Mancais

Teoria Completa

Introdução

Você sabe o que é um Mancal?

Mancais são estruturas que servem de apoio para eixos giratórios.

Nesse tópico vamos aprender um pouco sobre a Física desses elementos. Bora lá!

Mancais Radiais

Mancais radiais são aqueles que dão suporte lateral a um eixo. Basicamente, um eixo entra em um mancal radial e é separado da superfície do mancal por uma certa folga:

No desenho, o círculo mais interno representa o eixo e o mais externo a superfície do mancal.

Bom, agora imagine que o mancal esteja submetido a uma carga axial L . Para o corpo ser equilibrado, surgirá uma reação R da superfície para o mancal, de mesmo módulo que L   mas de sentido contrário:

No entanto, essas duas forças não vão ser colineares, ou seja, não estão alinhadas. Pelo contrário, a força R será aplicada a uma distância r f do centro do eixo, numa região conhecida como círculo de atrito:

Sendo assim, a reação vai gerar um momento dado por:

M = R r f

Como:

L = R

M = L r f

E r f ? Esse carinha é dado por:

r f = r s e n ϕ

Onde ϕ é o ângulo de atrito.

Beleza, e se quisermos girar o eixo? Qual o momento necessário para que isso ocorra?

O momento necessário será exatamente M .

E é isso. Na maioria das questões você terá que usar essa equação do momento! Vamos ver isso melhor nos exercícios.

Mancais de Escoras e Atrito entre Discos

Nesse tipo de mancal, geralmente existem duas superfícies que são comprimidas uma contra a outra, o que gera um atrito entre elas:

Surge, então, da mesma forma que no outro tipo de mancal, a mesma pergunta: Qual é o momento necessário para fazer o mancal girar?

O momento, nesse caso, é dado pela integral:

M = ∫ μ p r d A

Onde:

  • μ : o coeficiente de atrito entre os discos;
  • p : a pressão de contato entre os discos;
  • r : a distância do termo infinitesimal d A até o centro do disco;
  • d A : o elemento infinitesimal de Área.

Sendo que essa área onde estamos integrando é a área de contato entre as duas superfícies. Se forem dois círculos, sendo um menor que o outro, será a área do círculo menor.

Quando a pressão for constante:

Para um caso em que a pressão de contato entre as placas é constante, podemos dizer que:

P = p A

P = p π R 2

Assim:

p = P π R 2

Substituindo na integral:

M = ∫ μ P π R 2 r d A       →       M = μ P π R 2 ∫ r d A

Chamando d A de:

d A = 2 π r d r

Assim:

M = μ P π R 2 ∫ r 2 π r d r   ���     M = 2 μ P R 2 ∫ 0 R r 2 d r

M = 2 μ P R 2 r 3 3 | 0 R       →       M = 2 μ P R 2 R 3 3

M = 2 3 μ P R

Essa é a equação para o caso em que a pressão é constante! Guarde-a na memória.

E se o mancal que aparecer tiver o formato de um anel com raio interno ( R i ) e raio externo ( R o ), você vai ter que utilizar esta fórmula aqui:

M = 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

Bora praticar agora!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 270, 6/71

Os dois rotores estão montados no mesmo eixo, que está apoiado por um mancal radial entre eles. Cada rotor tem uma massa de 40   k g e o diâmetro do eixo vale 40   m m . Se um momento M   de 3   N ⋅ m é necessário para manter a rotação dos rotores e do eixo em uma velocidade constante baixa, calcule:

  1. O coeficiente de atrito no mancal.
  2. O raio r f do círculo de atrito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

No caso de um mancal radial, podemos relacionar a carga radial L , o raio do eixo r , o seno do ângulo de atrito ( s e n ϕ ) e o momento M com a seguinte fórmula:

M = L r s e n ϕ

Quem é a carga radial nesse caso? É o próprio peso dos rotores!

Então, vamos calcular este peso:

L = 2 m g = 2 40 9,81

L = 784,8   N

Multiplicamos o peso por 2 , pois temos 2 rotores!

