Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

A5 T10

Considere a matriz

A = 1 2 2 1 ,

e determine se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Existe um vetor v não nulo tal que lim k → ∞ ⁡ A k v = 0 .
  2. Existe um vetor v não nulo tal que   lim k → ∞ ⁡ A 2 k v existe.

a   Ambas são verdadeiras.

b I é falsa e I I é verdadeira.

c   Ambas são falsas.

d   I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Se apareceu limite de matriz, então temos que diagonalizar!

det ⁡ 1 - λ 2 2 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 - 4 = 0

λ 2 - 2 λ - 3 = 0

λ = - 1   o u   3

Agora vamos achar quem são os autoespaços:

λ = - 1 :

2 2 2 2 0 0 ~ 1 1 0 0 0 0 ⇒ x + y = 0 ⇒ y = - x

O autoespaço tem essa cara:

x , - x = x 1 , - 1

λ = 3 :

- 2 2 2 - 2 0 0 ~ - 1 1 0 0 0 0 ⇒ - x + y = 0 ⇒ x = y

Então o autoespaço é assim:

x , x = x 1,1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto, nossa matriz diagonalizada fica assim:

A = 1 1 - 1 1 - 1 0 0 3 1 1 - 1 1 - 1 = 1 2 1 1 - 1 1 - 1 0 0 3 1 - 1 1 1

A k = 1 2 1 1 - 1 1 - 1 0 0 3 k 1 - 1 1 1 = 1 2 1 1 - 1 1 - 1 k 0 0 3 k 1 - 1 1 1 =

= 1 2 - 1 k 3 k - - 1 k 3 k 1 - 1 1 1 = 1 2 - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - 1 k + 3 k

Temos então que:

lim k → ∞ ⁡ 1 2 - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - 1 k + 3 k = 1 2 ∞ ∞ ∞ ∞

Então, para que lim k → ∞ ⁡ A k v = 0 , temos que “zerar os infinitos”. Assim oh:

1 2 - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - - 1 k + 3 k - 1 k + 3 k x y = 0

- 1 k x + 3 k x - - 1 k y + 3 k y = 0 - - 1 k x + 3 k x + - 1 k y + 3 k y = 0

- 1 k x - y + 3 k x + y = 0 - 1 k y - x + 3 k x + y = 0       I I I

Somando as duas equações:

2 ∙ 3 k x + y = 0 ⇒ x + y = 0

Substituindo em I :

- 1 k x - y + 3 k 0 = 0 ⇒ - 1 k x - y = 0 ⇒ x - y = 0

Então chegamos à conclusão de que:

x + y = 0 ⇒ x = - y

x - y = 0 ⇒ x = y

A única forma disse ser verdade é se:

x = y = 0

Então essa afirmativa é falsa! A única forma de termos lim k → ∞ ⁡ A k v = 0 é com v = x , y = 0,0 .

Passo 3

Vamos ver agora se existe um vetor v não nulo tal que   lim k → ∞ ⁡ A 2 k v existe.

A 2 k = 1 2 1 1 - 1 1 - 1 2 k 0 0 3 2 k 1 - 1 1 1 = 1 2 1 1 - 1 1 1 k 0 0 9 k 1 - 1 1 1

= 1 2 1 9 k - 1 9 k 1 - 1 1 1 = 1 2 1 + 9 k - 1 + 9 k - 1 + 9 k 1 + 9 k

Para que o limite exista, temos que matar esses 9 k que estão indo pra infinito! Então:

1 2 1 + 9 k - 1 + 9 k - 1 + 9 k 1 + 9 k x y

A primeira equação fica:

1 2 x + 9 k x - y + 9 k y

Para eliminarmos os 9 k precisamos que y = - x :

1 2 x + 9 k x + x - 9 k x = 2 x 2 = x

Substituindo y = - x na segunda equação:

1 2 - x + 9 k x + y + 9 k y = 1 2 - x + 9 k x - x - 9 k x = - 2 x 2 = - x

Então se multiplicarmos nossa matriz por um vetor x , - x , teremos:

1 2 1 + 9 k - 1 + 9 k - 1 + 9 k 1 + 9 k x - x = x - x

Se fizermos o limite com k → ∞ :

lim k → ∞ ⁡ 1 2 1 + 9 k - 1 + 9 k - 1 + 9 k 1 + 9 k x - x = l i m k → ∞ x - x = x - x

Logo, o limite existe para qualquer vetor x , - x que escolhamos! Essa é verdadeira.

Resposta

Letra b

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