Exercícios Resolvidos de Limite e Continuidade

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 6) Calcule os limites.

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t

Passo 1

Oieee pessoal, vamos lá calcular limites de funções vetoriais?

Para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes, ou seja, calculamos normalmente o limite de cada coordenada Então vamos lá

Passo 2

Queremos calcular

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t

Nesse caso, temos uma função vetorial em que a primeira coordenada é t e - t , a segunda é t 3 + t 2 t 3 - 1 e a terceira é t . s e n 1 t

Vamos calcular o limite individualmente para cada coordenada

Passo 3

Calculando o limite da primeira coordenada:

lim t → ∞ ⁡ t e - t = lim t → ∞ ⁡ t e t

Se substituirmos t = ∞ no numerador e no denominador temos que ambos vão para infinito, então podemos utilizar a regra de L’Hospital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

lim t → ∞ ⁡ t e t = lim t → ∞ ⁡ 1 e t = 0

Calculando o limite da segunda coordenada:

lim t → ∞ ⁡ t 3 + t 2 t 3 - 1

Como temos uma indeterminação ∞ ∞ , podemos usar L’Hospital, derivando em cima e embaixo até sairmos da indeterminação:

lim t → ∞ ⁡ t 3 + t 2 t 3 - 1 = lim t → ∞ ⁡ 3 t 2 + 1 6 t ² = lim t → ∞ ⁡ 6 t + 1 12 t = lim t → ∞ ⁡ 6 12 = 1 2

Por fim, calculando o limite da terceira coordenada:

lim t → ∞ ⁡ t   s e n 1 t   = lim t → ∞ ⁡ s e n   1 / t 1 / t

Se substituirmos t = ∞ no numerador e no denominador temos que ambos vão para zero, então podemos utilizar a regra de L’Hôspital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador:

lim t → ∞ ⁡ - 1 t 2 c o s   1 / t - 1 / t ² = lim t → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 t = cos ⁡ 0 = 1

Então, temos:

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t = 0 , 1 2 , 1

E fimmm

Resposta

lim t → ∞ ⁡ t e - t , t 3 + t 2 t 3 - 1 , t   s e n 1 t = 0 , 1 2 , 1