Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2017.1, Questão 4

Considere a matriz A = 5 4 1 4 1 4 5 4 :

I - Existe um vetor não-nulo v tal que, à medida em que n aumenta, a magnitude de A n v cresce sem limite

I I - Existe um vetor não-nulo v   tal que, à medida em que n aumenta, A n v tende ao vetor nulo

  1. Ambas são falsas
  2. Ambas são verdadeiras
  3. I é falsa e a I I é verdadeira
  4. I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela.

A n v = P D n P - 1 v

E que quando ele fala “a medida que n aumenta” ele ta falando de limite:

lim n A n v = lim n P D n P - 1 v

Como D n é o único termo que depende de n   nesse limite, vamos analisar ele separadamente. Sabemos que D   é a matriz diagonal de autovalores da matriz, então vamos achar esses autovalores!

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Passo 2

Achando o polinômio característico:

p λ = det A - I λ

p λ = 5 4 - λ 1 4 1 4 5 4 - λ = 5 4 - λ 2 - 1 16

p λ = 25 16 - 5 2 λ + λ 2 - 1 16 = λ 2 - 5 2 λ + 24 16

λ = 1   e   λ = 3 2

Assim, a matriz D   vai ser:

D = 1 0 0 1,5

D n = 1 n 0 0 1,5 n

Agora precisamos dos autovalores para encontrarmos P D n P - 1 !

Passo 3

λ = 1 :

A - I = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0 0 x = - y

v λ = 1 = 1 - 1

λ = 1,5 :

A - 1,5 I = 0 - 0,25 0,25 0,25 - 0,25 0 0 x = y

v λ = 1,5 = 1 1

Passo 4

Então,

P = 1 1 - 1 1

E,

P - 1 = 1 det P 1 - 1 1 1 = 0,5 - 0,5 0,5 0,5

Passo 5

Fazendo a multiplicação:

A n = P D n P - 1 = 1 1 - 1 1 1 0 0 1,5 n 0,5 - 0,5 0,5 0,5 = 1 1,5 n - 1 1,5 n 0,5 - 0,5 0,5 0,5

A n = 0,5 1,5 n + 0,5 0,5 1,5 n - 0,5 0,5 1,5 n - 0,5 0,5 1,5 n + 0,5

Se fizermos o limite indo pra infinito já que ele pede pra qual vetor A n v tende,

lim n A n = lim n 0,5 1,5 n - 0,5 0,5 1,5 n + 0,5 0,5 1,5 n + 0,5 0,5 1,5 n - 0,5

Passo 6

Vamos analisar agora as afirmativas:

I - Existe um vetor não-nulo v tal que, à medida em que n aumenta, a magnitude de A n v cresce sem limite

Claro né? Por exemplo, v = 1,0 . O produto A n v vai ficar:

0,5 1,5 n - 0,5 0,5 1,5 n + 0,5

Com n indo pra infinito, esse vetor também vai pra infinito. Afirmativa correta!

Passo 7

I I - Existe um vetor não-nulo v   tal que, à medida em que n aumenta, A n v tende ao vetor nulo

Bom, pra gente tentar fazer isso, temos que dar um jeito naquele infinito né? Repara no que acontece se v = 1 , - 1 :

A n v = - 1 1

Opa, conseguimos sumir com o infinito! Mas não chegamos no vetor nulo =/

Então apesar de conseguirmos fazer o produto não crescer sem limites, não conseguimos fazer ele ir pra zero! Afirmativa falsa!

Resposta

Letra D

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