Exercícios Resolvidos de Lugar geométrico das raízes

Ver Teoria

Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K ( s + 1 ) ( 0,5 s + 1 ) ( 2 s + 1 )

Passo 1

O primeiro passo sempre será identificar os polos e zeros da função de transferência. Nesse exercício temos um zero, - 1 , e dois polos, - 2 e - 1 2 .

Representando esses polos e zeros no diagrama de lugar das raízes:

Passo 2

Como temos um polo a mais que zero, teremos um zero no infinito. Então precisamos calular nossas assíntotas para saber onde esse zero no infinito se encontra.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 2 - 1 = 180 ( 2 r + 1 )

A assíntota terá inclinação 180 º não importa qual seja o valor de r .

Como a inclinação da assíntota é de 180 º , ela está sobre todo o eixo dos reais, então não é preciso calcular onde essa asspintota intercepta o eixo.

Passo 3

Só precisamos agora representar os ramos do lugar das raízes seguindo todas aquelas regrinhas. Os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros. O número de ramos é igual ao número de polos, e os ramos só existem se à esquerda deles existir um número ímpar de polos e zeros.

Portanto:

O ramo que sai do polo - 2 é o ramo que morre no zero no infinito que se encontra sobre o eixo dos reais, já que a assíntota tem inclinação 180 º .

Entre - 1 e - 1 2 não pode existir ramos pois existe um número par de ramos e zeros à esquerda desse intervalo.

Resposta