Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

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Enunciado

Seja A = M D M - 1 :

A = - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1

Seja v → = 12 , 4,1 . Quando n tende a infinito, a direção de A n v → converge para a direção da reta:

( a ) s p a n 14,5 , 1

( b ) s p a n - 3 , - 5,0

( c ) s p a n 3,1 , 0

( d ) s p a n 9,3 , 1

Passo 1

O segredo tá naquele converge do enunciado! O que isso te lembra? Limites!! Além disso, ele já foi bonzinho e deu pra gente a matriz A diagonalizada!

Então, o que ele está pedindo no final das contas é a direção do vetor:

lim n → ∞ ⁡ A n v → = lim n → ∞ ⁡ M D n M - 1 v → = l i m n → ∞ - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 n 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n → ∞ - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 n 0 0 0 4 n 0 0 0 0 n 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n → ∞ - 5 3 14 - 2 1 5 0 0 1 1 0 0 0 4 n 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n → ∞ - 5 3 ∙ 4 n 0 - 2 4 n 0 0 0 0 1 - 3 1 2 - 5 - 3 0 0 1 12 4 1 =

= l i m n → ∞ 6 ∙ 4 n - 5 - 15 ∙ 4 n + 15 - 9 ∙ 4 n - 5 2 ∙ 4 n - 2 - 5 ∙ 4 n + 6 - 3 ∙ 4 n - 2 0 0 0 12 4 1

Tá, antes de continuarmos com esse negócio feio, repare no seguinte! Temos um número absurdamente grande somado a 15 , ou subtraído de 5 ou qualquer outra coisa desse tipo. Nesse caso, podemos fazer aproximação abaixo:

lim n → ∞ ⁡ λ ∙ 4 n + β ≈ l i m n → ∞ λ ∙ 4 n

Concorda? Aqueles números pequenininhos somando ou subtraindo nosso “infinito” não fazem diferença quase nenhuma! Sendo assim, podemos continuar nossas contas:

l i m n → ∞ 6 ∙ 4 n - 5 - 15 ∙ 4 n + 15 - 9 ∙ 4 n - 5 2 ∙ 4 n - 2 - 5 ∙ 4 n + 6 - 3 ∙ 4 n - 2 0 0 0 12 4 1 =

= l i m n → ∞ 6 ∙ 4 n - 15 ∙ 4 n - 9 ∙ 4 n 2 ∙ 4 n - 5 ∙ 4 n - 3 ∙ 4 n 0 0 0 12 4 1 = l i m n → ∞ 3 ∙ 4 n 4 n 0 = l i m n → ∞ 4 n 3 1 0 = 3,1 , 0 l i m n → ∞ 4 n

Opaaaaaaa, olha só o que encontramos! Estamos multiplicando um vetor por um escalar (um absurdamente grande, mas continua sendo um escalar), então qual a direção desse vetor? A mesma do nosso vetor sem o escalar multiplicado:

s p a n 3,1 , 0

Resposta

Letra ( c )