Enunciado

138. Dois painéis de madeira compensada de 0,6   m   ×   1,2   m , cada qual com peso de 48   N , são pregados juntos tal como mostra a figura. Os painéis são sustentados por rótulas em A e F e pelo arame B H . Determine ( a ) a localização de H no plano x y para a tração no arame ser mínima e ( b ) a correspondente tração mínima.

Passo 1

Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Vamos escolher o eixo de rotação para o cálculo do momento o eixo A F , pois as forças de reação em A e F não irão contribuir para o cálculo do momento.

O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação A F , então:

u A F → = r A F → r A F →

Onde r A F → é o vetor que sai do ponto A até o ponto F . Assim:

r A F → = { 1,2 i - 0,6 j - 1,2 k }

r A F → = 1,2 2 + - 0,6 2 + - 1,2 2

= 3,24

= 1,8

Logo:

u A F → = { 1,2 i - 0,6 j - 1,2 k } 1,8

= { 0,667 i - 0,333 j - 0,667 k }

Assim nossa equação de equilíbrio referente ao momento fica da seguinte forma:

∑ M A F → = 0

u A F → ⋅ r A G 1 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ r A G 2 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ ( r A B → × T → ) = 0

Onde G 1 representa o ponto de aplicação da força peso na esquerda e G 2 representa a da direita.

Passo 2

Agora analisando a equação de equilíbrio referente ao momento:

u A F → ⋅ r A G 1 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ r A G 2 → × 0 i - 12 j + 0 k + u A F → ⋅ ( r A B → × T → ) = 0

⇒ 0,667 - 0,333 - 0,667 0,6 - 0,3 0 0 - 48 0 + 0,667 - 0,333 - 0,667 1,2 - 0,3 - 0,6 0 - 48 0 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Abrindo essa conta, temos:

⇒ 0,667 0 + 0,333 0 - 0,667 - 28,8 +

+ 0,667 - 28,8 + 0,333 0 - 0,667 - 57,6 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Então temos que:

19,20 - 19,20 + 38,41 + u A F → ⋅ r A B → × T → = 0

Com esse resultado ficamos com duas opções:

u A F → ⋅ r A B → × T → = - 38,41

Ou de uma forma melhor que vai nos ajudar a resolver esse problema:

T → ⋅ u A F → × r A B → = - 38,41     ( 1 )

Passo 3

Pela teoria de produto escalar de vetores podemos entender essa expressão acima como a projeção de T → em u A F → × r A B → como sendo constante, assim T m í n → é paralelo ao seguinte termo:

u A F → × r A B →

⇒ 0,667 i - 0,333 j - 0,667 k × 1,2 i + 0 j + 0 k

⇒ - 0,8 j + 0,399 k

Sabendo que T m í n → é paralelo a esse vetor, se acharmos um vetor unitário desse vetor, poderemos escrever T m í n → como um vetor que nada mais é que a projeção de T m í n nessa direção. Vamos primeiro achar o vetor unitário.

u → = - 0,8 j + 0,399 k 0,893 = - 0,859 j + 0,446 k

Então:

T m í n → = T m í n ( - 0,859 j + 0,446 k )

Então se jogarmos o que temos na equação ( 1 ) , ficamos assim:

T m í n ( - 0,859 j + 0,446 k ) ⋅ - 0,8 j + 0,399 k = - 38,41

⇒ 0,687 T m í n + 0,176 T m í n = - 38,41

⇒ 0,863 T m í n = - 38,41

⇒ T m í n = - 44,50   N

Mas temos que estar interessados no módulo desse vetor, logo:

T m í n = 44,50   N

Tendo esse valor, conseguimos achar o seguinte:

T m í n → = 44,50 ( - 0,859 j + 0,446 k )

= - 38,22 j + 19,84 k

Passo 4

Então, achamos o T mínimo dado por:

T m í n → = - 38,22 j + 19,84 k

Se você reparar ele não tem componente em i , logo deve ser paralelo ao plano y z , cosequentemente B H deve ser paralelo a esse plano, com isso podemos achar que

x = 1,2

Agora, para achar o y , sabemos que:

T m í n → = 44,50 - 0,859 j + 0,446 k

E que:

- 0,859 j + 0,446 k

É o vetor unitário na direção de B H e pela figura, sabemos que:

z = 1,2

Então por uma relação de proporcionalidade, temos:

z 0,446 = y 0,859

⇒ y = 1,926 z

⇒ y = 2,31

Resposta

a

x = 1,2   m

y = 2,31   m

( b )

T m í n = 44,50   N

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