Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2014.2, Questão 13

A matriz A , 2 × 2 , possui os autovetores 1,1 e 1 , - 1 associados, respectivamente, aos autovalores - 1 2 e 1 . Seja v = 2,3 . Calcule o limite de A n v quando n tende ao infinito:

a   5 2 , 5 2

b   - 1 2 , 5 2

c   - 1 2 , 1 2

d   5 2 , - 1 2

Passo 1

Falou em limite já sabe né? Temos que diagonalizar! Por sorte nos deram informações o suficiente pra diagonalizar A sem contas:

A = P D P - 1 = 1 1 1 - 1 - 1 2 0 0 1 1 1 1 - 1 - 1

1 1 1 - 1 - 1 = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

A = 1 1 1 - 1 - 1 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2 - 1 2

A n = 1 1 1 - 1 - 1 2 0 0 1 n 1 2 1 2 1 2 - 1 2

lim n A n = 1 1 1 - 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = 0 1 0 - 1 1 2 1 2 1 2 - 1 2 = 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2

lim n A n v = 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 2 3 = - 1 2 1 2

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Resposta

Letra ( c )

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