a Partindo da equação da taxa convectiva na forma d q ' = h x d x T s - T ∞ , deduza uma expressão para h 12 - em termos de C , x 1 e x 2 .

Beleza, temos que partir dessa equação aqui:

d q ' = h x d x T s - T ∞

Se integrarmos esse cara entre os pontos x 1 e x 2 (que estamos interessados), encontraremos o seguinte:

q 12 ' = ∫ x 1 x 2 h x d x T s - T ∞

Ao mesmo tempo, o próprio enunciado, como quem não quer nada, nos disse que:

q 12 ' = h 12 - x 2 - x 1 T s - T ∞

Opa! Se igualarmos essas duas expressões, teremos que:

h 12 - x 2 - x 1 T s - T ∞ = ∫ x 1 x 2 h x d x T s - T ∞

Reorganizando os termos:

h 12 - = 1 x 2 - x 1 ∫ x 1 x 2 h x d x

No próximo passo, vamos partir pra integração desse cara.

Passo 2

Segundo o enunciado, h x = C x - 1 / 2 . Substituindo isso na expressão de h 12 - :

h 12 - = 1 x 2 - x 1 ∫ x 1 x 2 C x - 1 / 2 d x

Agora é só integrar e arrumar a casa:

h 12 - = C x 2 - x 1 ∫ x 1 x 2 x - 1 / 2 d x

h 12 - = C x 2 - x 1 2 x 1 / 2 x 1 x 2

Finalmente:

h 12 - = 2 C x 2 - x 1 x 2 - x 1

Passo 3

b Deduza uma expressão para h 12 - em termos de x 1 , x 2 e dos coeficientes médios h 1 - e h 2 - , correspondentes aos comprimentos x 1 e x 2 respectivamente.

Então, nós podemos resolver essa questão de duas formas: calcular h 1 - , h 2 - e relacioná-los com h 12 - , ou utilizar a própria o conceito da taxa de transferência de calor dada pelo problema.

Os coeficientes médios h 1 - e h 2 - serão dados por:

h 1 - = 1 x 1 ∫ 0 x 1 C x - 1 / 2 d x = 2 C x 1 x 1

h 2 - = 2 C x 2 x 2

Agora o nosso objetivo é encaixar esses dois caras na expressão de h 12 - que encontramos no passo anterior.

Pra isso, vamos isolar as raízes em cada expressão, ok?

x 1 = h 1 - x 1 2 C

x 2 = h 2 - x 2 2 C

Substituindo na expressão de h 12 - , teremos:

h 12 - = 2 C x 2 - x 1 x 2 - x 1 = 2 C h 2 - x 2 2 C - h 1 - x 1 2 C x 2 - x 1

Organizando a bagunça, teremos que:

h 12 - = h 2 - x 2 - h 1 - x 1 x 2 - x 1

Resposta

a

h 12 - = 2 C x 2 - x 1 x 2 - x 1

b

h 12 - = h 2 - x 2 - h 1 - x 1 x 2 - x 1

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