Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2018.1, Questão 14

Seja A uma matriz 2 x 2 não invertível, que possui um autorvalor 0 < λ < 1 e seja { v , w } uma base de R 2 . Considere as afirmações:

(I) { A v , A w } é LD

(II) lim n A n v =   lim n A n w

(a) Ambas são falsas.

(b) Ambas são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

A matriz A é quadrada (pois o número de linhas é igual ao de colunas).

A questão disse também que a matriz A é não invertível. Isso é a mesma coisa que dizer que:

  • A possui colunas ou linhas LD
  • N u c A { 0 }

Do primeiro ponto, como A é 2 x 2 , tiramos que uma linha (coluna) é múltipla da outra.

Do segundo, sabemos que se o núcleo tem elemento não nulo, então esse elemento é autovetor associado ao autovalor λ = 0 .

Então, além do autovalor 0 < λ < 1 que foi dado no enunciado, sabemos que A também possui autovalor 0.

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Passo 2

(I) { A v , A w } é LD

O conjunto { v , w } é uma base do R 2 . Daí tiramos que os vetores v e w são LI.

Como vimos antes que A tem colunas ou linhas LD, se aplicarmos a matriz A a dois vetores LI, teremos como resultados outros dois vetores LD.

Se você não acredita, vamos testar!!

Vamos pegar dois vetores LI em R 2 e aplicar uma matriz A com linhas e colunas LD a eles.

2 1 2 1 1 0 = 2 2

2 1 2 1 0 1 = 1 1

Os vetores ( 1,1 ) e ( 2,2 ) que achamos são LD 😊

Então a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(II) lim n A n v =   lim n A n w

Aqui vai entrar a parte dos autovalores, porque sempre que queremos elevar uma matriz a um expoente real precisamos diagonaliza-la.

Uma matriz diagonalizada fica na forma:

A = P D P - 1

Onde P é a matriz que contém os autovetores em colunas e D é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Pra elevar A a um expoente real, fazemos então:

A n = P D n P - 1

Como vimos, 0 é um autovalor da matriz A, enquanto o outro vamos chamar de λ mesmo.

A matriz D vai ficar então:

D = λ 0 0 0

Não vamos gastar tempo montando uma matriz para P, vamos continuar representando-a como P.

Então se fizermos A n , teremos:

A n = P λ n 0 0 0 P - 1

Agora vamos tomar o limite com n tendendo a infinito dos dois lados dessa expressão!

lim n A n = l i m n P λ n 0 0 0 P - 1 = P lim n λ n 0 0 0 P - 1

Agora lembra que o enunciado disse que 0 < λ < 1 ???

Então:

lim n λ n = 0

E aí ficamos com:

lim n A n = 0

Logo tanto faz qual vetor aplicamos ao lado direito desse limite: o resultado vai ser uma matriz nula vezes esse vetor, que vai dar o vetor nulo.

Então a afirmação (II) é verdadeira, pois:

lim n A n v =   lim n A n w = 0

Resposta

(b) Ambas são verdadeiras.

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