Método de Cross
Teoria
Fala aí, pessoal!! Tudo tranquilo com vocês?
Hoje tô aqui para falar sobre o método de Cross, processo de Cross ou ainda método de distribuição dos momentos. Independentemente do nome esse é um método iterativo baseado no método das deformações para resolver problemas hiperestáticos, aqueles problemas que não conseguimos resolver apenas pelo somatório das forças e dos momentos.
Caso você não saiba um método iterativo é aquele que realizado diversas vezes em “loop” que converge para uma resposta final, muito utilizado pela galerinha de computação.
Vamos ver na prática como vai funcionar isso aí direito então não precisa se preocupar muito por agora.
Distribuição de momentos
A base fundamental deste problema é a distribuição de momentos aplicados a um nó. Imagina um nó submetido a uma carga-momento da seguinte forma:
Pessoal, sempre que um momento for exercido sobre um nó vamos considerar esse momento positivo se estiver no sentido horário ok? E negativo se estiver no sentido anti-horário!
Perceba que todas as barras estão engastadas então temos um caso hiperestático. O fundamental do método de Cross é distribuir esse momento em cada barra da seguinte maneira:
Logicamente que a soma desses momentos deve ser igual a , assim vamos ter:
Aí aqui que entra outra grande sacada deste método é perceber que cada momento , , é proporcional a um termo , e . Esses termos são chamados de coeficientes de distribuição e são calculados com base na rigidez relativa () de cada barra.
Então o coeficiente de distribuição de uma barra é dado pela da barra dividido pela soma da rigidez de todas as barras:
De forma genérica vamos ter:
Dessa forma o momento em cada barra vai ser igual ao momento vezes o coeficiente de distribuição da barra:
Tabelas necessárias
Beleza mas agora restam duas dúvidas, como achar o momento a partir de um problema igual ao apresentado no início e como achar a rigidez relativa das barras. Para isso vamos fazer a utilização de tabelas!
Não, infelizmente não vamos utilizar a tabela de memes =(
Para achar o momento vamos utilizar a tabela de engastamento perfeito que nos dá o momento a partir da configuração das condições dos apoios e de carga que tem essa carinha aqui:
Então se tivermos uma condição de engaste duplo o momento , por exemplo!
Agora para acharmos as constantes de rigidez temos de ir na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante:
Repare que queremos o minúsculo que é a rigidez relativa! Essa rigidez vai depender da inércia e do comprimento da barra.
Coeficiente de transmissão
Vamos olhar de novo para o nosso nó já com os momentos separados:
Mas esse não é o sistema todo, correto? Existe ainda os pontos de engaste da barra. Agora vamos descobrir como achar os momentos nesses engastes e para isso vamos utilizar o chamado coeficiente de transmissão, que vai transmitir o momento atuante no nó de uma barra para o seu engaste.
Esse coeficiente aparece na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante e é o termo (no caso de um engaste duplo irá valer como mostrado na tabela). Assim vamos ter:
pronto! Agora temos o valor de todos os momentos atuantes na barra! Viu como esse método é bem interessante? A gente pode ainda substituir por valores numéricos para ficar mais fácil de entender:
E a iteração?
Galera, eu falei lá no começo que esse método é um método iterativo certo? Que trabalha com repetições e “loops” não é?
Pode ficar calmo que eu não menti para vocês. Na verdade eu apresentei um exemplo com apenas um nó, um ponto de aplicação desse método, de forma que fique mais fácil o entendimento.
As iterações vão aparecer quando a gente precisar aplicar esse método para mais de um nó! Mas vamos ver isso com mais calmo nos exercícios, beleza?
Então partiu resolver alguns!!
Tabelas necessárias
Coeficiente de transmissão
E a iteração?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própia
Para o nó abaixo determine o momento em cada uma das barras utilizando o método de distribuição de momentos sabendo que um momento externo atua sobre o nó A. Considere e os comprimentos das barras iguais a , e .
Passo 1
Essa questão pede para acharmos os momentos distribuídos nas barras 1,2 e 3. Todas conectadas ao nó . Para isso vamos considerar o nó um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita.
Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:
Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D
Passo 2
Vamos transformar então o nó num engaste, representamos isso por um simples quadrado:
Agora vamos olhar a tabela a qual o problema se refere:
Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:
E quando um lado é engastado e outro rotulado:
Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:
E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:
Passo 3
Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:
Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:
obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?
Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.
Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:
Passo 4
Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.
Assim vamos calcular para a barra 1:
Para a barra 2:
Para a barra 3:
Representando num esquema:
Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale .
