Exercícios Resolvidos de Limite e Continuidade

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.127, exercício 1b.

Calcule lim t 0 F t , onde

F t =     t g   3 t t , e 2 t - 1 t , t 3

Passo 1

Repara que o que a gente tem é:

x t =   t g   3 t t

y t = e 2 t - 1 t

z t =   t 3

O que precisamos fazer é calcular

lim t 0 x ( t )

lim t 0 y ( t )

lim t 0 z ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar pelo lim t 0 x ( t )

lim t 0 x ( t ) =   lim t 0 t g   3 t t       = lim t 0 s e n 3 t t c o s 3 t  

Aqui temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital. Assim:

lim t 0 s e n 3 t t c o s 3 t = lim t 0 3 c o s 3 t c o s 3 t - 3 t s e n 3 t = 3

Passo 3

Agora vamos para lim t 0 y ( t )

lim t 0 y ( t ) =   lim t 0 e 2 t - 1 t

De novo temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Podemos então, usar L’Hospital:

lim t 0 e 2 t - 1 t = lim t 0 2 e 2 t 1 = 2 = 2

Passo 4

E, por fim, vamos para lim t 0 z ( t )

lim t 0 z ( t ) =   lim t 0 t 3 = 0

Resposta

( 3,2 , 0 )

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