Trabalho e Energia

Teoria Completa

Introdução

Imagine você empurrando seu carro enguiçado, fazendo aquela força...

Logo logo você estará beeem cansado, né?

Isso porque você está realizando trabalho. Calma, eu sei que dá trabalho empurrar um carro, mas não é desse trabalho que estamos falando aqui.

Trabalho é a quantidade de energia utilizada por uma força para deslocar um corpo por uma certa distância.

Vamos entender melhor isso aí, então!

Trabalho

Uma força F realiza trabalho sobre um corpo quando este sofre um deslocamento d na direção da força.

Matematicamente falando, trabalho, que vamos chamar de U , é o deslocamento multiplicado pela componente da força na direção do deslocamento:

U = F   c o s θ d

Por que usamos um cosseno? Porque precisamos usar a componente da força que atua na direção do deslocamento e apenas ela.

Agora imagina que o corpo tenha um deslocamento beeem pequeno, ou seja, um deslocamento infinitesimal d s , então vamos ter um trabalho infinitesimal também:

d U = F d s

Não esqueça que:

  • A componente F   s e n θ , que é perpendicular à direção do deslocamento, não realiza trabalho;
  • Trabalho é positivo quando a componente F   c o s θ tem o mesmo sentido do deslocamento e é negativo se tem o sentido oposto;
  • Trabalho é uma grandeza escalar, não um vetor e sua unidade é em Joule (J).

Agora vamos ver alguns casos de trabalho...

Trabalho da Força Variável

Se um corpo sofre um deslocamento variável ao longo de sua trajetória, vamos ter que integrar para achar o trabalho. Se tivermos um gráfico de uma força que varia em função do deslocamento, por exemplo:

O trabalho será calculado integrando a equação dessa curva:

U 1 - 2 =   ∫ s 1 s 2 F   c o s θ d s

Essa �� a forma mais geral de se calcular o trabalho.

Trabalho de uma Força Constante

Imagine uma força F constante atuando em um bloco enquanto ele se desloca de s 1 para s 2 :

O trabalho U dessa força será:

U 1 - 2 =   ∫ s 1 s 2 F   c o s θ d s   →       U = F   c o s θ   ( s 2 -   s 1 )

U 1 - 2 = F L   c o s θ  

Como ficaria essa força num gráfico?

A força não é constante? Então, o gráfico fica uma reta constante e o trabalho vai ser igual a área embaixo da reta.

Trabalho da Força Peso

Imagine um corpo subindo na vertical...

Apesar dele estar subindo, existe a força peso devido a presença da gravidade. Essa força vai realizar um trabalho assim:

U 1 - 2 =   ∫ y 1 y 2 ( - m g ) d y

U 1 - 2 =   - m g ( y 2 - y 1 )

Repare que a força m g aponta no sentido contrário ao movimento do corpo, logo o trabalho vai ser negativo.

Agora imagine um corpo caindo...

Ele está sob a ação da aceleração da gravidade de modo que a única força que vai estar atuando nele é o peso. Vamos integrar essa força:

U 1 - 2 =   ∫ y 1 y 2 ( - m g ) d y

U 1 - 2 =   - m g ( y 2 - y 1 )

Repare que o sinal negativo é porque a força peso aponta para o sentido negativo do eixo y . Mas você pode se perguntar... Por que o trabalho está negativo se a força está apontando no mesmo sentido do deslocamento?

Observe que y 2 tem um valor menor do que y 1 , então quando fizermos a subtração de y 2 - y 1 isso vai dar um valor negativo, o que vai anular o sinal de menos da força m g . Portanto, no fim das contas o trabalho é positivo!!!!

Trabalho da Força de uma Mola

Você lembra como se calcula a força de uma mola? É assim:

  F = k x

Onde, k é a rigidez da mola e x é o deslocamento.

Imagina que tenho uma mola em sua posição normal, sem nenhuma deformação e então aplico uma força F puxando essa mola de modo que ela sai da posição inicial x 1 e chega na posição final x 2 :

O trabalho realizado sobre a mola pela força F é:

U 1 - 2 =   ∫ x 1 x 2 ( k x ) d x

U 1 - 2 =   1 2 k x 2 2 - 1 2 k x 1 2

Repare que tanto quando você puxa uma mola quanto comprimi, a força vai estar no mesmo sentido do deslocamento.