Passo 2

O raio do eixo vale:

r = D 2 = 0,04 2

r = 0,02   m

Agora podemos calcular o ângulo de atrito sabendo que o momento necessário para manter a rotação dos rotores e do eixo é de 3   N ⋅ m , então:

M = L r s e n ϕ

3 = 784,8   0,02 s e n ϕ       →       s e n ϕ = 0,1 911

Assim, o ângulo de atrito será:

ϕ = a r c s e n 0,1911 = 11,02 °

Sabendo o ângulo de atrito podemos calcular o coeficiente de atrito μ , pois:

ϕ = a r c t g ( μ )

Então, podemos calcular μ da seguinte forma:

μ = t a n ϕ       →         μ = tan ⁡ 11,02 °

μ = 0,19 47

Passo 3

E para calcular o raio do círculo de atrito? Basta a gente usar:

r f = r s e n ϕ

r f = 20 s e n 11,02 °

r f = 3,82   m m

Resposta

a )   μ = 0,1947

b )   r f = 3,82   m m

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 270, 6/73

O disco circular A é colocado sobre o topo do disco B e submetido a uma força compressiva de 400   N . Os diâmetros de A   e   B valem 225   m m   e   300   m m , respectivamente, e a pressão em cada disco é constante em toda a superfície. Se o coeficiente de atrito entre A e B vale 0,4 , determine o momento M que fará com que A deslize sobre B . Além disso, qual é o coeficiente de atrito μ mínimo entre B e a superfície de apoio C que impedirá que B gire?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular o momento temos que usar a nossa fórmula aqui:

M = 2 3 μ P R

Onde R é o raio do círculo menor, pois o disco A é que vai girar. E P é a força compressiva de 400   N .

Passo 2

Para o primeiro caso, estamos considerando o momento que fará com que A deslize sobre B . Basicamente, estaremos calculando o momento máximo que causa a iminência do movimento.

Sendo assim, o raio R que vamos usar é o raio do círculo menor:

R A = D A 2 = 112,5   m m

Então, o momento será:

M = 2 3 μ P R A     →       M = 2 3 0,4 400 0,1125

M = 12   N ⋅ m

Passo 3

Agora queremos saber qual o coeficiente de atrito mínimo que impede o giro da placa B sobre C .

O que continua constante nos dois casos? O momento!!!

Como um momento de 12   N ⋅ m está sendo aplicado na placa B , a placa C precisará aplicar um momento contrário, mas de mesmo módulo, para impedir a rotação. Sendo assim:

M ' = 12   N ⋅ m

Ah, e agora o raio será o raio de B :

R B = D B 2 = 150   m m = 0,15   m

Então, o momento será calculado pela nossa fórmula:

M ' = 2 3 μ m í n P R B

12 = 2 3 μ m í n 400 0,15     →       μ m í n = 3 ( 1 2 ) 2 400 0,15

μ m í n = 0,3

Resposta

M = 12   N ⋅ m

μ m í n = 0,3

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 270, 6/74

Determine a força trativa T no cabo para suspender a carga de 800   k g se o coeficiente de atrito para o mancal de 30   m m vale 0,25 . Determine, também, a força trativa T 0 na seção estacionária do cabo. As massas do cabo e da polia são pequenas e podem ser desprezadas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos desenhar nosso sistema assim:

O r f é calculado assim:

r f = r s e n ϕ

Mas antes temos que calcular o ângulo ϕ :

ϕ = a r c t g ( μ )       →         ϕ = a r c t g ( 0,25 )

ϕ = 14,04 °

Então, r f será igual a:

r f = r s e n ϕ       →         r f = 15 s e n ( 14,04 )

r f = 3,64   m m

Passo 2

Para determinar as forças, temos que usar as equações de equilíbrio.

Vamos começar fazendo o somatório de momentos com relação ao ponto A , considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →       -   T R - r f + T o R + r f = 0

-   T 0,15 - 0,00364 + T o 0,15 + 0,00364 = 0

0,146 T = 0,154 T o       →         T = 0,154 T o 0,146

T = 1,05 T o

Passo 3

Agora vamos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         P - T - T o = 0

  800 9,81 - T - T o = 0       →         T + T o = 7848

Vamos substituir T = 1,05 T o nesta equação que acabamos de achar:

T + T o = 7848       →         ( 1,053 T o ) + T o = 7848

T o = 3828   N

E T vai ser:

T = 1,05 T o       →         T = 1,05 ( 3828 )

T = 4020   N

Resposta

T = 4020   N

T o = 3828   N

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 270, 6/76

Calcule o torque M necessário para girar o carretel de cabo telefônico de 280   k g no sentido horário contra a força trativa de 1,6   k N no cabo. O diâmetro do mancal vale 62,5   m m e o coeficiente de atrito para o mancal é 0,30 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar um conceito que vimos em tópicos anteriores: o conceito de sistema força binário resultante.

