Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

Elaboração própria

Seja u = ( 1 , 2 , 2 ) e A = 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1 1 0 0 0 - 2 0 0 0 4 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 . Para qual direção converge o produto A k u , quando k tende a infinito?

a   Não converge

b   s p a n 1,3 , 2

c   s p a n 10,1 , 12

d   s p a n { 1,1 , 1 }

Passo 1

Para elevar uma matriz a um expoente, podemos elevar a matriz diagonal ao mesmo expoente e depois efetuar o resto dos produtos. Beleza! Mas nesse caso, se você tentar elevar a diagonal ao expoente teremos:

1 k 0 0 0 ( - 2 ) k 0 0 0 4 k

E se você tentar fazer o k tender a infinito, não vai adiantar nada, já que vai ficar assim:

1 0 0 0 0 0 0

Opa, então a resposta é que não converge né? Matei!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só que não jovem gafanhoto! Você não ta tirando o limite só de D k , mas sim de P D k P - 1 u ! Vamos ver no que dá se resolvermos essa multiplicação:

lim k A k u = lim k 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1 1 0 0 0 ( - 2 ) k 0 0 0 4 k 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 u

Resolvendo esse produto feio ai: lim k A k u = lim k 1 - 2 k 4 k 0 - 2 k 4 k 0 - - 2 k 4 k 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 u = lim k 1 - 1 + - 2 k 2 + 4 k 2 - - 2 k 2 + 4 k 2 0 - 2 k 2 + 4 k 2 - - 2 k 2 + 4 k 2 0 - - 2 k 2 + 4 k 2 - 2 k 2 + 4 k 2 u

Então

lim k A k u = lim k - 1 + 2 4 k 2 4 k 2 4 k

Opa! Vambora que ta ficando bonito!

Passo 3

Repara agora naquela primeira coordenada lá:

lim k - 1 + 2 4 k

Você ta subtraindo 1 de um cara gigantesco indo pro infinito! Tu acha que aquele 1 vai fazer alguma coisa naquele porrolhão? Não né! Então vamos jogar ele fora que no limite não vai mudar nossa conta! Ficamos com:

lim k A k u = lim k 2 4 k 2 4 k 2 4 k

Agora repara o seguinte, vamos passar o 2 4 k pra fora do vetor:

lim k A k u = lim k 2 4 k 1 1 1

Temos o que? Um número constante MUUUUUITO grande multiplicando o vetor 1,1 , 1 . Opa, uma constante multiplicando um vetor não costuma mudar a direção desse vetor não né? Então, no limite de k indo pra infinito, A k u tem a direção de ninguém mais ninguém menos que 1,1 , 1 !

Resposta

Letra d

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