Enunciado

133. Dois cabos exercem forças sobre o tubo. Determine a intensidade da componente projetada de F 1 ao longo da linha de ação de F 2 .

Passo 1

Primeiro para resolver essa questão temos que achar o vetor unitário que tenha a mesma direção que a força F 1 para podermos escrever a força de forma vetorial, para isso vamos usar a fórmula:

F 1 → = F 1 ⋅ u →

Sendo u → o vetor unitário com a mesma direção de F 1 .

Depois que acharmos a força expressa em forma vetorial basta multiplicá-la pelo vetor unitário na direção de F 2 , obtendo assim a intensidade da força ao longo da linha de ação de F 2 .

Passo 2

Agora para determinar o vetor unitário na direção F 1 é fácil já que temos os ângulos de inclinação de F 1 .

Para nosso caso temos que a projetar u →   plano x y para depois achar suas componentes em x e y e para achar a componente em z basta projetá-lo na vertical, então ficamos com:

u → = cos ⁡ 30 ° ⋅ s e n   30 ° i + cos ⁡ 30 ° ⋅ cos ⁡ 30 ° j - s e n   30 ° k

= 0,433 i + 0,75 j - 0,5 k

Logo F 1 → pode ser obtida com a seguinte operação:

F 1 → = F 1 ⋅ u →

= 30 ⋅ 0,433 i + 0,75 j - 0,5 k

⇒ F 1 → = ( 12,99 i + 22,5 j - 15 k )

Passo 3

Agora precisamos achar o vetor unitário na direção de F 2 , vamos usar o mesmo raciocínio que para o F 1 só que com o auxílio da equação E q . 2.8 do livro, que nos diz o seguinte:

E q . 2.8 → cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Mais o auxílio da E q . 2.7 que diz como a achar o vetor unitário com a mesma direção de outro vetor através dos ângulos diretores:

E q . 2.7 → v → = cos ⁡ α i + cos ⁡ β j + cos ⁡ γ   k

Então para o vetor unitário de F 2 temos:

v → = cos ⁡ α i + cos ⁡ 60 ° j + cos ⁡ 60 °   k

Para achar α basta usar a E q .   2.8 :

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ 60 ° = 1

⇒ cos 2 ⁡ α + 1 4 + 1 4 = 1

⇒ cos 2 ⁡ α = 1 - 1 2

⇒ cos 2 ⁡ α = 1 2

⇒ cos ⁡ α = 2 2

Olhando a figura vemos que o ângulo que nos possibilita esse resultado é:

α = 135 °

Logo:

v → = cos ⁡ 135 ° i + cos ⁡ 60 ° j + cos ⁡ 60 °   k

Passo 4

Agora só temos que multiplicar F 1 → por v → , então:

F 1 → ⋅   v → = 12,99 i + 22,5 j - 15 k ⋅ cos ⁡ 135 ° i + cos ⁡ 60 ° j + cos ⁡ 60 °

= 12,99 ⋅ ( - 0,707 ) + 22,5 ⋅ 0,5 - 15 ⋅ 0,5

= - 9,18 + 11,25 - 7,5 = - 5,44

O fato de ser negativo indica que a projeção dessa força ao longo do eixo de ação de F 2 é contraria ao vetor unitário

Resposta

A intensidade de F 1 ao longo da linha de ação de F 2 é:

F 1 = 12,93   N

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Os cabos conectados ao olhal estão sujeitos às três forças mostradas na figura. Expresse cada força na forma de vetor cartesiano e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força r
Determine a intensidade e os ângulos diretores  coordenados da força resultante em A.
Expresse cada uma das forças na forma de um vetor cartesiano e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante.
Se FB = 700 N e FC = 560 N, determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante no mastro.
Expresse cada força na forma de vetor cartesiano.