Enunciado

156. Substitua o carregamento por uma força resultante e momento de binário equivalentes que agem no ponto B .

Passo 1

Vamos resolver esse problema separando em duas partes, a primeira parte é o carregamento inclinado a esquerda e a segunda é o carregamento mais acima que está na horizontal.

A intensidade da força é igual a área total sob o diagrama de carregamento, isso vale para as duas partes que temos na figura.

A posição do centroide em relação ao próprio diagrama, que é onde essa força atua é dada pela seguinte fórmula:

x - = ∫ A x   d A ∫ A d A

Mas para figuras geométricas mais simples, como o nosso caso, tem fórmulas tabeladas que você pode encontrar no apêndice C na seção C.4.

O carregamento que está inclinado pode ser divido em duas figuras que tem forma fácil de calcular a área, nesse caso vai ser um triângulo e um retângulo como é mostrado a seguir na figura:

Achando as forças que representam cada carregamento, vamos decompô-las em suas componentes verticais e horizontais, acharemos a resultante em cada direção podendo montar a força resultante total como um vetor, depois para achar sua intensidade basta calcular a norma desse vetor.

Para achar o momento de binário, basta somar o momento referente de cada força e somá-los.

Passo 2

Agora vamos calcular as forças do carregamento inclinado. Como a força é igual a área do diagrama, vamos chamar de F 1 a força referente ao retângulo e F 2 a força referente ao triângulo, então:

F 1 = a ⋅ b

= 1 ⋅ 1,8 = 1,8

F 2 = b ⋅ h 2

= 1,8 ⋅ 1 2 = 0,9

Agora vamos calcular onde essas forças atuam.

x 1 - = 1 2 ⋅ b

= 1 2 ⋅ 1,8 = 0,9

x 2 - = 1 3 ⋅ b

= 1 3 ⋅ 1,8 = 0,6

Passo 3

Agora vamos calcular do carregamento superior. Vamos chamar de F 3 a força que representa esse carregamento e dada por:

F 3 = a ⋅ b

= 1 ⋅ 1,2 = 1,2

Agora vamos calcular onde essa força atuam.

x 3 - = 1 2 ⋅ b

= 1 2 ⋅ 1,2 = 0,6

Passo 4

Agora observando a figura abaixo, podemos ver a seguinte semelhança de ângulos, que vai nos ajudar a decompor as forças F 1 e F 2 .

Com isso, podemos decompor F 1 e F 2 , da seguinte maneira:

Vertical:

F 1 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 0,9

F 2 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 0,45

Horizontal:

F 1 ⋅ s e n   60 ° = 1,5588

F 2 ⋅ s e n   60 ° = 0,7794

Passo 5

Agora vamos calcular as componentes da força resultante na vertical e na horizontal.

Vertical:

F R y = F 1 ⋅ cos ⁡ 60 ° + F 2 ⋅ cos ⁡ 60 ° + F 3

= 0,9 + 0,45 + 1,2

= 2,55

Horizontal:

F R x = F 1 ⋅ s e n   60 ° + F 2 ⋅ s e n   60 °

= 1,5588 + 0,7794

= 2,34

Logo:

F R → = { 2,55 i + 2,34 j }

F R → = 2,55 2 + 2,34 2

= 6,5025 + 5,4756

= 11,98

= 3,46

A direção dessa força é determinada por:

t g   θ = 2,34 2,55 = 0,917

⇒ θ = a r c t g   0,917

= 42,52 °

Passo 6

Vamos agora determinar o momento de binário, para isso basta somar o momento de cada força, que nada mais é que a força multiplicada pela a distância de sua aplicação até o ponto que queremos que no caso vai ser o B , para achar essa distância, vamos ver a figura abaixo que nos mostra o que temos até agora:

Essas distâncias são encontradas analisando o quanto você deve andar para cada direção do ponto B até cada uma das forças.

Com isso, tanto as componentes verticais quanto as componentes horizontais das forças, vão desempenhar um papel no cálculo do momento.

Então:

M R B = 1,5 6 1,2 + 0,9 cos ⁡ 60 ° + 0,7 8 1,2 + 1,2 cos ⁡ 60 ° + 1,2 0,6 + 0,9 0,9 s e n   60 ° + 0,45 ( 1,2 s e n   60 ° )

= 1,56 ⋅ 1,65 + 0,78 ⋅ 1,8 + 1,2 ⋅ 0,6 + 0,9 ⋅ 0,78 + 0,45 ⋅ ( 1,04 )

= 2,574 + 1,404 + 0,72 + 0,702 + 0,468

= 5,87

Resposta

F R = 3,46   k N

θ = 42,52 °

M R = 5,87   k N ⋅ m

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