Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2015.1, Questão 04

Os autovalores da matriz A = 5 4 1 4 3 4 7 4 são 2 e 1 . Seja S = v 1 , v 2 , uma sequência de vetores, onde v k é a primeira coluna da matriz A k . A inclinação dos vetores da sequência S tende à inclinação de uma reta. Qual?

a   t 1,3

b   t 1 , - 1

c   t 1,4

d   t 1 , - 2

Passo 1

Eita, essa afirmação aí ta meio confusa né? Eu pelo menos precisei ler algumas vezes pra entender o que ele queria haha. A palavra chave está no tende! Que ideia isso te dá? Limite né! Então o que ele quer saber é simplesmente a direção do vetor v k com k tendendo ao infinito. E como v k é a primeira coluna da matriz A k , temos que elevar a matriz ao infinito! Logo nosso problema agora é:

lim k A k

E isso nós sabemos resolver!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma potenciação de matriz, a primeira coisa que precisamos fazer é diagonalizar ela! Já sabemos seus autovalores então só falta acharmos os autovetores associados:

λ = 2 :

5 4 - 2 1 4 3 4 7 4 - 2 0 0 = - 3 4 1 4 3 4 - 1 4 0 0 L 2 L 2 + L 1 - 3 4 1 4 0 0 0 0

- 3 4 x + 1 4 y = 0

3 x = y

Então o autoespaço desse autovalor é assim:

x , 3 x = x 1,3

λ = 1 :

5 4 - 1 1 4 3 4 7 4 - 1 0 0 = 1 4 1 4 3 4 3 4 0 0 L 2 L 2 - 3 L 1 1 4 1 4 0 0 0 0

1 4 x + 1 4 y = 0

- x = y

Então o autoespaço desse autovalor é assim:

x , - x = x 1 , - 1

Passo 3

Então temos nossa diagonalização:

A = 1 1 - 1 3 1 0 0 2 1 1 - 1 3 - 1

A = 1 1 - 1 3 1 0 0 2 3 4 - 1 4 1 4 1 4

A k = 1 1 - 1 3 1 k 0 0 2 k 3 4 - 1 4 1 4 1 4

lim k A k = 1 1 - 1 3 1 0 0 2 k 3 4 - 1 4 1 4 1 4 = 1 2 k - 1 3 2 k 3 4 - 1 4 1 4 1 4 =

3 4 + 2 k 4 - 1 4 + 2 k 4 - 3 4 + 3 2 k 4 1 4 + 3 2 k 4

Passo 4

Bom, a primeira coluna da nossa matriz é essa:

l i m k 3 4 + 2 k 4 , - 3 4 + 3 2 k 4

Concorda que quando fizemos o 2 , aquele 3 4 somando e subtraindo não vão mais importar? Então:

l i m k 3 4 + 2 k 4 , - 3 4 + 3 2 k 4 l i m k 2 k 4 , 3 2 k 4

Opa agora sim temos algo legal! Repare que esse vetor tem a segunda coordenada igual ao triplo da primeira! Ele pode ser escrito assim:

l i m k 2 k 4 1 , 3 = 1,3 l i m k 2 k 4

Bom, mas esse vetor é simplesmente o vetor 1,3 multiplicado por um número! Ou seja, sua direção é a mesma do 1,3 ! Então já chegamos à nossa resposta ;)

Resposta

Letra a

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