Exercícios Resolvidos de Limite e Continuidade

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Enunciado

(Capítulo 13.1 – Exercício 3) Calcule os limites.

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Passo 1

Oieee pessoal, vamos lá calcular limites de funções vetoriais?

Para calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes, ou seja, calculamos normalmente o limite de cada coordenada Então vamos lá

Passo 2

Queremos calcular

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k

Nesse caso, temos uma função vetorial em que a primeira coordenada é e - 3 t , a segunda é t 2 s e n 2 t e a terceira é c o s ⁡ ( 2 t )

Então, basicamente temos isso aqui:

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   , t 2 s e n 2 t , cos ⁡ 2 t

Vamos calcular o limite individualmente para cada coordenada

Passo 3

Para a primeira coordenada, temos

l i m t → 0   e - 3 t = e 0 = 1

Para a segunda:

l i m t → 0   t 2 s e n 2 t

Dividindo em cima e embaixo por t ² :

l i m t → 0   t 2 s e n 2 t = 1 l i m t → 0   s e n   t t 2

Opa, embaixo caímos no limite fundamental trigonométrico, que vale 1, então:

l i m t → 0   t 2 s e n 2 t = 1 1 2 = 1

Por fim, para a terceira coordenada, temos

l i m t → 0 cos ⁡ 2 t = cos ⁡ 0 = 1

Show, todos os limites deram 1

Então,

lim t → 0   ⁡ e - 3 t   i + t 2 s e n 2 t   j + cos ⁡ 2 t k = ( 1,1 , 1 ) = 1 i + 1 j + 1 k

E fimmm

Resposta

i + j + k