Enunciado

12. Um extensômetro está montado no eixo de aço A - 36 de 25   m m de diâmetro como mostra a figura. Quando o eixo está girando a uma velocidade angular ω = 1760   r e v / m i n e usando um anel corrediço, a leitura no extensômetro é ϵ = ( 800 × 10 - 6 ) . Determine a potência de saída do motor. Considere que o eixo está sujeito somente a um torque.

Passo 1

Primeiro, vamos mudar a unidade r e v / m i n para r e v / s para colocar a velocidade angular ω em r a d / s .

ω = 1760 × 2 π 60

ω = 184,307   r a d / s

Passo 2

Considerando que no estado inicial, não há nenhuma componente de estado plano de deformação, temos que:

ϵ x = ϵ y = 0

Em seguida, vamos calcular a deformação por cisalhamento de um elemento orientado pelo ângulo θ = 60 ° , conforme mostra a figura, por meio da fórmula de transformação da deformação no eixo x ' :

ϵ x ' =   ϵ x + ϵ y 2 +   ϵ x - ϵ y 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ 2 θ

Mas a própria questão nos diz, né, que a leitura do extensômetro no eixo, que vai ser a nossa direção x ' , vale 800 × 10 - 6 . Logo, encontramos o valor de ϵ x ' = 800 × 10 - 6 . Vamos então, substituir os valores numéricos pertencentes a cada variável da nossa equação:

ϵ x ' =   0 + 0 2 +   0 - 0 2 ⋅ cos ⁡ 120 ° +   γ x y 2 ⋅ sen ⁡ 120 ° = ( 800 × 10 - 6 )

γ x y = 1,848 × 10 - 3   r a d

Passo 3

Como foi dado que o aço é do tipo A - 36 , temos que:

G = 75 × 10 9   P a

Então, utilizaremos a fórmula de tensão de cisalhamento:

τ = G γ x y

E substituímos os valores numéricos de cada variável:

τ = 75 × 10 9 ( 1,848 × 10 - 3 )

τ = 138,6   M P a

Passo 4

Encontrada a tensão de cisalhamento, vamos utilizar então a seguinte fórmula, que todo mundo já tá careca de saber, para encontrar o nosso torque T .

τ = T c J

T = τ J c

Trocando as variáveis pelos seus respectivos números, chegamos à:

T = 138,6 × 10 6   P a π 2 0,0125   m 4 0,0125   m

T = 425,2195   N ⋅ m

Passo 5

Por fim, calcularemos a potência necessária, pela equação abaixo ( o produto do torque pela velocidade angular). Você pode tá achando essa expressão estranha, mas o produto das grandezas dimensionais dela, resulta em N ⋅ m s , que tem dimensão de potência. Então, estamos corretos!

P = T ω

P = ( 425,2195   N ⋅ m ) ( 184,307   r a d / s )

P = 78,37   k W

Resposta

A potência da saída do motor será de:

P = 78,37   k W

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