Fim da questão =D
Resposta
Exercício Resolvido #2
José Carlos Sussekin, Curso de análise estrutural, 7ª ed. Rio de Janeiro: Globo, 1987, pp. 198 (adaptada)
Para a viga e carregamento abaixo e utilizando a tabela fornecida encontre os momentos-carga relativos à carga atuante na viga.
Dado: Tabela de momento de engastamento perfeito.
Passo 1
Na teoria a gente viu que é possível transformar um carregamento em cargas-momento e isso de fato é crucial para qualquer problema deste tipo. E para tal precisamos de auxílio da nossa tabelinha.
Perceba que a tabela fornece 3 situações de apoios e duas situações de carga. Com isso vamos poder achar todos os momentos através das equações mostradas na própria tabela.
Lembre-se que a primeira coisa que devemos fazer é transformar todos os nós internos em nós biengastados.
Passo 2
Primeiro vamos fazer a transformação dos nóis internos apoios biengastados:
Repare que fizemos isso apenas para os nós internos!
Agora vamos começar pela carga distribuída. Quando temos carga distribuída e viga biengastada vamos ter:
obs: Na tabela aparece e eu coloqueo aqui esquerda e direita para não confundirmos as letras!
obs2: Lembre-se de manter sempre os sinais!! A convenção de sinais é muito importante!
Agora vamos calcular para a barra 1 (caso de distribuição uniforme e apoio biengastado):
Para a barra 2 (também é o mesmo caso de distribuição uniforme e apoio biengastado):
Viu como cada seção da viga aplicada um momento sobre o ponto. Ou seja o mesmo ponto ( poe exemplo) pode estar sujeito a diversos carregamentos!
Passo 3
Vamos para a barra 3 (caso de viga engastada do lado esquerdo e apoiada com rótula do lado direito). Esse caso foi apresentado em outro passo porque agora temos, segundo a tabela:
Olha como o fato de ter uma rótula anula o momento!
Então teremos:
Passo 4
E finalmente temos de calcular o momento relativo à carga pontual. Que é dado por:
Novamente por causa da rótula o momento é nulo.
Vamos ter:
Passo 5
Agora vamos colocar todos esses momentos de volta na nossa figura:
Repare que o momento em relativo à barra 3 é igual a soma dos momentos relativos ao carregamento distribuído com o carregamento pontual
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própia
Para o sistema abaixo encontre o valor dos momentos nos pontos B, C e D. Considere e os comprimentos das barras iguais a , e .
Passo 1
Essa questão pede para acharmos os momentos nos pontos A, B e C; ou seja, os pontos de apoio do sistema. Para isso vamos considerar o nó um ponto de engaste, essa é a primeira coisa a ser feita. Em seguida vamos utilizar a tabela de engastamento perfeito para saber qual será o momento gerado por esse carregamento.
Depois vamos utilizar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante para achar as constantes de rigidez de cada barra. Com essas constantes vamos achar o coeficiente de distribuição. Lembrando que o coeficiente de distribuição é igual à constante de rigidez da barra sobre a soma das constantes:
Com o coeficiente de distribuição vamos achar os momentos distribuídos pelas barras =D
Por fim vamos aplicar o coeficiente de transmissão que nos motrará qual será o momento efetivo nos apoios!
Passo 2
Vamos transformar então o nó num engaste, representamos isso por um simples quadrado:
Agora vamos descobrir quanto de momento essa carga irá gerar, através da tabela de engastamento perfeito:
Perceba que temos o caso de biengastamento então vamos ter para :
E para
Calculando esses valores:
E para :
Ou seja podemos transformar esse problema em um análogo:
Reparem que quando temos um valor negativo de momento o sentido fica anti-horário!
Passo 3
Pessoal, esse problema ficou muito parecido com o problema da questão 1 não é mesmo? Então vamos prosseguir da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é o sentido do momento.
Agora vamos olhar a tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante afim de poder calcular o coeficiente de distribuição:
Perceba que quando temos ambos os lados engastados temos que a rigidez relativa vale:
E quando um lado é engastado e outro rotulado:
Comoas barras 1 e 3 são engastadas vamos ter:
E para a barra 2 vamos ter um lado rotulado e outro engastado então temos:
Passo 4
Com os coeficientes de rigidez relativa vamos poder calcular os coeficientes de distribuição, que é a parte mais essencial desse problema! Lembrando que:
Temos de fazer isso para cada nó envolvido, como há apenas um nó:
obs: Aqui aproximamos para duas casas decimais beleza, pessoal?
