Enunciado

100. A energia potencial V de um sistema massa-mola linear é dada, em joules, por 64 x 2 , onde x é o deslocamento em metros, medido a partir da posição de equilíbrio neutra. A energia cinética T do sistema, em joules, é dada por 8 x ˙ 2 . Determine a equação diferencial do movimento para o sistema e encontre o período τ de sua oscilação. Despreze a perda de energia.

Passo 1

Bom, primeiro vamos relacionar as energias:

E T = V + T

E T = 64 x 2 + 8 x ˙ 2

Como não há perdas de energia, a energia total E T é constante.

Passo 2

Agora, vamos derivar a equação achada em relação ao tempo:

d d t E T = 0   ( C o n s t a n t e )

d d t 64 x 2 = 128 x x ˙ d d t 8 x ˙ 2 = 16 x x ¨ ˙

128 x x ˙ + 16 x ˙ x ¨ = 0

Simplificando a relação, temos:

x ¨ + 8 x = 0

Passo 3

Com isso, vamos achar o período τ do sistema.

Sabemos que a fórmula genérica de um sistema massa-mola é dada por:

x ¨ + k m x = 0

Podemos ver que na equação que a gente achou:

k m = 8

E onde vamos usar isso? Bom para achar o período, primeiro temos que achar a frequência de ressonância pela fórmula:

ω n = k m

ω n = 8 = 2 2   r a d / s

Passo 4

Agora, para achar o período, vamos usar a fórmula:

τ = 2 π ω n

τ = 2 π 2 2

τ ≅ 2,22   s

Resposta

A equação diferencial de movimento do sistema será:

x ¨ + 8 x = 0

E o período τ será:

τ ≅ 2,22   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o período τ das pequenas oscilações da casca cilíndrica do Prob. 8/77, repetido aqui, em torno do eixo y .
O comprimento da mola é ajustado de modo que a posição de equilíbrio do braço é horizontal conforme mostrado. Despreze a massa da mola e do braço e calcule a frequência natural f n para pequenas oscil
A casca cilíndrica semicircular de raio r com espessura de parede pequena, porém uniforme, é colocada em oscilação com deslocamentos pequenos sobre a superfície horizontal. Se não ocorre deslizamento,
A haste esbelta uniforme de comprimento 2 ⋅ b é sustentada no plano horizontal por uma suspensão bifilar. A haste é colocada em oscilação com ângulos pequenos em torno do eixo vertical através de seu
Um furo de raio R / 4 é perfurado através de um cilindro de raio R para formar um corpo de massa m como mostrado. Se o corpo rola sobre a superfície horizontal sem deslizar, determine o período τ para