Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2015.1, Questão 06

Seja A uma matriz 2 × 2 e v um vetor não-nulo qualquer. Considere as afirmativas abaixo e assinale a afirmativa CORRETA:

  1. Se o traço de A é menor que zero, então lim k A k v sempre vai existir.
  2. Se o determinante de A é maior que zero, então lim k A k v sempre vai existir.

a   Ambas são verdadeiras

b Ambas são falsas

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

A primeira coisa que tem que lembrar é a seguinte:

t r A = λ 1 + λ 2

det A = λ 1 λ 2

Se ele quisesse apenas que l i m k A k existisse, nós sabemos que ele só vai existir se λ < 1 .

Mas pensa comigo, se esse l i m k A k desse algo assim:

l i m k 3 k 2 2 k 1

E o vetor v fosse 0,1 :

l i m k A k v = l i m k 3 k 2 2 k 1 0 1 = 2 1

Concorda que nesse caso o limite existe?

Bom, a nossa sorte é que ele afirma que o limite vai sempre existir. Então não basta que ele exista pra um caso específico, ele tem que existir para qualquer v ! Logo, voltamos à nossa condição:

λ < 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, ele diz que o traço é menor que 0 , então:

λ 1 + λ 2 < 0

Mas isso não garante que os autovalores tem módulo menor que 1 , então essa é falsa.

A segunda fala que o determinante é positivo:

λ 1 λ 2 > 0

Isso também não garante que o módulo seja menor que 1 , então é falsa também!

Resposta

Letra b  

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