Enunciado

149. A pressão do vento atuado sobre um painel triangular é uniforme. Substitua esse carregamento por uma força e momento de binário resultante equivalentes no ponto O .

Passo 1

Para podermos substituir esse carregamento por uma força resultante, basta calcular a intensidade da força desse carregamento, aí teremos a força resultante que o enunciado pede.

Para calcular o momento de binário pedido, temos que achar o ponto de atuação dessa força resultante, para sabermos a que distancia do ponto O essa força se encontra e aí sim calcular o momento por meio da análise vetorial.

A intensidade da força vai ser igual, nesse caso, ao volume total sob o diagrama de carregamento, nesse caso vai ser o volume em vez da área devido a geometria do nosso diagrama.

A posição do centroide em relação ao próprio diagrama, que é onde essa força atua é dada pela seguinte fórmula:

x - = ∫ A x   d A ∫ A d A

Mas para figuras geométricas mais simples, como o nosso caso, tem fórmulas tabeladas que você pode encontrar no apêndice C na seção C.4.

Como o painel é triangular, a posição do centroide é dada por:

x - = 1 3 ⋅ b

Passo 2

Pelo o que foi dito no passo 1, vamos achar a intensidade da força através do volume da figura formada, então:

F = A b a s e ⋅ H

= b ⋅ h 2 ⋅ H

Onde b = 1,2 é base do triângulo, h = 1,2 é a altura do triângulo e H = 150 é a altura do volume (isso pode ser constatado na imagem que o livro fornece).

F = 1,2 ⋅ 1,2 2 ⋅ 150 = 108   N

Vamos passar essa intensidade que encontramos para forma vetorial, como você pode ver na figura, se juntarmos todas aquelas setinhas pequenas vamos ter uma seta grande e que aponta somente na direção negativa de x , logo:

F → = { - 108 i + 0 j + 0 k }

Passo 3

Agora vamos calcular em que posição essa força atua no painel em relação ao próprio painel e depois vemos em que posição ela atua em relação ao ponto O .

Usando a fórmula mencionada no passo 1, podemos achar essa posição de atuação da força. Se você reparar o painel é um triângulo isósceles, então tanto faz qual desses dois lados iguais escolher para achar a posição do centroide, isso é até bom porque podemos achar sua posição em relação ao eixo z e ao eixo y .

Calculando essa posição:

x - = 1 3 ⋅ b

= 1 3 ⋅ 1,2 = 0,4

Afigura abaixo mostra essa distância de melhor forma, levando em conta o que foi dito acima.

Agora temos que achar essa posição em relação ao ponto O , mas isso se torna fácil quando temos as distancias fornecidas pela imagem do enunciado, usando aquilo ao nosso favor, temos que:

r → = 0 i - 0,4 + 0,1 j + 2,2 - 0,4 k

{ 0 i - 0,5 j + 1 , 8 k }

Passo 4

Agora vamos calcular o momento de binário com análise vetorial, então:

M → = ( r → × F → ) = i j k r x r y r z F x F y F z

= i j k 0 - 0,5 1,8 - 108 0 0

= i - 0,5 ⋅ 0 - 1,8 ⋅ 0 - j 0 ⋅ 0 - - 108 ⋅ 1,8 + [ 0 ⋅ 0 - ( 0,5 ⋅ 108 ) ] k

= 0 i - 194,4 j - 54 k

Resposta

F R → = { - 108 i + 0 j + 0 k }

M → = { 0 i - 194,4 j - 54 k }

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