Exercícios Resolvidos de Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K C ( 3 s + 1 ) ( s + 1 )

Passo 1

Como sempre, a primeira coisa que devemos começar fazendo é identificar quantos e quais são os polos e zeros da função de transferência.

Para este caso, nós não temos nenhum zero na função de transferência, porém temos dois polos, - 1 3 e - 1 . Vamos marcar eles no diagrama então:

Passo 2

Como temos dois polos a mais que zeros, isso indica que teremos dois zeros no infinito no nosso diagrama. Para saber a localização desses zeros desenharemos assíntotas no diagarama de lugar das raízes que vão nos indicar onde eles se encontram.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 2 - 0 = 9 0 ( 2 r + 1 )

Podemos perceber que se   r for igual a 0 o ângulo será 9 0 º , se for 1 , será 27 0 º . Após isso, os valores 90 º e 180 º começam a se repetir.

Agora vamos calcular onde a assíntota intercepta o eixo real:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s = - 1 - 1 / 3 - 0 2 - 0 =   - 2 3

Coocando no diagrama de lugar das raízes:

Repare que temos duas assíntotas, uma com inclinação 90 º e outra com inclinação 270 º .

Passo 3

Por fim devemos representar os ramos, eu são as linhas eu indicam o lugar das raízes conforme varíamos algum coeficiente (nesse caso, o ganho). Lembre-se sempre que o número de ramos é sempre igual ao númeor de polos e que cada ramos “nasce” em um polo e “morre” em um zero. Então nesse caso nós teremos um ramo saindo de cada um dos polos e indo até um zero no infinito pois não temos nenhum zero finito.

Outro detalhe importante é que os ramos só existem no eixo dos reais se estiverem à esquerda de um número ímpar de polos, ou seja, não pode existir nenhum ramo à direita de - 1 3 pois nesse caso não teríamos nenhum polo à esquerda, nem à esquerda de - 1 pois aí teríamos dois polos à esquerda.

Sendo assim, o nosso diagram de lugar das raízes fica da seguinte forma:

Nesse caso, coincidentemente, o ramo do lugar das raízes ficou sobre as assíntotas, mas tenha em mente que nem sempre será assim.

Resposta