Movimento Curvilíneo e Forças

Teoria Completa

Introdução

Sabe por que o trem da montanha-russa não cai?

Porque existe uma força que atua no corpo sempre que ele realiza um movimento circular e ela é responsável por não deixar o corpo sair dessa trajetória curvilínea. E qual o nome desta força mágica? É a força centrípeta....

Esta força é responsável por gerar uma mudança na direção do vetor velocidade v → , mas sem alterar o seu módulo. Vamos estudar a força centrípeta e a sua causa neste capítulo.

Movimento Curvilíneo

Sempre que um corpo realiza um movimento circular, o vetor velocidade v → vai mudando de sentido e direção. Imagine um motoqueiro percorrendo o globo da morte:

O globo da morte é uma esfera oca onde o motociclista fica andando em seu interior. Repare que o vetor velocidade é sempre tangente ao círculo e tem módulo constante. A grandeza responsável pela mudança da direção e do sentido do vetor velocidade v → fazendo ele seguir uma trajetória circular é a aceleração centrípeta:

a → c t p = v 2 R c → c e n t r o

Esse R é o raio da curvatura realizada. Se for um círculo, é o raio do círculo mesmo.

A aceleração centrípeta é uma grandeza vetorial e sempre aponta para o centro da trajetória circular. (Colocamos o vetorzinho c → c e n t r o só para você se lembrar disso que acabamos de dizer )

Entãããooo...Se quisermos calcular o módulo da força centrípeta:

a c t p = v 2 R

E caso tenhamos a velocidade angular ω , a aceleração centrípeta vai ser:

a c t p = ω 2 R

Onde tem uma aceleração também tem uma força resultante, certo? É só lembrar da segunda lei de Newton: F →   =   m a → .

Então...

Força Centrípeta

Quando o movimento é circular, a força resultante que aponta para dentro do círculo recebe um nome especial: força centrípeta F c t p . E como fazemos para calcular? É só lembrar da segunda lei de Newton e trocar para as grandezas que são características do movimento circular:

Então:

F c t p = m v 2 R

Lembre que a força centrípeta vai apontar para o centro da trajetória circular.

Não podemos esquecer que a velocidade angular ω se relaciona com a velocidade tangencial assim:

v = ω R

Se substituirmos isso na equação da força centrípeta obtemos:

F c t p = m ω 2 R 2 R   → F c t p = m ω 2 R

Vamos guardar essas fórmulas de força centrípeta!

Para resolvermos os exercícios, temos que seguir o seguinte passo a passo:

  1. Isolar o corpo principal do problema e colocar TODAS as forças que estão atuando nele.
  2. Achar a resultante de forças que apontam para o centro da trajetória circular e aplicar a segunda lei de Newton para a movimento curvilíneo.

F c t p = m v 2 R     o u     F c t p = m ω 2 R

Vamos resolver um exemplo para ficar mais claro...

Imagina o nosso motoqueiro andando no globo da morte. Qual seria a menor velocidade que ele precisa ter para não cair ao passar no ponto mais alto do globo?

Primeiro passo: colocar todas as forças que atuam no motoqueiro quando ele estiver no ponto mais alto:

Observe que a força normal surge devido ao contato da moto com a superfície do globo. Mas para sabermos a velocidade mínima que o motoqueiro precisa ter para não cair, temos que considerar a pior situação de todas.

A pior situação ocorre justamente quando ele está na iminência de cair. Quando o contato entre a moto e a superfície do globo é tão pequena que podemos considerar nula.

Segundo passo: a força resultante na direção do centro do círculo é a força centrípeta:

F c t p = N + m g   → F c t p = 0 + m g  

F c t p = m g

Terceiro passo: aplicar a segunda lei de Newton para a movimento curvilíneo:

F c t p = m v 2 R     →     m g =   m v 2 R  

Portanto, a velocidade mínima será:

  v =   g R

Repare que ela não depende da massa, apenas da gravidade e do raio do círculo!!!

Vamos praticar mais isso aí!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 104, 3/49

O pequeno bloco A de 2   K g desliza para baixo na trajetória curva e passa pelo ponto mais baixo B com uma velocidade de 4   m / s . Se o raio de curvatura da trajetória em B é de 1,5   m , determine a força normal N exercida sobre o bloco pela trajetória neste ponto. É necessário o conhecimento das propriedades de atrito?

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Passo 1

O sistema do problema no ponto B pode se representado por:

Como o corpo está realizando um movimento curvilíneo:

N - m g = m v 2 R

Assim:

N = m g + m v 2 R

N = 2 9,81 + 2 . 4 2 1,5 = 41,0 N

Passo 2

E ai? O atrito entrou na conta?

Não né?

Bom, a força de atrito é perpendicular à força Normal. Assim, ela não vai influenciar a mesma.

Então, a resposta é Não.

Resposta

N = 41,0 N

Não

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 106, 3/60

Uma criança gira uma pequena esfera de 50   g presa na extremidade de um fio com 1   m de modo que a esfera traça um círculo em um plano vertical como mostrado. Qual é a velocidade mínima v que a esfera deve ter quando estiver na posição 1? Se essa velocidade é mantida ao longo do círculo, calcule a tração T no fio quando a esfera está na posição 2. Despreze qualquer pequeno movimento da mão da criança.

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Passo 1

Pro caso da velocidade mínima, devemos ter T = 0 . Assim:

T - m g = m v 2 R

T = 0

- m g = m v 2 R → v = R g

Assim:

v = R g = g = 1 9,81 = 3,13 m / s

Passo 2

Basta agora a gente aplicar:

T - m g = m v 2 R

Assim:

T = m g + m v 2 R

T = m g + m R g R

T = 2 m g = 2 0,051 9,81 = 0,981 N

Resposta

v = 3,13 m / s

T = 0,981 N

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 104, 3/51

Se o bloco de 2   k g passa sobre o topo B da porção circular da trajetória com velocidade de 3,5   m / s , calcule o módulo N b da força normal exercida pela trajetória sobre o bloco. Determine a velocidade máxima v que o bloco pode ter em A sem que perca o contato com a trajetória.

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Passo 1

Vamos calcular primeiro N B para o caso do enunciado:

Assim, temos:

m g - N B = m V 2 R

2 . 9,81 - N B = 2 . 3,5 2 2,4

N B = 9,41 N

Passo 2

No outro caso:

Como estamos estimando a velocidade para que o corpo perca o contato, devemos considerar que N A = 0 .

Agora, precisamos apenas decompor a força peso na direção radial e comparar com a resultante:

m g c o s 30 ° = m v 2 R

g c o s 30 ° = v 2 R →       v = R g c o s 30 ° = 4,52 m / s

Resposta

N B = 9,41 N

      v = 4,52 m / s

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 105, 3/54

Determine o ângulo de inclinação lateral apropriado θ   para o avião voando a 600   k m / h e execuando um curva com 3   k m de raio. Note que a força exercida pelo ar é normal à superfície de apoio da asa. Dado: g = 9,8 m / s 2

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Passo 1

O avião pode ser esquematizado por: