A ação do vento criou um depósito de areia sobre uma plataforma tal que a intensidade da carga de areia sobre essa plataforma pode ser aproximada por uma função w = (0,5 \* x^3) N/m . Reduza esse carregamento distribuído a uma força resultante equivalente e especifique a intensidade e a localização da força, medida a partir de A .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Sobre uma plataforma de comprimento 10  m partindo de A , a carga distribuída de areia varia segundo w ( x ) = 0,5   x 3 (N/m), com x em metros medidos a partir de A . Reduzir esse carregamento a uma força resultante equivalente: calcular a intensidade R e a posição x ˉ medida a partir de A .

Como vamos resolver isso?

Vamos integrar a intensidade ao longo do comprimento para achar a força resultante.Depois calculamos o momento da distribuição em relação a A e dividimos por R para obter a posição da resultante.Usamos fórmulas de integração simples porque w ( x ) é dada analiticamente.

Os conceitos e fórmulas que temos que lembrar são:

  • A força resultante de uma carga distribuída w x em 0 , L é
  • R = ∫ 0 L w x   d x

  • A coordenada da linha de ação (centroide da carga) é

x ˉ = 1 R ∫ 0 L x   w x   d x

Bora lá!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a força resultante R .

Como a carga varia com x , a força total é a integral de w ( x ) de 0 a 10 . Escrevemos então

R = ∫ 0 10 0,5   x 3   d x

Integramos x 3 usando a regra da potência: ∫ x n d x = x n + 1 / ( n + 1 ) .

Assim,

R = 0,5 ⋅ x 4 4 0 10 = 0,5 ⋅ 10 4 4 = 0,5 ⋅ 10000 4

R = 0,5 ⋅ 2500

R = 1250  N

Portanto a intensidade da força equivalente é R = 1250  N .

Agora determinamos a posição x ˉ da força resultante medida a partir de A .

Precisamos do primeiro momento da carga em relação a A :

∫ 0 10 x   w x   d x = ∫ 0 10 x ⋅ 0,5 x 3   d x = 0,5 ∫ 0 10 x 4   d x

Integramos x 4 pelo mesmo método:

∫ 0 10 x   w x   d x = 0,5 ⋅ x 5 5 0 10 = 0,5 ⋅ 10 5 5

∫ 0 10 x   w x   d x = 0,5 ⋅ 100000 5

∫ 0 10 x   w x   d x = 10000  N ⋅ m

Então o centroide é

x ˉ = 1 R ∫ 0 10 x   w x   d x = 10000 1250

x - = 8  m

A carga distribuída w ( x ) = 0,5 x 3 sobre 0 ≤ x ≤ 10 é equivalente a uma força resultante de intensidade R = 1250  N aplicada a x ˉ = 8,0  m de A .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x - = 8  m ,     R = 1250  N

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