Exercícios Resolvidos de Lugar das Raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado abaixo:

G s = 1 ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 )

Passo 1

O exercício pede para traçar o lugar das raízes de G ( s ) . Para fazermos o que o exercício pede, usaremos duas funções do MATLAB. Primeiro, vamos usar a função t f para entrar com G ( s ) . Em seguida, usaremos r l o c u s para plotar o lugar das raízes de G ( s ) .

Lembra da função t f ? Ela tem como entrada dois vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência. Repare que o denominador de G ( s ) está fatorizado. Logo, para podermos pegar os coeficientes dele, precisamos expandi-lo (isto é, multiplicar os termos) para gerarmos o polinômio. Por isso, antes de usarmos t f , faremos uma manipulação algébrica com o denominador de G ( s ) .

Passo 2

Primeiramente, vamos obter o polinômio do denominador de G ( s ) , multiplicando seus termos. Vamos fazer isso no MATLAB mesmo. Em um novo script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica s .

Na segunda linha, entramos com o denominador de G ( s ) , armazenando-o na variável d e n _ o r i g i n a l .

Na terceira linha, usamos o comando e x p a n d do MATLAB em d e n _ o r i g i n a l . Este comando multiplicará os termos de d e n _ o r i g i n a l e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em d e n _ p o l .

Rodando o programa, temos:

Passo 3

Agora que temos o polinômio do denominador de G ( s ) , podemos criar os vetores que servirão de entrada para t f . Lembrando que t f que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 1 . Já o polinômio do denominador é s 3 +   12 s 2 + 44 s + 48 .

Em um novo script ou no mesmo script onde você obteve d e n _ p o l , crie duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios, para servirem de entrada para t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 1 ∙ s 0 = 1 ∙ 1 = 1 , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 1 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s 3 +   12 s 2 + 44 s + 48 , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Em seguida, adicione o comando abaixo para criar G ( s ) :

A função de transferência é armazenada na variável G . Você pode ver como G   ficou ao rodar o programa e pedir ao MATLAB para imprimir G no Command Window:

Passo 4

Após criar G ( s ) , usaremos a função r l o c u s para plotar o lugar das raízes. r l o c u s tem a sintaxe:

r l o c u s ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a )

A função r l o c u s tem como entrada uma função de transferência criada a partir do comando t f (no nosso caso, é a variável G ). Ao executarmos o programa, r l o c u s gera um gráfico com o lugar das raízes da função de trasnferência.

Adicione no seu script o comando:

Ao executar o programa, você terá o gráfico do lugar das raízes de G ( s ) .

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