Exercícios Resolvidos de Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para o sistema mostrado abaixo:

G s = K s ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 1

Essa função de transferência apresenta um zero em 0 e três polos em - 1 , - 2 e - 3 .

Representando esses polos e zeros no diagrama de lugar das raízes:

Passo 2

Nesse caso temos dois polos a mais que zeros, então teremos dois zeros no infinito. Precisamos então calcular nossas assíntotas:

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s =   ± 180 2 r + 1 3 - 1 = 90 ( 2 r + 1 )

A assíntota terá inclinação 90 º se r for igual 0 , e 270 º se r for igual a 1. Após isso, os valores começam a se repetir.

Agora vamos calcular onde a assíntota intercepta o eixo real:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s = - 1 - 2 - 3 - 0 3 - 1 =   - 3

Coocando no diagrama de lugar das raízes:

Passo 3

Só precisamos agora representar os ramos do lugar das raízes seguindo todas aquelas regrinhas. Os ramos nascem nos polos e morrem nos zeros. O número de ramos é igual ao número de polos, e os ramos só existem se à esquerda deles existir um número ímpar de polos e zeros.

Portanto:

Nesse caso nós temos três ramos pois temos três polos. Entre - 2 e - 1 não pode haver nenhum ramo pois existe uma uantidade par de polos e zeros à esquerda desse trecho. Como temos dois polos a mais que zeros, dois ramos morrerão no infinito. Esses ramos saem de - 2 e - 3 , se encontram no meio desse trecho e depois tendem assintoticamente aos zeros determinados pelas assíntotas calculadas.

Resposta