Repare que a soma de todos esses valores da 1. Isso sempre vai acontecer dentro um nó, porque o momento deve ser distribuído entre todos eles e não pode faltar nem sobrar nada.
Agora vamos representar esses termos em cada nó da seguinte forma:
Passo 5
Finalmente vamos pegar o momento e fazer a distribuição.
Assim vamos calcular para a barra 1:
Para a barra 2:
Para a barra 3:
Representando num esquema:
Perceba que mantivemos o mesmo sentido do momento original e o seu módulo, já que a soma de todos esses momentos distribuídos vale .
Até aqui foi bem parecido com o problema anterior. Mas além da carga distribuída vamos olhar como esses momentos em torno do nó serão distribuídos para os apoios.
Passo 6
Para achar o coeficiente de distribuição vamos ter que olhar novamente na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante:
Ta vendo o termo esse é o termo de transmissão e vai valer para vigas biengastadas e será nulo para vigas rotuladas (exatamente porque a rótula permite rotação).
Sendo assim a transmissão para e será igual à metade do valor em :
E será nula para já que é rotulado (coitadinho.. não rotulem seus amigos kkk)
Assim vamos ter:
Esses são os momentos transmitidos maaaasss a gente quer os momentos nos apoios e não os momentos transmitidos de fato. Se lembra que em também exisitia um momento proveniente da carga? Esse momento valia:
Então temos de somar esse momento ao momento transmitido ao ponto :
Assim o resultado final será:
Resposta
Exercício Resolvido #4
José Carlos Sussekin, Curso de análise estrutural, 7ª ed. Rio de Janeiro: Globo, 1987, pp. 187 (Adaptado)
Para o carregamento e a estrutura abaixo encontre os momentos atuantes nos pontos A, B, C e D utilizando o método de Cross.
Passo 1
Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.
Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).
Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:
- Substituir o nó por um sistema engastado e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado na barra , sujeita à carga.
- Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
- Aplicar o somatório dos momentos em relação ao ponto A “liberando” esse ponto, observando que o momento depende de fatores geométricos e materiais das barras.
- Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.
Passo 2
A primeira coisa que a gnete faz é a substituição do nó pelo sistema engastado, como se todas três barras estivessm biengastadas mesmo! Podemos representar isso por um quadrado em :
Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Como temos o caso de uma viga biengastada vamos ter:
Logo o momento atuante na barra 1 será igual a :
Substituindo os valores:
Perceba então que a barra exerce um momento de sobre o ponto .
Passo 3
Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:
Onde é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:
Observe que necessitamos apenas do termo . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra (lembrando que todas estão biengastadas), o valor de foi dado no problema e é o comprimento da barra:
(Para esse última caso achamos por meio de pitágoras, ok)!?
Então como temos todos os agora podemos achar o termo de cada barra:
Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos e no nosso desenho da seguinte forma:
Passo 4
Agora vamos “liberar” o ponto do engaste e ao fazermos isso o momento se tornará uma carga-momento aplicado em e cada barra aplicará um momento e . Vai ficar mais ou menos assim:
obs: Repare bem nos sentidos! O sentido horário é positivo e o anti-horário é negativo, isso é muito importante porque as tabelas que utilizamos utilizam as mesmas convenções de sentido!
Agora nós vamos aplicar a relação entre os momentos das barras , e ; essa relação é da seguinte forma:
Onde é a carga-momento (nesse caso igual a ) e é um fator que diz quanto de será aplicado numa barra . Como já calculamos o ficar fácil achar os momentos:
Pronto! Agora temos os momentos que atuam em cada barra! Repare que os valores são negativos porque estão no sentido anti-horário!
Passo 5
Mas a gente achou diversos momentos que atuam nos pontos, o importante na análise do problema é achar o momento fletor resultante. Para isso a gente vai deduzir algumas parcelas, perceba que que para as barras e não precisamos fazer isso, apenas para a barra AB, que vamos ter:
Assim vamos obter o seguinte:
Esses são os momentos imediatamente próximos do ponto , nós precisamos também dos momentos relacionados aos pontos , e . Que são achados utilizando novamente a tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:
Olha para o termo esse termo é chamado de coeficiente de transferência e é o termo que diz quanto do momento em vai ser transferido para . No nosso caso todos são iguais a então para as barras e basta dividir por :
Para a barra precisamos considerar também o momento que vem do engaste
Colocando no diagrama vamos ter:
Resposta
Exercício Resolvido #5
José Carlos Sussekin, Curso de análise estrutural, 7ª ed. Rio de Janeiro: Globo, 1987, pp. 189 (adaptada)
Para o carregamento e a estrutura abaixo encontre os momentos atuantes nos pontos A, B, C e D utilizando o método de Cross. Considere . Obs: Utilize duas casas decimais.
