Enunciado

128. Determine a frequência natural f n das oscilações verticais do cilindro de massa m . A massa e o atrito do tambor escalonado são desprezíveis.

Passo 1

Bom, primeiro vamos fazer o diagrama de corpo livre do sistema:

Aqui, T é a tração da corda que liga o tambor à massa. Para achar o valor de T , devemos fazer o somatório de momentos em relação ao ponto O :

∑ M 0 = 0

- 2 k x ⋅ 2 r + T ⋅ r = 0

T ⋅ r = 4 k x ⋅ r

∴ T = 4 k x

Passo 2

Agora, vamos fazer o somatório de forças em relação ao eixo x :

∑ F x = m x ¨

Lembrando que x ¨ = a .

- 4 k x = m x ¨

m x ¨ + 4 k x = 0

x ¨ + 4 k m x = 0   ( I )

E essa equação é a equação de movimento harmônico do sistema.

Passo 3

Relembrando que a equação de movimento harmônico genérica é da forma:

θ ¨ + ω n 2 θ = 0

Onde ω n é a frequência natural do sistema e comparando com a nossa equação de movimento, então:

ω n = 4 k m = 2 k m

Passo 4

Finalmente, lembrando que a fórmula para a frequência f n é:

f n = ω n 2 π

f n = 1 2 π ⋅ 2 k m

∴ f n = 1 π k m

Resposta

A frequência natural f n será:

f n = 1 π k m

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