Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2016.1, Questão 16

Seja A uma matriz 2 × 2 com um autovalor igual a - 0,5 e outro igual a - 0,99 , então:

  1. Existe um vetor v tal que lim n A n v =
  2. Existe um vetor v tal que lim n A n v = 0

a   I é falsa e I I é verdadeira.

b   I e I I são falsas.

c   I é verdadeira e I I é falsa.

d   I e I I são verdadeiras.

Passo 1

Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela, e nosso limite vira:

lim n A n v = lim n P D n P - 1 v

Como D n é o único termo que depende de n nesse limite vamos analisar ele separadamente. Sabemos que D é a matriz diagonal de autovalores da matriz então:

D = - 0,5 0 0 - 0,99

D n = - 0,5 n 0 0 - 0,99 n

E sabemos que o limite de qualquer número cujo módulo é menor que 1 elevado ao infinito é 0 , então:

lim n D n = l i m n - 0,5 n 0 0 l i m n - 0,99 n = 0 0 0 0

Finalmente, substituímos no nosso limite lá em cima:

lim n P D n P - 1 v = P 0 P - 1 v = 0

onde 0 representa a matriz 0 0 0 0 . Com isso, vemos que esse limite será 0 para qualquer v ! Então a I é falsa e a I I é verdadeira.

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Resposta

Letra a

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