Exercícios Resolvidos de Lugar das Raízes

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Enunciado

Seja

F ( s ) = 5 s 2 + 3 s + 6 s 4 + 3 s 3 + 7 s 2 + 9 s + 12

Plote o lugar das raízes e ache os polos e os zeros de F ( s ) .

Passo 1

O exercício pede para plotar o lugar das raízes de F ( s ) e, a partir do gráfico do lugar das raízes, identificar os polos e os zeros da função de transferência. Lembrando que os zeros são as raízes do numerador de F ( s ) , isto é, de 5 s 2 + 3 s + 6 . Como se trata de um polinômio de 2 º grau, temos que identificar dois zeros no lugar das raízes.

Já os polos são as raízes do denominador de F ( s ) , isto é, de s 4 + 3 s 3 + 7 s 2 + 9 s + 12 . Como se trata de um polinômio do 4 º grau, existem quatro polos no lugar das raízes.

Para plotarmos o lugar das raízes, usaremos duas funções do MATLAB. Primeiro, vamos usar a função t f para entrar com F ( s ) no MATLAB. Em seguida, usaremos r l o c u s para plotar o lugar das raízes de F ( s ) .

Passo 2

O primeiro passo para resolver o exercício é entrar com F ( s ) no MATLAB. Para isto, usaremos a função t f , que cria funções de transferência e tem a seguinte sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para F ( s ) , o polinômio do numerador é 5 s 2 + 3 s + 6 . Já o polinômio do denominador é s 4 + 3 s 3 + 7 s 2 + 9 s + 12 .

Em um novo script do MATLAB, crie dois vetores, um chamado de n u m que contém os coeficientes de 5 s 2 + 3 s + 6 e outro chamado d e n , contendo os coeficientes de s 4 + 3 s 3 + 7 s 2 + 9 s + 12 . Ambos os vetores vão do coeficiente do elemento com maior expoente ao coeficiente de menor expoente:

Em seguida, adicione o comando abaixo para criar F ( s ) :

A função de transferência é armazenada na variável F , isto é, F é igual a F ( s ) . Você pode confirmar isso rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir F no Command Window:

Passo 3

Após criar F ( s ) , usaremos a função r l o c u s para plotar o lugar das raízes. r l o c u s tem a sintaxe:

r l o c u s ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a )

A função r l o c u s tem como entrada uma função de transferência criada a partir do comando t f (no nosso caso, é a variável F ). Ao executarmos o programa, r l o c u s gera um gráfico com o lugar das raízes da função de trasnferência.

Adicione no seu script o comando:

Ao executar o programa, você terá o gráfico do lugar das raízes de F ( s ) :

Passo 4

Podemos identificar os zeros e os polos no gráfico do lugar das raízes. Os zeros são representados por bolinhas e os polos, por xizinhos. Para sabermos quanto os zeros e os polos valem, podemos clicar sobre os ramos do gráfico. Aparecerá um quadradinho preto com um quadro com dados sobre o ponto onde você clicou. Esse quadradinho pode ser arrastado ao longo dos ramos até atingir um polo ou um zero.

Vamos começar com os zeros, que vou chamar de z 1 e z 2 . Repare que o gráfico tem duas bolinhas: isso porque o numerador é um polinômio de 2 º grau, logo, ele possui duas raízes. Vamos clicar nos ramos vermelho e azul piscina para aparecer o quadradinho preto e vamos arrastá-lo até as bolinhas:

Você terá certeza que chegou no zero quando o dado G a i n for igual a I n f . Temos que os zeros de F ( s ) são:

z 1 = - 0,3 + 1,05 i

z 2 = - 0,3 - 1,05 i

Vamos agora identificar os polos. Temos quatro xizinhos no gráfico, representando os quatro polos de F ( s ) , que vou chamar de p 1 , p 2 , p 3 e p 4 . Existem quatro polos pois o denominador de F ( s ) é um polinômio de 4 º grau, isto é, ele possui quatro raízes. Clique nos quatro ramos para aparecer o quadradinho preto e arraste-o até cada um dos xizinhos:

Você terá certeza que chegou no polo quando o dado G a i n for igual a 0 . Temos que os polos de F ( s ) são:

p 1 = - 1 , 5 + 1 , 32 i

p 2 = - 1,5 - 1,32 i

Os polos p 3 e p 4 estão sobre o eixo vertical, logo, eles são números puramente complexos, com parte real igual a 0 . Pelo que está indicado na figura acima, eles têm um resíduo na parte real de 8,33 ∙ 10 - 17 . É um número tão pequenininho, que podemos considerar igual a 0 . Logo, os outros dois polos de F ( s ) são:

p 3 = 1 , 73 i

p 4 = - 1,73 i

Resposta

Os zeros de F ( s ) são: z 1 = - 0,3 + 1,05 i e z 2 = - 0,3 - 1,05 i

Os polos de F ( s ) são:

p 1 = - 1,5 + 1,32 i

p 2 = - 1,5 - 1,32 i

p 3 = 1,73 i

p 4 = - 1,73 i