Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

Curso Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 214 e 211 Prob. 7.15 b), Ext. 7.23 a).

Calcule:

a   lim k 0.6 0.2 0.4 0.8 k

b   lim k 0.4 0.3 0.6 0.7 k

Passo 1

a   Bom, para elevarmos uma matriz a um expoente precisamos diagonalizá-la, logo vamos a busca pelos autovalores e autovetores.

Antes, vamos os elementos da matriz para frações:

A = 3 5 1 5 2 5 4 5

A - λ I = 3 5 - λ 1 5 2 5 4 5 - λ

Calculando os autovalores:

p λ = det A - λ I = λ 2 - 7 5 λ + 2 5

p λ = λ - 1 λ - 2 5 = 0

λ = 1   o u   λ = 2 5

Fazendo algumas contas podemos ver que o autoespaço:

Para λ = 1 é:

V λ = 1 = s p a n 1,2

E para λ = 2 5 :

V λ = 2 5 = s p a n { - 1,1 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos os autovetores, vamos diagonalizar:

A = P D P - 1

Como:

D = 1 0 0 2 5

lim k A k = P lim k D k P - 1

Basta calcularmos o limite da matriz diagonal:

lim k D k = lim k 1 k 0 0 lim k 2 5 k = 1 0 0 0

Agora como temos os autovetores podemos ver que:

P = 1 - 1 2 1

P - 1 = 1 3 1 3 - 2 3 1 3

lim k A k = 1 - 1 2 1 1 0 0 0 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 3 1 3 2 3 2 3

Passo 3

b   Vamos seguir o mesmo procedimento da letra a .

B - λ I = 2 5 - λ 3 10 3 5 7 10 - λ

det B - λ I = λ 2 - 11 10 λ + 1 10

p λ = λ - 1 λ - 1 10 = 0

λ = 1   o u   λ = 1 10  

Fazendo algumas contas verificamos que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 1,2

Para λ = 1 10 :

V λ = 0 = s p a n { - 1,1 }

Passo 4

Agora vamos ao limite! Mas antes vamos montar a matriz dos autovetores e sua inversa!

P = 1 - 1 2 1

P - 1 = 1 3 1 3 - 2 3 1 3

lim k B k = P lim k D k P - 1

lim k D k = lim k 1 k 0 0 lim k 1 10 k = 1 0 0 0

Agora, podemos ver que obtemos matriz P , D , P - 1 iguais a letra a), logo o resultado dará o mesmo.

lim k A k = 1 - 1 2 1 1 0 0 0 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 3 1 3 2 3 2 3

Resposta

a   1 3 1 3 2 3 2 3

b   1 3 1 3 2 3 2 3

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