Queremos calcular o momento necessário para fazer o carretel girar no sentido horário, certo? Mas antes disso, temos que calcular os momentos contrários a esse movimento.

O momento da força de 1,6   k N em relação ao ponto O no centro do carretel é dado por:

M 0 = 1,6 x 10 3 ( 0,55 ) = 880   N ⋅ m

Isso no sentido anti-horário.

Passo 2

Agora vamos representar o sistema de forças completo:

A força peso W do carretel tem módulo de:

W = 280 9,81   →       W = 2746,8   N

Tá vendo? Deslocamos a força de 1600   N para o ponto que queremos, além de representar o seu momento por meio de um binário. Que ponto é esse? É o ponto localizado a uma distância r f do centro do sistema.

Agora devemos calcular a força resultante devido à força aplicada e ao peso.

Assim:

F → R = 1600 cos ⁡ 45 ° i ^ + 1600 s e n 45 ° j ^ + 2746,8   j ^

F → R = 1131,4 i ^ + 1131,1 + 2746,8   j ^

F → R = 1131,4 i ^ + 3878,2 j ^

Assim, o módulo dessa força vale:

F → = 1131 , 4 2 + 3878,2 2

F → = 4039,85   N

Passo 3

Agora vamos descobrir o ângulo de atrito:

ϕ = a r c t g μ     →       ϕ = a r c t g 0,3

ϕ = 16,70 °

Com isso vamos poder calcular r f . É importante calcular r f porque a força resultante vai estar localizada a essa distância do centro do círculo. Repare que no enunciado foi dado o diâmetro do mancal que vale 62,5   m m , mas temos que usar o raio do mancal para calcular r f :

r f = r s e n 16,70 ° = 62,5 2 s e n 16,70 °

r f = 8,98   m m     →         r f = 0,00898   m

Com isso, podemos calcular o momento gerado pela força resultante:

M 0 ' = F R r f = 4039,85 0,00898   = 36,28   N ⋅ m

Passo 4

Show de bola! Já temos tudo que precisamos para calcular o momento M . Esse momento tem que se opor aos dois momentos que calculamos antes de forma a fazer com que o sistema fique na iminência de girar. Assim:

∑ M = 0       →       M - 36,28 - 880 = 0

M = 9 16,28   N ⋅ m

Resposta

M = 916,28   N ⋅ m

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 271, 6/79

O peso do tambor D e de seu cabo é de 45   k g e o coeficiente de atrito μ para o mancal vale 0,20 . Determine a força P necessária para suspender o cilindro de 40   k g se o atrito no mancal é ( a ) desprezível e ( b ) incluído na análise. O peso do eixo é desprezível.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para o primeiro caso em que o atrito é zero, vamos ter que:

r f = 0

Então, podemos desenhar nosso sistema assim:

Repare que levamos a força P para o ponto central do tambor, mas para fazer isso temos que levar o momento que esta força faz com relação a este ponto:

M = P 0,4   →       M = 0,4 P

Beleza?

Passo 2

Para achar o valor da força P é só fazermos o somatório de momentos com relação ao ponto G :

∑ M G = 0       →       40 9,81 0,25 - 0,4 P = 0

P = 245   N

Passo 3

Agora vamos considerar o atrito, então:

r f ≠ 0

Então, precisamos calcular o ângulo ϕ :

ϕ = a r c t g ( μ )       →         ϕ = a r c t g ( 0,2 )

ϕ = 11,31 °

Portanto, r f será:

r f = r s e n ϕ       →         r f = 25 s e n ( 11,31 ° )

r f = 4,90   m m

Passo 4

Para esta nova situação, podemos desenhar o nosso sistema assim:

Para achar o valor da força P vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto B :

∑ M B = 0       →       40 9,81 0,25 + r f - 0,4 P + 45 9,81 r f + P ( r f ) = 0

40 9,81 0,25 + 0,0049 - 0,4 P + 45 9,81 0,0049 + P ( 0,0049 ) = 0