E quando tem um corpo preso a uma mola... Qual será o trabalho que a mola faz no corpo?

Repare que quando puxamos a mola, ela tende a voltar a sua posição inicial, certo? Então, o que o corpo vai sentir? Pela terceira lei de Newton de ação e reação, o bloquinho tenderá a ser puxado de volta pela mola, surgindo uma força:

F = - k x

Então, o trabalho feito pela mola no bloco será:

U 1 - 2 =   ∫ x 1 x 2 ( - k x ) d x

U 1 - 2 = - (   1 2 k x 2 2 - 1 2 k x 1 2 )

Repare que o trabalho é negativo, pois a força está em sentido contrário ao deslocamento.

Energia Cinética

Se um corpo de massa m está em movimento com uma velocidade v , existe uma energia associada a esse movimento dada por:

T = m v 2 2

Essa é a chamada energia cinética que vamos chamar de T .

Teorema Trabalho-Energia Cinética

Agora pense: Se você empurrar uma caixa, estará aplicando uma força nela, certo? Mas sabemos que se uma força provoca deslocamento, então há trabalho...

O que acontecerá com a energia cinética desta caixa?

Bem, suponha que a caixa estava em repouso no início e, após a realização do trabalho, passe a se movimentar com uma velocidade v . Você conseguiu gerar uma variação de energia cinética ∆ T nesse corpo, não é mesmo?

Assim:

∆ T = m v f 2 2 - m v i 2 2

Onde v f é a velocidade final e v i a velocidade inicial.

De certa forma, podemos dizer que você transferiu energia para a caixa. Mas lembra daquela ideia que a energia sempre se conserva?

Bom, por causa disso, podemos dizer que a energia que você transferiu tem que ser igual a energia ganha pela caixa. Sendo assim:

U 1 - 2 ' = ∆ T

Sendo que a energia que você transferiu é igual ao trabalho realizado e a variação de energia cinética é igual à energia que a caixa ganhou.

E é esse o famoso teorema Trabalho-Energia cinética:

U 1 - 2 ' = ∆ T

Vamos praticar com os exercícios? Partiu, então!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 120, 3/103

Utilize o método de trabalho-energia para desenvolver uma expressão para a altura máxima atingida por um projétil que é lançado com velocidade inicial v 0   a partir do nível do solo. Avalie sua expressão para v 0   =   50   m / s . Assuma uma aceleração gravitacional constante e despreze a resistência do ar.

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Passo 1

Temos que:

U 1 - 2 = ∆ T = T 2 - T 1

Onde 1 é o estado da bolinha no solo ao ser lançada e 2 o ponto de atura máxima, o qual estamos analisando.

Passo 2

Sabemos que:

T = m v 2 2

Em 1:

T 1 = m v 1 2 2

Em 2:

T = 0

Já que a bola se encontra parada no ponto de altura máxima.

Passo 3

O trabalho será dado por:

U 1 - 2 = - m g h

Negativo já que a força está indo contra ao movimento.

Assim:

- m g h = 0 - m v 0 2 2

h = v 0 2 2 g = 50 2 2.9,81 = 127,4 m

Resposta

h = 127,4 m

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 121, 3/112

O vetor posição de uma partícula é dado por r = 8 t i + 1,2 t 2 j - 0,5 t 3 - 1 k , onde t é o tempo em segundos a partir do início do movimento e onde r é expresso em metros. Para a condição em que t = 4   s , determine a potência P desenvolvida pela força F = 40 i - 20 j - 36 k   N que age sobre a partícula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que:

P = F → . r ˙ →

r ˙ → = d r → d t = 8 i ^ + 2,4 t j ^ - 1,5 t 2 k ^

Assim, para t = 4 s :

r ˙ → t = 4 = 8 i ^ + 9,6 j ^ - 24 k ^

Passo 2

Assim:

P = 40 i ^ - 20 j ^ - 36 k ^ . 8 i ^ + 9,6 j ^ - 24 k ^ = 320 - 192 + 864 = 992 W = 0,992 k W

Resposta

P = 0,992 k W

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 121, 3/108

O guindaste sobre esteiras equipado para demolição está se deslocando a uma velocidade constante de 3   k m / h quando é subitamente parado. Calcule o ângulo Ѳ máximo por meio do qual o cabo da bola de demolição oscila.