Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2017.1, Questão 9

Considere uma matriz A = 1 4 3 4 3 4 1 4

I - Existe um vetor v tal que, à medida em que n aumenta, a magnitude de A n v cresce sem limite

I I - Existe um vetor v tal que, à medida em que n aumenta, a magnitude de A n v tende ao vetor nulo

(a) Ambas são verdadeiras

(b) Ambas são falsas

(c)   I é falsa e I I é verdadeira

(d)   I   é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela.

A n v = P D n P - 1 v

E que quando ele fala “a medida que n aumenta” ele ta falando de limite:

lim n A n v = lim n P D n P - 1 v

Como D n é o único termo que depende de n   nesse limite, vamos analisar ele separadamente. Sabemos que D   é a matriz diagonal de autovalores da matriz, então vamos achar esses autovalores!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achando o polinômio característico:

p λ = det A - I λ

p λ = 1 4 - λ 3 4 3 4 1 4 - λ = 1 4 - λ 2 - 9 16 = 1 16 - λ 2 + λ 2 - 9 16 = λ 2 - λ 2 - 1 2

λ 2 - λ 2 - 1 2 = 0

λ = 1   o u - 0,5

Assim, a matriz D   vai ser:

D = 1 0 0 - 0,5

D n = 1 n 0 0 - 0,5 n

Passo 3

Vamos ver o limite:

D n = 1 n 0 0 - 0,5 n

lim n D n = lim n 1 n 0 0 lim n - 0,5 n = 1 0 0 0

Então repara que, não importa o vetor v , P D n P - 1 v nunca vai crescer sem limites! Então, a afirmação I é falsa!

Passo 4

Pra analisar a I I vamos precisar dos autovetores!

λ = 1 :

A - I = 0 - 3 4 3 4 3 4 - 3 4   0   0   x = y

v λ = 1 = 1 1

λ = - 0,5 :

A + 0,5 I = 0 3 4 3 4 3 4 3 4   0   0   x = - y

v λ = - 0,5 = 1 - 1

Então,

P = 1 1 1 - 1

E

P - 1 = 1 det P - 1 - 1 - 1 1 = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Passo 5

Então,

A = P D P - 1 = 1 1 1 - 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2

Beleza, então repara que, para qualquer vetor da forma v = t 1 , - 1 , A n v tende à 0 a medida que n tende ao infinito! Então essa é verdadeira!

Resposta

Letra c

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