Exercícios Resolvidos de Introdução às EDO's

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Enunciado

10. Sabendo que 1 e - 2 + i são raízes do polinômio característico da matriz A = 1 0 - 2 - 5 6 11 5 - 5 - 10 e que o auto-espaço de A associado ao autovalor - 2 + i é gerado pelo vetor 2 , - 3 +   i , 3 - i , pode-se afirmar corretamente que uma base para o espaço vetorial formado pelas soluções reais do sistema de equações diferenciais X ' t = A X t é dada por

(A) e t 1,1 , 0 , e - 2 t 2   c o s t , - 3   c o s t - s e n t , 3   c o s t + s e n t , e - 2 t 2   s e n t , c o s t - 3   s e n t , - c o s t + 3   s e n t

(B) e t 1,0 , 1 , e - 2 t 2   c o s t , - 3   c o s t + 2   s e n t , 3   c o s t + 2   s e n t , e - 2 t 2   s e n t , 3   c o s t - 2   s e n t , - 3   c o s t - 2   s e n t

(C) e t 1,1 , 0 , e - 2 t 2   c o s t , - 3   c o s t + 2   s e n t , 3   c o s t + 2   s e n t , e - 2 t - 2   s e n t , 3   c o s t - 2   s e n t , - 3   c o s t - 2   s e n t

(D) e t 1,0 , 1 , e - 2 t 2   c o s t , - 3   c o s t - 4   s e n t , 3   c o s t + 4   s e n t , e - 2 t 2   s e n t , - 2   c o s t + 4   s e n t , c o s t - 2   s e n t

(E) e t 1,1 , 0 , e - 2 t 2   c o s t , 2   c o s t - 3   s e n t , c o s t + s e n t , e - 2 t 2   s e n t , 3   c o s t + s e n t , 2   c o s t - s e n t

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter a solução do sistema de EDO’s dada por X ' t = A X t em que

A = 1 0 - 2 - 5 6 11 5 - 5 - 10

A questão nos deu os dois autovalores de A , λ 1 = 1 e λ 2 = - 2 + i .

Sabemos também que o autovetor associado a λ 2 é dado por v 2 = 2 , - 3 +   i , 3 - i .

E aí, o que nos resta para obter o resultado? 🤔

Para uma EDO dada dessa forma (matricial) precisamos obter apenas os autovalores e os auto vetores associados a cada auto valor.

Grande parte do trabalho já foi feito quando a questão nos deu λ 1 , λ 2 e v 2 , então o que precisamos fazer é obter o autovetor associado a λ 1 ...

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Obtemos v 1 como

A - λ 1 I v 1 = 0

1 - 1 0 - 2 - 5 6 - 1 11 5 - 5 - 10 - 1 x y z = 0

0 0 - 2 - 5 5 11 5 - 5 - 1 1 x y z = 0

Assim conseguimos 3 equações

- 2 z = 0 - 5 x + 5 y + 11 z = 0 5 x - 5 y - 11 z = 0 → x = y y = y z = 0

Fazendo y = 1 , nosso autovetor v 1 será dado por

v 1 = 1,1 , 0

Com todas as ferramentas em mãos, fazemos nossa solução

X ' t = A X t

x ' t y ' t z ' t = 1 0 - 2 - 5 6 11 5 - 5 - 10 x t y t z t

λ 1 = 1 v 1 = 1,1 , 0 λ 2 = - 2 + i v 2 = 2 , - 3 +   i , 3 - i

Dados os autovalores e os autovetores associados a cada autovalor, temos que a solução geral para um sistema desse tipo é dado por

X t = e λ 1 t v 1 , e λ 2 t v 2

Porém, como λ 2 e v 2 fazem parte dos números imaginários, temos que a solução e λ 2 v 2 será um pouco diferente.

X t = e λ 1 t v 1 , e a t α 1 cos ⁡ b t + β 1 s e n b t , α 2 cos ⁡ b t + β 2 s e n b t , α 3 cos ⁡ b t + β 3 s e n b t , e a t β 1 cos ⁡ b t - α 1 s e n b t , β 2 cos ⁡ b t - α 2 s e n b t , β 3 cos ⁡ b t - α 3 s e n b t

Grandinho, não é? 👀

Passo 3

Aqui temos que prestar muita atenção pois v 2 tem três dimensões, então se em uma dimensão a solução para uma única dimensão de um vetor imaginário temos

r t = e a t α cos ⁡ b t + β s e n b t , e a β cos ⁡ b t - α s e n b t

Para 3 dimensões, temos que aplicar para as três componentes dos vetores...

Mas enfim, essa é a formula geral, mas o que é a , b , α e β ?

Em um autovalor imaginário, temos

λ = a + b i

Já para um autovetor desse λ , temos

v = α + β i

No nosso caso, o autovetor tem 3 dimensões, ou seja

v = α 1 + β 1 i , α 2 + β 2 i , α 3 + β 3 i

Comparando os valores de a , b , α e β com a solução λ 2 e v 2 , temos que a = - 2 , b = 1 , α 1 = 2 , β 1 = 0 , α 2 = - 3 , β 2 = 1 , α 3 = 3 e β 3 = - 1 .

Substituindo em X t ...

X t = e t v 1 , e - 2 t 2 cos ⁡ t + 0 s e n t , - 3 cos ⁡ t + s e n t , 3 cos ⁡ t - s e n t , e - 2 t 0 cos ⁡ t + 2 s e n t , cos ⁡ t + 3 s e n t , - cos ⁡ t - 3 s e n t

X t = e t v 1 , e - 2 t 2 cos ⁡ t , - 3 cos ⁡ t + s e n t , 3 cos ⁡ t - s e n t , e - 2 t 2 s e n t , cos ⁡ t + 3 s e n t , - cos ⁡ t - 3 s e n t

Comparando esse resultado com as alternativas, temos que a resposta é a letra a)!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

(A) e t 1,1 , 0 , e - 2 t 2   c o s t , - 3   c o s t - s e n t , 3   c o s t + s e n t , e - 2 t 2   s e n t , c o s t - 3   s e n t , - c o s t + 3   s e n t