Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2015.2.1, Questão 04

Seja A = M D M - 1 :

A = - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1

Seja v = 12 , 4,1 . Quando n tende a infinito, a direção de A n v converge para a direção da reta:

( a ) s p a n 14,5 , 1

( b ) s p a n - 3 , - 5,0

( c ) s p a n 3,1 , 0

( d ) s p a n 9,3 , 1

Passo 1

O segredo tá naquele converge do enunciado! O que isso te lembra? Limites!! Além disso, ele já foi bonzinho e deu pra gente a matriz A diagonalizada!

Então, o que ele está pedindo no final das contas é a direção do vetor:

lim n A n v = lim n M D n M - 1 v = l i m n - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 n 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 n 0 0 0 4 n 0 0 0 0 n 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 n 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n - 5 3 4 n 0 - 2 4 n 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n 6 4 n - 5 - 15 4 n + 15 - 9 4 n - 5 2 4 n - 2 - 5 4 n + 6 - 3 4 n - 2 0 0 0 12 4 1

Tá, antes de continuarmos com esse negócio feio, repare no seguinte! Temos um número absurdamente grande somado a 15 , ou subtraído de 5 ou qualquer outra coisa desse tipo. Nesse caso, podemos fazer aproximação abaixo:

lim n λ 4 n + β l i m n λ 4 n

Concorda? Aqueles números pequenininhos somando ou subtraindo nosso “infinito” não fazem diferença quase nenhuma! Sendo assim, podemos continuar nossas contas:

l i m n 6 4 n - 5 - 15 4 n + 15 - 9 4 n - 5 2 4 n - 2 - 5 4 n + 6 - 3 4 n - 2 0 0 0 12 4 1 =

= l i m n 6 4 n - 15 4 n - 9 4 n 2 4 n - 5 4 n - 3 4 n 0 0 0 12 4 1 = l i m n 3 4 n 4 n 0 = l i m n 4 n 3 1 0 = 3,1 , 0 l i m n 4 n

Opaaaaaaa, olha só o que encontramos! Estamos multiplicando um vetor por um escalar (um absurdamente grande, mas continua sendo um escalar), então qual a direção desse vetor? A mesma do nosso vetor sem o escalar multiplicado:

s p a n 3,1 , 0

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Resposta

Letra ( c )

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