Enunciado

Substitua as molas em cada um dos dois casos representados, por uma única mola de rigidez k (rigidez equivalente da mola), que fará com que cada massa vibre com sua frequência original.

Passo 1

Para determinarmos a relação entre as constantes das molas para os casos (a) e (b), vamos precisar considerar a relação entre as forças de cada mola.

Passo 2

Para a letra (a), como as molas estão em paralelo entre si, as forças podem ser somadas para obter uma força total das molas:

F = F 1 + F 2

Expressando cada força como força elástica:

k x = k 1 x + k 2 x

Como as variações em torno da posição de equilíbrio são as mesmas para cada mola, os x são iguais, portanto, o x da força equivalente também será.

Simplificando:

k = k 1 + k 2

Passo 3

No caso da letra (b), as molas estão em série, com isso, a força exercida sobre a mola 1 será igual à força sobre a mola 2, podemos chamar essa força de F:

F = F 1 = F 2

E o deslocamento do equilíbrio x, pode ser escrito em termos dessas forças

x = F k ,   x 1 = F 1 k 1 ,   x 2 = F 2 k 2  

Como a deflexão equivalente é a soma das deflexões:

x = x 1 + x 2

Ao substituirmos as equações para cada deflexão na equação acima, ficamos com:

F k = F 1 k 1 + F 2 k 2

Mas como as forças são iguais:

F k = F k 1 + F k 2

Simplificando:

1 k = 1 k 1 + 1 k 2

Resposta

( a ) k = k 1 + k 2

( b ) 1 k = 1 k 1 + 1 k 2

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