Enunciado

134. Determine o ângulo θ entre os dois cabos conectados ao tubo.

Passo 1

Para achar esse ângulo precisamos lembrar de como calcular o produto escalar entre dois vetores. Assim:

A → ⋅ B → = A B ⋅ cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os dois vetores, isolando θ temos:

θ = a r c o s A → ⋅ B → A B

Temos também que achar os vetores unitários que tenham a mesma direção que a força F 1 e que a F 2 para podermos escrever as forças de forma vetorial, para isso vamos usar a fórmula:

F → = F ⋅ u →

Sendo u → o vetor unitário com a mesma direção de F .

Passo 2

Agora para determinar o vetor unitário na direção F 1 é fácil já que temos os ângulos de inclinação de F 1 .

Para nosso caso temos que a projetar u →   plano x y para depois achar suas componentes em x e y e para achar a componente em z basta projetá-lo na vertical, então ficamos com:

u → = cos ⁡ 30 ° ⋅ s e n   30 ° i + cos ⁡ 30 ° ⋅ cos ⁡ 30 ° j - s e n   30 ° k

= 0,433 i + 0,75 j - 0,5 k

Logo F 1 → pode ser obtida com a seguinte operação:

F 1 → = F 1 ⋅ u →

= 30 ⋅ 0,433 i + 0,75 j - 0,5 k

⇒ F 1 → = ( 12,99 i + 22,5 j - 15 k )

Passo 3

Agora precisamos achar o vetor unitário na direção de F 2 , vamos usar o mesmo raciocínio que para o F 1 só que com o auxílio da equação E q . 2.8 do livro, que nos diz o seguinte:

E q . 2.8 → cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Mais o auxílio da E q . 2.7 que diz como a achar o vetor unitário com a mesma direção de outro vetor através dos ângulos diretores:

E q . 2.7 → v → = cos ⁡ α i + cos ⁡ β j + cos ⁡ γ   k

Então para o vetor unitário de F 2 temos:

v → = cos ⁡ α i + cos ⁡ 60 ° j + cos ⁡ 60 °   k

Para achar α basta usar a E q .   2.8 :

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ 60 ° = 1

⇒ cos 2 ⁡ α + 1 4 + 1 4 = 1

⇒ cos 2 ⁡ α = 1 - 1 2

⇒ cos 2 ⁡ α = 1 2

⇒ cos ⁡ α = 2 2

Olhando a figura vemos que o ângulo que nos possibilita esse resultado é:

α = 135 °

Logo:

v → = cos ⁡ 135 ° i + cos ⁡ 60 ° j + cos ⁡ 60 °   k

= - 0,707 i + 0,5 j + 0,5 k

Logo F 2 → pode ser obtida com a seguinte operação:

F 2 → = F 2 ⋅ v →

= 25 ⋅ - 0,707 i + 0,5 j + 0,5 k

⇒ F 2 → = ( - 17,67 i + 12,5 j + 12,5 k )

Passo 4

Agora basta usar a fórmula do passo 1 para achar θ .

θ = a r c o s ( 12,99 i + 22,5 j - 15 k ) ⋅ - 17,67 i + 12,5 j + 12,5 k 30 ⋅ 25

= a r c o s - 229,53 + 281,25 - 187,5 750

= a r c o s - 135,78 750

= a r c o s - 0,18

⇒ θ ≅ 100 °

Resposta

θ = 100 °

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