Enunciado

125. Os dois cones circulares retos homogêneos maciços, cada um de massa m , são fixados um ao outro em seus vértices para formar uma unidade rígida e estão girando em torno de seu eixo de simetria radial à taxa de p = 200   r p m .

(a) Determine a razão h / r para a qual o eixo de rotação não realiza precessão.

(b) Esboce os cones espacial e do corpo para o caso onde h / r é menor do que a razão crítica.

(c) Esboce os cones espacial e do corpo quando h = r e a velocidade de precessão é φ ˙ = 18   r a d / s .

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai definir a velocidade de precessão φ ˙ como sendo:

φ ˙ = I P I 0 - I ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Passo 2

(a) Para o caso de não termos precessão, então I 0 = I .

Da tabela D 4 que informa como que fica os momentos de inércia do objeto, nós temos:

I = I z z

I = 2 3 10 m r 2 = 3 5 m r 2

I 0 = I x x

I 0 = 2 3 20 m r 2 + 3 5 m h 2

I 0 = 3 10 m r 2 + 6 5 m h 2

Aqu, tivemos que multiplicar ambos momentos de inércia por 2 , pois a tabela fornece dados para um “cone”. Para calcular I 0 nós ultilizamos o teorema dos eixos paralelos.

Passo 3

Como I 0 = I , então:

3 5 m r 2 = 3 10 m r 2 + 6 5 m h 2

3 5 m r 2 - 3 10 m r 2 = 6 5 m h 2

( 6 - 3 ) 10 m r 2 = 6 5 m h 2

3 2 m r 2 = 6 1 m h 2

r 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ h 2

r = 2 h

∴ h r = 1 2

Passo 4

(b) Para h / r menor que a razão crítica, temos h < r / 2 , portanto:

I 0 < I

O que resulta em uma precessão retrógrada

Passo 5

(c) Para h = r , nós temos:

I 0 = 3 10 m r 2 + 6 5 m r 2

I 0 = 3 2 m r 2

Passo 6

Agora, da fórmula da velocidade de precessão:

φ ˙ = I P I 0 - I ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Temos:

I P ( I 0 - I ) = I ( I 0 - I )

I ( I 0 - I ) = 3 5 3 2 - 3 5 = 3 5 15 - 6 10

I ( I 0 - I ) = 3 5 9 10 = 3 5 ⋅ 10 9 = 2 3

Passo 7

Como temos o valor do giro em torno do seu eixo p em r p m , precisamos encontrá-la em r a d / s :

p = 200   r p m = 200 2 π 60

p = 20,9   r a d / s

Passo 8

Agora, pela fórmula:

φ ˙ = I P I 0 - I ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Dividiremos o valor de φ ˙ por p :

φ ˙ p = I P I 0 - I ⋅ c o s ⁡ ( θ )

18   r a d / s 20,9   r a d / s = 2 3 1 c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ = 2 3 20,9   r a d / s 18   r a d / s

cos ⁡ θ = 41,8 54 = 0,774

Calculando o cos - 1 ⁡ θ :

cos - 1 ⁡ θ = 0,774

∴ 39,1 °

O que resulta em uma precessão direta

Resposta

(a) A razão h / r é:

h r = 1 2

(b) A precessão é retrógrada:

(c) A precessão é direta:

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