Passo 1
Essa questão pede para acharmos os momentos autantes nas barras, mais precisamente nos pontos dados.
Ao analisar a estrutra nós percebemos que se trata de uma estrutura hiperestática, ou seja, não pode ser resolvida utilizando aquelas equações da estática (somatório das forças e momentos).
Para resolver o exercício pelo método de Cross a gente vai fazer o seguinte passo a passo:
- Substituir os nós por sistemas engastados e com auxílio da tabela de momentos especificar o momento aplicado em cada seção da viga sujeita à carga.
- Calcular os coeficientes de distribuição entorno do nó.
- Aplicar o somatório dos momentos em relação aos pontos “liberando” tais pontos observando que o momento depende de fatores geométricos e dos materiais das barras.
- Calcular os momentos de cada barra segundo os fatores acima apresentados.
Passo 2
A primeira coisa que a gnete faz é a substituição dos nós pelo sistema engastado, como se todas seções da viga estivessm biengastadas mesmo! Para essa representação utilizamos um quadrado, veja:
obs: Repare que não é precisa mudar a condição de , isso ocorre simplesmente pelo fato de se localizar na ponta da viga e queremos apenas os momentos internos!
Vamos então olhar na tabela de “Grandezas auxiliares para battas com inércia constante J” e achar o momento. Aqui temos tanto o caso biengastado quanto o caso de um lado engastado e outro rotulado, vamos olhar a tabelinha:
Para a barra 1 temos a terceira condição de contorno (ou bordo) então vamos ter:
Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:
Para a barra 2 vamos ter a primeira condição de contorno, portanto:
Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:
Finalmente para a barra 3 também vamos ter a primeira condição de contorno, logo:
Como a carga vale e o comprimento é igual a vamos ter:
Agora a gente pode substituir o carregamento distribuído pelos momentos que calculamos:
Agora vamos calcular os coeficientes de distribuição.
Passo 3
Os coeficientes de distribuição são os coeficientes que dizem quanto da carga-momento é aplicada em cada barra e são calculados como:
Onde é a rigidez relativa de cada barra. Esse valor da rigidez relativa também é encontrado numa tabela de “Grandezas auxiliares para barras com inércia constante ”. Retirando o caso da viga biengastada da tabela temos:
Observe que necessitamos apenas do termo . Agora vamos calcular a rigidez relativa de cada barra. O valor de foi dado no problema e é o comprimento da barra:
Para a barra 1 vamos ter um lado engastado e outro rotulado, então:
Para a barra 2 vamos ter ambos os lados engastados, então:
Para a barra 1 vamos ter ambos os lados engastados, então:
Então como temos todos os agora podemos achar o termo de cada barra. Importando lembrar que isso se refere a cada nó então vamos ter, em torno do nó :
Em torno do nó :
Agora a gente coloca esses dados em conjunto com os momentos calculados no nosso desenho da seguinte forma:
Passo 4
Agora vamos começar o nosso processo iterativo! Diferentemente da primeira questão deste assunto (que tinha apenas um nó) esse problema tem mais de um nó, por isso é necessária a iteração!
O passo zero é colocar os dados de momentos que já calculamos, vai ficar assim:
Agora vamos dar o primeiro passo, que consiste em liberar a rotação do nó , desta forma uma carga-momento deverá ser aplicada sobre de forma a permanecer em equilíbrio, o valor dessa carga-momento é igual à diferença entre os momentos de um lado e do outro:
Então é como se a gente tivesse isso aqui:
Mas essa carga momento de gera uma momento de igual valor e sentido contrário () que é distribuido para os dois lados do nó pelo coeficiciente de distribuição . E vamos obter:
Pode até reparar que a soma desses momentos é igual a . Então agora vamos obter:
Mas o passo 1 ainda não acabou porque existe ainda o coeficiente de transmissão! O que quer dizer que parte do momento gerado no nó e aplicado a barra 2 (igual a ) irá ser transmitido para o nó pela própria barra 2.
Esse coeficiente de transmissão está explicitado na tabela de grandezas auxiliares para barras com inércia constante e é o termo :
Como temos o caso biengastado ele vale:
Logo a transmissão será igual à metade do valor: